분수와 소수를 배우고 계십니다.
두번째 시간입니다.
시작하겠습니다.
지난 시간에 7분의 3을 소수로 나타내보았었어요.
7분의 3을 어떻게 소수로 나타내냐구요?
7분의 3은 결국 3을 7로 나눈 몫과 같습니다.
그것을 표현하기를 7분의 3이라고 한것이죠.
그렇다면 7분의 3의 몫을 구하면 소수로 구할 수 있겠군요.
소수로 구해봤더니 어떻게 됐었죠?
이렇게 실제로 나누다보면
나머지가 계속 순환되어 남게 되기 때문에
몫도 역시 순환되게 됩니다.
이걸 수학에서의 규칙성 발견이라고 하는데, 이게 아주 큰 밑거름이 되니 한번쯤 생각해보도록 하세요.
뭘 생각하냐구요? 그냥 아 이렇구나
란걸 생각해보세요
이렇게, 7분의 3은 무한소수였습니다.
지난 시간에 배운바에 따르면, 분모에 2와 5가 아니라 3이 있으니까 유한소수가 못되고 무한소수가 되겠네요.
그런데 무한소수중에서도
이렇게 계속 똑같은것이 줄줄 나오는 소수를 순환소수라고 합니다.
다음과 같은 것들이죠.
맨 위 소수는 1452가 반복되고
두번째 소수는 12가 반복되고
마지막 소수는 9가 반복된다는 사실을 알 수 있네요
이렇게 숫자의 배열이 한없이 되풀이 되는 무한소수를 순환소수라고 하고,
그렇게 되풀이 되는 숫자의 배열을 순환마디라고 합니다.
1452, 12, 9가 순환마디이죠.
근데 순환소수를 매번 쓸때 저렇게 엄청많이 써놓고 계속 똑같다는 걸 표현하는 말줄임표를 쓰는건
너무 번거롭습니다.
그렇기 때문에 쉽게 나타내고 싶은 욕망이 생기는데
순환마디를 한번만쓰고 처음과 끝 숫자 위에 점을 찍어줍니다.
보면 알아요
요렇게 순환마디를 한번만 써주고
시작지점과 끝지점에 점을 찍어주면 순환소수란 뜻입니다.
1452에서 1하고 2 사이에 뭔가 간격이 있어보이는데 그건 티스토리 수식입력기의 한계때문에 어쩔 수 없이 그렇게된것이지
실제로도 저렇게 띄어쓰는것은 아닙니다. 어쩔수없는 간격이 생긴거일뿐이에요.
아무튼 요렇게 간단하게 순환소수로 나타낼 수 있습니다.
중학교 2학년 과정은 아닙니다만, 한 가지 정리해둘만한 것이 있어서 이렇게 적습니다.
무리수가 뭐냐구요?
'순환하지 않는 무한소수'요
실제로, 분수(즉 유리수죠)에서 유한소수가 아니면
직접 나눠보면 모두 순환하는 순환소수란걸 알 수 있어요.
그런데 순환하지 않는 무한소수란게 중3때 등장하게 되는데
그걸 무리수라고들 합니다.
아무튼 여기서 중요한건
분수를 직접 나눠보면 모두 유한소수 아니면 순환소수입니다.
왜냐구요?
직접 나눌때 순환하게 된 이유가 무엇이었죠?
계속 똑같은 나머지가 나오게 되서 그랬죠
즉, 나눌때 나누어떨어지지 않으면 어떤 나머지가 남게되는데
같은 수로 계속 나눈다면 같은 나머지가 남아질수밖에 없습니다. 한번 해보세요
그렇기 때문에 분수는 무조건 유한소수아니면 순환소수가 됩니다.
위의 이야기는 한번 지나가는 이야기었고
여기서가 중요합니다.
왜냐면 계산을 하거든요
그것도 아주 특이한 계산입니다.
처음 받아들이긴 우와우? 신기합니다
유한소수를 분수로 나타내긴 쉬웠습니다.
그에 해당하는 10의 친척으로 나눴다고 생각하고 분수로 바꿔주면 끝이었으니까요
순환소수는 어떻게 분수로 나타낼 수 있을까요?
순환소수도 결국 무한소수라서 무한히 끝까지 쭉 이어지는데
이걸 10의 친척으로 나눴다고 생각할 수 있을까요?
똑같은 방식으로 나타내기가 불가능하기 때문에 한가지 아이디어를 생각해냅니다.
순환소수는 순환마디가 쭉 끝까지 순환되기 때문에 참 불편한 소수입니다.
순환마디를 뚝뚝 떨어뜨릴 수 있다면?
그것이 바로 다음이야기죠.
혹시 <수학귀신>이란 책을 읽어보신 분 있으십니까?
초등학생용으로 만들어진 책인데 중학생이 읽어도 될듯해요 참 재미있거든요
거기서 가장 인상적인 것은
무한은 1을 더해도 무한이란 사실이에요.
잠시 5초만 생각해봅시다. 그렇겠죠?
무한을 2로 나눠도 무한이에요
잠시 10초 생각해볼까요?
끝없이 이어지는걸 둘로 나눠도 그것 역시 끝없이 이어지겠죠?
물론 둘로 나눴으니까 쪼금 작겠지만
그것도 끝없이 이어지니까 크기 비교가 의미가 있을까요?
흠 그럴것 같지 않군요.
이에 대한 이야기는 고등학교 2학년때 비로소 하게 됩니다. 아주 흥미롭죠
아무튼, 순환소수의 순환마디역시 무한히 이어지는 숫자들입니다.
그럼 순환소수에 얼마만큼을 곱해서 순환마디를 두번째부터 시작하게 해도
첫번째부터시작하는 순환마디랑 똑같이 쌍을 이룰 수 있겠쬬?
뭔 개소리냐구요? 다음을 보세요
요렇게 천을 곱해서 순환마디가 두번째부터 시작했다고 생각해봐요
순환마디는 무한개 있으니까
두번쨰부터시작하든 첫번째부터시작하든
결국 쌍을 이룰 수 있겠죠
즉
저렇게 천을 곱한거에서 원래것을 빼면 다 없어질까요?
하는게 질문이죠
저렇게 뺀다면
1412가 다 없어진다고 생각할 수 있겠죠?
와우! 그렇다면 3.141214121412를 분수로 나타낼 수 있겠습니다.
어떻게 구하냐구요? 다음과 같이요
구하고자 하는 값을 x라고 놓고 x의 값을 구하면 되겠죠?
아하!
드디어 알았군요
그러니까 성가신 순환마디가 문제이니까
무한개의 순환마디는 땡겨도 어차피 똑같이 대응한다. 똑같은 갯수만큼 만난다는 사실을 이용해서
빼버리면 순환마디가 없어지게되고
그만큼, x의 계수만큼 나누면 x값을 비로소 찾을 수 있겠군요.
음 그렇군요.
그런데 3.1412와 같이 소수점 아래부터 바로 순환마디인 소수는 이랬지만
3.91412141214121412같이 어느 부분부터 순환하는 순환소수도 똑같이 구할 수 있을까요?
왜못하겠어요? ㅋㅋ
똑같이 구하고자하는 수를 x라고 둡시다.
순환마디를 없애는게 주요 목표입니다.
요렇게
x 자체로는 순환마디의 자리를 적절히 맞출수 없으니까
10x와 만x를 비교해보잔겁니다.
할 수 있죠?
왜못하겠어요
또 뺀다음에 나눠줍시다
참 재미나군요.
그런데
학원다니면요
선생님들이
어떻게어떻게하는지 알려준대요
순환마디의 길이만큼 9를 써주고
비순환마디의 숫자가 몇개면 0을 몇개붙이고
뭔 개소리야!
우리 착하고 이쁜 어린이 여러분들은 직접 구해서 쓰기로해요
하다보면 뉘앙스를 혼자 느끼게되서
그렇게 되겠구나란 사실을 먼저 알게 될테니까요
그래서 총정리해봅시다
유한소수를 분수로 어떻게 나타냈죠? 10의 친척들로 나눈꼴로 바꿨죠
순환소수를 분수로 어떻게 나타냈죠? 순환마디를 없애기 위해 적절히 곱한다음에 적절히 빼고 계수로 나눠서 구했네요
어라?
근데 유한소수와 순환소수 모두 분수로 나타낼 수 있었네요
분수로 나타낼 수 있는 수는 뭐라구요?
유리수였죠?
즉, 유한소수와 순환소수는 유리수랍니다
그리고 아까 말했듯이 분수를 직접 계산해보면 유한소수 아니면 순환소수밖에 안된다고 했었죠?
그렇죠
그래서 유리수 = (정수분의 정수로 나타내는 분수) 는 다음과 같이 이루어집니다
오늘 강의도 여기서 끝납니다
수고하셨습니다ㅣ!
'뇌통 - 중학수학강의 > 중학수학 8-가' 카테고리의 다른 글
| 근삿값 - 근삿값의 표현 (3) | 2013.01.10 |
|---|---|
| 근삿값 - 근삿값과 오차 (6) | 2013.01.07 |
| 중학수학 연재에 대해서 (2) | 2012.12.01 |
| 분수와 소수 - 분수의 소수 표현 (0) | 2012.08.08 |
| 중학수학 8-가 연재가 시작됩니다! (0) | 2012.08.08 |
