자 여태까지 계산하는 방법만 주구장창 배우고 있습니다.
중학교 수학과 초등학교 수학은 차이가 좀 많습니다.
극단적으로 예를 들면, 초등학교 수학은 어려운걸 안가르쳐줄려고합니다.
그닥 어렵지도 않아요 그런데 사실은. 그렇지만 초등학교에선 절대 안알려주고
중학교와서야 배우는 것들이 갑자기 많아지기 때문에, 수학선생님들이 자주하는 말중에 하나가
초6-> 중1, 중3->고1 이때의 수학이 갑자기 난이도가 확 올라가서 적응하기가 굉장히 힘들다고 하죠.
맞는 말이긴 하지만 초6->중1 이건 사실 개념들만 잡고가시면 쉽게 익히실 수 있을겁니다.
문자, 저도 여태껏 설명을 하면서 a, b, x 와 같은 문자들을 사용한적이 있었죠.
어디선가 문자에대해 아주 잠깐의 언급을 한적도 있었던 것 같은데요.
기억을 더듬어 봅시다. 초등학교 전 학년 수학과정에서 8단원은 항상 문제푸는 방법인가 뭐 이런 단원이었던 거 기억하시나요?
제가 배울때와 많이 달라졌다고 하는데 문제푸는방법이 없어졌을 수도 있겠군요.
아무튼 그럼 밭에 길내고, 밭에 나무심고, 사람들이 모여있는데 몇명씩 짝을 이루고 이런 문제 푸셨던 적 없나요?
반드시 있을 겁니다. 그때 그럼 구하고자 하는 값을 뭐로 나타내셨나요?
□ 우리들의 친구 네모네모로 표현했죠?
모르는 값이나, 특정하지 않은 값을 나타낼때 네모네모로 표현했죠.
그래서 풀어서 네모가 3이라고 나오면 대개 답은 네모와 똑같이 3이 되었구요.
이 네모가 문자의 역할을 했던 것입니다.
문자란, 길게 글로 쓰거나 숫자들을 일일이 나열하지 말고, 줄여서 쓰자!
이런 이유로 생겨난 겁니다.
제가 앞서 교환법칙을 설명하면서
a + b = b + a 라고 설명했었죠/
이때의 a와 b도 문자입니다.
특정하지 않은 값, 즉 어떤 값이든 넣어도 된다! 란 의미로 a와 b를 숫자 1,2 혹은 3,4 등등 대신에 사용한 겁니다.
또 우리가 8단원에서 해왔듯, 구하고자 하는데 값을 몰라서 식을 일단 쓰고 봐야 할때,
그럴때도 네모네모처럼 문자를 씁니다. 대개 x를 써서 하죠. [방정식을 배우시면 x를 자주 보시게 될껍니다.]
네모네모를 써왔던 기억이 안나시나요?
저런, 초등학교 수학책은 다 버려버려서 어떻게 해야될지모르겠군요.
나중에 찾게되면 예시로 올려볼게요 ㅠㅠㅋ
아무튼. 숫자 혹은 글자를 줄이거나, 어떤 값이 될 수 있는지 모르는 것은 문자로 표현합니다.
다음 그림과 같이 말이죠.
상수와 미지수에 관해서도 할말이 많지만, 그건 방정식 때 설명하기로 하죠.
중요한 것은 문자가 '숫자'처럼 사용된다는 뜻이고, 숫자를 계산하는 것과 같이 계산해주시면 됩니다.
문자에서 곱셈 기호는 생략한다
지난 시간에도 대분수 가분수를 짚고 넘어가면서, 중학교 때에는 대분수를 사용하지 않는다고 언급했었습니다.
다 이게 곱셈기호를 생략하기 때문에 발생하는 현상입니다.
물론 숫자에서는 곱셈기호를 생략하지 않습니다.
1X2 와 12는 엄연히 다른 숫자이기 때문이죠.
그러나 문자에 있어서 2×a 와 2a는 같은 값을 지닙니다.
혹은 문자와 문자끼리의 곱 a×b 도 ab로 나타내죠.
이렇게 나타내는 이유는 '이것이 계산에 편리하다는 것을 모두가 인정하고 쓰기로 약속했기 때문'입니다.
디딤돌 교재에서는 나눗셈도 생략할 수 있다고 했는데, 사실 이건 다 배웠어요.
왜냐면 분수꼴 설명할때 분수는 분자를 분모로 나눈거다. 라고 했잖아요?
그러므로 나누기는 무조건 분수로 나타내주시면 됩니다. 더 나아가서 곱셈의 형식으로 바꾼다음에 곱했따고 생각하셔도 되구요.
주의해서 알아둘 것은 더하기와 빼기는 생략할 수 없다는 겁니다.
무조건 곱셈, 나눗셈만 생략이 가능하죠.
[나중에 다항식, 단항식 이란 것을 배울때 더 자세히 배우겠지만, 곱셈으로 묶여져 있는 건 하나의 덩어리라고 생각하시면 됩니다.
더하기 빼기로 이어져 있는건 여러 개가 붙어있다고 생각하시면 되구요.
곱셈은 덩어리, 더하기 빼기는 이어주는 틀. 이정도의 마인드를 가지시면 됩니다.
덩어리니까 생략해서 한 번에 다 나타내면 더 좋으니, 곱셈기호를 생략하게 된거죠.]
분배법칙
곱셈기호는 생략이 언제든지 가능하단것을 배웠으니 분배법칙을 배울 수 있습니다.
중1이나 고1때도 많이 법칙들이 나오는데, 교환법칙,결합법칙,분배법칙이 그겁니다.
교환법칙은 하나의 연산으로 묶여있는 걸 앞뒤로 순서를 바꿔도 똑같다 였고
결합법칙은 똑같은 연산끼리 묶여있는 건 어디에 괄호를 치든 똑같다. 어떤 순서로 먼저 계산해도 똑같다. 였죠.
[그렇다고 무조건 성립하는 것은 아니고, 우리가 아는 수준내에선 더하기와 곱하기에서만 성립했었죠.
빼기와 나누기에선 쓸 수 없다는 사실!]
교환법칙과 결합법칙은 같은 연산 내에서 되는 법칙이었죠. 더하기면 더하기, 곱하기면 곱하기요.
그런데 분배법칙은 서로 다른 연산끼리 만났을때 성립합니다.
항상 이런꼴로 나타나죠.
방금 문자를 배웠으니 이제 예를 들지 않고 바로 문자로 나타내보겠습니다.
임의의 수 A,B,C 에대해서 저 위에 계산은 항상 성립합니다. 이것이 바로 분배법칙이죠.
[A와 B,C가 임의의 수라는 뜻은, 어떤 수던지 상관없이, 모든 수에 대해서 분배법칙이 성립함을 의미합니다.
A가 1이건 2건 3이건, B가 99건 백만이건 상관없다는 뜻이죠]
이렇게 어떤 수 X (어떤 수 + 어떤수) 란 형식의 계산은, 곱하기와 더하기가 만난 형태입니다.
그 중에서도 '더하기가 괄호로 묶여 있을때' 그 괄호 전체에 어떤 수를 곱할 때 분배법칙이 사용됩니다.
이것은 이렇게 곱하기괄호더하기의 형식에서만 성립하는 특이한 법칙입니다.
원칙대로라면 괄호안에 있는 덧셈 계산을 먼저하고 그 결과에 곱하기를 해야 됬었죠.
즉 B와 C를 더한후에, A를 곱해야 하지만, A와B를 곱하고 A와 C를 곱한후에 그 값끼리 서로 더해도 똑같은 값이 되죠.
예를 들어 숫자로 계산해볼까요?
3×(2＋5) = 3×7 = 21
3×(2＋5) = 3×2 + 3×5 = 6＋15＝21
값은 똑같단 걸 아실 수 있죠?
이걸 대체 왜 해야 되냐구요? 그냥 덧셈먼저 해도 되는 거 아니냐구요?
숫자만 있을때야 이렇게 계산하나 저렇게 계산하나 똑같겠지만, 문자가 들어있을땐 다릅니다.
수학을 하다보면 괄호를 풀거나 아니면 다시 씌우거나 이런게 자유자재로 되야 할 필요가 생깁니다.
[지금이야 방금배웠으니 못하겠쬬]
필요에 의해 괄호를 벗겨야 할 경우가 생기는데 이떄 분배법칙을 이용하면 땡입니다.
숫자끼리 계산할때도 그렇구요.
다항식 파트에서 문자끼리 계산하는 방법을 배울텐데, 이 때 분배법칙을 이용해서 문자끼리도 계산해보도록 하죠.
주의할 것은, 분배법칙은 곱하기괄호더하기 이런 형태에서만 가능하고 더하기괄호곱하기 꼴에선 성립하지 않죠.
"왜 성립하지 않냐면 그냥 숫자를 아무거나 써 놓으신다음에 해보시면 됩니다. 값이 달라지거든요."
그리고, 우리는 이미 더하기랑 빼기가 근본적으론 큰 차이가 없다는 것을 배웠으므로 분배법칙에서 ＋ 대신 － 가 들어있어도 같은 방법으로 계산하시면 됩니다.
그치만 ×대신 ÷라면 그렇게 쓰시면 안됩니다. 곱하기랑 나누기랑은 같은 식구인데 왜 더하기빼기만 되고 곱하기 나누기는 안되냐구요?
나누기로 바뀌어버리면, 괄호 덩어리를 곱하는게 아니고 나누는 형태가 되버리기 때문에, A는 분자에 가게 되고 B+C는 분모에 가버리게 되죠. 그러므로 전혀 다른 값이 되버립니다. 이떈 분배법칙을 사용할 수 없습니다.
[애시 당초 분배법칙을 쓸 껀덕지가 없어지게 되죠]
정리하자면, 문자는 숫자와 똑같은데 "복잡한 것을 줄여서 간단히 나타내기 위해 사용"된다는 겁니다.
나아가서, 숫자나 글을 문자로 줄였듯이,
여러개의 숫자나 문자가 이어져있는 형태도 문자하나로 줄여서 풀수도 있습니다.
예를들어
a+2b+3c+4d+5e+6f+7 = 0 에서
자기 마음에 따라 a+2b+3c+4d 를 X라는 문자로 바꿔서 풀 수도 있고,
a+2b+3c+4d+5e+6f+7 을 X로 바꿔서 풀 수도 있습니다.
이렇게 문자나 숫자들이 이어져 있는 형태를 하나로 바꾸면 뭐가 좋냐면,
지금은 이해가 잘 안되지만 나중에 방정식 등을 풀 때 유용하기도 합니다.
지금은 그냥 그럴 수도 있다는 정도만 알고 넘어가세요.
다음시간엔 대입, 그리고 넘어가 일차식을 배워보도록 하겠습니다.
오늘 배운건 굉장히 쉽죠. 문자는 무엇인지, 곱셈기호는 생략할수있다. 뭐 이정도만 알아두시고
여러 잡설이 많이 붙어있는건데 그건 나중을 위해 잠깐잠깐씩 언급해뒀다 이정도로만 생각해주시면 되겠습니다.
그럼 나중에봐요 안녕!
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