함수 - 정비례와 반비례

여러분 기뻐하세요 함수부분에 입성하셨습니다.

 

일차방정식에서 고생고생했는데

함수라니

 

두려움이 엄습하시는 분들이 꽤 많을 것 같네요

그렇지만 함수도 의미파악만 잘한다면야

그냥 그렇고 그런 수학적 용어일 뿐이라는거

 

여기서 함수의 '개념'을 잘 잡는것이

미래를 위해서 꼭꼭 중요하다는 사실을 알아 두세요

문제를 잘푸는게 중요한게아니고, 함수가 뭔지 그 느낌을 잘 알아두시는게 좋아요

문제는 못풀어도 나중가면 다 풀수 있게 되니까요

 

시작합니다

 

 

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함수는 됐고, 우선 수학에서 정비례와 반비례란 말이 있습니다.

 

비례하면 떠오르는 게 뭐가 있죠?

저번에 속도를 이야기하면서 언급한 비율 이라던가

비례식 등등이 있죠?

 

비례한다는 것은, 어떤 두 개의 값의 관계가 몇배의 관계에 있다. 란 뜻입니다.

 

사과 한개의 가격이 이천원이라고 생각을 해봅시다. 엄청비싸죠? 엄청맛있나봐요

그럼 두개의 가격은 얼마일까요? 사천원이겠죠?

세개의 가격은 얼마일까요? 육천원이죠?

 

이렇게, 사과의 가격과 사과의 갯수간에 어떤 관계가 성립하는데,

사과의 가격은 사과의 갯수에 2000을 곱하면 된다는 사실을 알 수 있죠?

 

(사과의 가격) = 2000 x (사과의 갯수)

 

사과의 갯수가 한개씩 늘어날때마다, 사과의 가격은 이천원씩 늘어나구요

 

비례식을 세울수도 있겠지요?

 

사과의갯수 : 사과의 가격 = 1 : 2000 = 2 : 4000 = 3 : 6000

 

중요한건, 비례한다라고 이야기할때는

비율이 항상 일정해야한다는 뜻입니다. 사과한개의 가격은 이천원인데

사과 두개의 가격은 삼천원으로 할인해준다고 생각하면

비례한다고 말할 수가 없겠죠.

이 이야기는 속도를 이야기할때에도, 속도가 항상 일정해야만 속도는 시간분의거리라고 이야기할 수 있다고 했었죠

 

예 그래요

 

아무튼 정리하자면,

 

비례는 어떤것과 어떤것 사이의 몇배(비율)의 관계가 있다는 것을 나타내주는 것입니다.

어떤것과 어떤것이라고 한글로 쓰려니 불편하죠?

그래서 사람들은 보통 x와 y라고 그것들을 각각 나타냅니다.

비례한다는 말은 사과의 갯수를 한개씩 늘릴수도있고 줄일수도 있다는 말이니까 사과의 갯수가 변한다는 뜻이죠?

예 그래요! 그래서 변수를 나타내는데 주로 사용하는 x를 쓰는거죠.

 

그럼 앞에서 사과의 갯수와 사과의 가격을 나타낸 식을 다시한번 볼까요?

 

(사과의 가격) = 2000 x (사과의 갯수)

 

여기서 사과의 가격을 y

사과의 갯수를 x라고 바꾸어보면 어떨까요?

 

y = 2000 * x 가 되지 않을까요?

곱하기 기호를 햇갈리지 않기 위해서 *, 똑같은 곱하기 기호로 바꾸어보았어요.

 

이렇게 나타내면

x가 1일때 y는 2000

x가 2일때 y는 4000

x가 3일때 y는 6000

 

요렇게, x가 1배 2배 3배 될때

y또한 1배 2배 3배가 되겠죠?

 

예 그래요. y = ax (a는 무언가 상수!) 일때는

x가 몇배가 되면, y도 똑같이 몇배가 된다는 사실을 알 수 있어요.

왜 그러냐? 등식의 성질중 양변을 똑같은 수로 곱해도 등식은 같기때문이에요

그러니까 다시말하자면, x가 2배가 되었다는 것은 2x가 되었다는 뜻과 같고, 이는 x * 2 와 같죠.

우변이 두배가 되었는데 좌변과 같으려면, 좌변도 두배가 될 수밖에 없다는 사실을 쉽게 눈치채시겠죠.

 

이렇듯, y = ax 의 꼴로 x와 y의 관계를 이야기할 수 있으면

y와 x는 정비례한다.

라고 이야기하는 것입니다.

 

정비례한다면 앞서 말한것처럼 하나가 몇배가 되면, 나머지 하나도 똑같이 몇배가 되어야합니다.

 

그런데 여기서, x의 값을 바꾸는게 쉬울까요, y의 값을 바꾸는게 쉬울까요?

(사과의 가격) = 2000 x (사과의 갯수) 에서

사과의 갯수를 바꾸는게 쉽냐, 사과의 가격을 바꾸는게 쉽냐는거죠

사과의 갯수를 한개 두개 늘리는 것이 더 쉽지 않겠어요?

 

이렇게, 둘 사이의 관계에서 x y를 정할때는

변하기 쉬운 수를 x로 두고

x값이 변함에 따라 같이 변하게 되는 수를 y로 정하는 것이 보통입니다.

 

그래서 사람들은 'y는 x에 정비례한다'

라고 이야기하기도해요.

x값을 이리저리 바꾸면 y값도 그만큼씩 바뀐다는 표현이죠.

'y와 x는 정비례한다'와 약간은 다른표현이죠?

관점의 차이라고 볼 수 있어요.

 

바로 이, x값이 변함에 따라 y값이 일정한 규칙에 따라 변한다.

이것이 바로 함수의 시작이라고 할 수 있어요.

다시 볼까요?

 

 

 

요렇게 생긴 모양을 바로 y와 x가 정비례한다.

라고 이야기하는거에요.

그리고 y와 x와의 관계, 그 비율은 a가 되는 것이겠구요.

a라 함은, 임의의 상수인데, 0은 안된다고 써져있네요.

a가 0이되면 어떻게 될까요? 아주 이상하겠죠?

 

y=ax에서 a가 0이라면

y = 0*x이니

 

x가 1이건, 2건, 3이건, 4건 y값은 항상 0으로 일정할테니말이에요.

물론 0은 0의 2배, 3배, 4배라고 이야기할수 있기 때문에 정비례한다라고 봐도 무방하지만

그걸 정비례한다고 이야기하기가 참 뭐하기 때문에 a는 0이어선 안된다는 조건을 추가하는 것이고,

사실상 '정비례의 정의' 자체와는 일맥상통하는 이야기가 있기 때문에

a는 0이되어선안된다. a는 0이되어선안된다. a는 0이되어선 안된다

라고하고 무작정 외울필요없어요. 그냥 아 그렇구나 정도로만 넘어가면 될일이죠.

왜냐면 y = 0*x 라하면

y = 0 이니

비례하고 자시고 할 것이 없죠?

일상에서 수학을 할 때에는 쓸모 없는 이야기이죠.

 

그래서 a가 0이어도 되냐구요 아니면 안되냐구요?

'우선 0이면 안된다고 합시다'

가 수학자들이 정한 이야기죠.

 

뭔가 감이 올듯 말듯하죠?

반비례는 무엇일지 알아보도록 해요.

 

정비례가 x가 2배, 3배, 4배가 되었을때

y도 2배, 3배, 4배가 되는 것이라면

 

반비례는 무엇일까요? 정비례의 반대일 것같다는 느낌이들죠.

바로, x가 2배, 3배, 4배가 되면

y는 오히려 ½배, ⅓배, ¼배 로 이렇게 줄어드는 것을 반비례한다라고 해요.

 

예시를 하나 들어볼까요?

디딤돌으로 해보죠

 

윤하네 과수원에서는 올해 수확한 사과 6000개를 몇 개 단위로 상자에 넣을지 고민중이다.

상자에 넣는 사과의 갯수를 x라고 하고 다음과 같이 정하면

필요한 상자수(y)와는 어떤 관계가 있을까?

 

6000개의 사과를 나눠 담아야 합니다.

그런데 상자에 넣는 사과의 갯수, 즉 상자 하나당 들어가는 사과수를 바꾸면

필요한 상자수도 바뀌는것이 당연하겠죠.

 

상자에 10개씩 담는다고 치면, 상자수는 6000 / 10 = 600이 되겠죠

상자에 20개씩 담는다고 치면, 상자수는 6000 / 20 = 300이 되겠죠

상자에 30개씩 담는다고 치면, 상자수는 6000 / 30 = 200이 되겠죠

 

감이 오시나요?

 

x가 10이라면 y는 6000 / 10 = 600이죠

x가 20이라면 y는 6000 / 20 = 300이구요

x가 30이라면 y는 6000 / 30 = 200이 됩니다.

 

x가 1배, 2배, 3배가 될때

y는 오히려 1/1배, 1/2배, 1/3배가 되는 걸 알수있죠?

 

y와 x가 다음과 같은 관계식을 만족할때,

y와 x는 반비례한다. 혹은 앞에서의 관점처럼 y는 x에 반비례한다라고 이야기해요.

 

 

수식입력기에요. 멋지죠?

저렇게 x가 분모에 있는 꼴을 반비례한다라고 합니다.

그리고 관계식에는 몇을 더한다거나 뺀다와같은 상수항이 없어야합니다.

왜그러냐구요? 한번 생각을 해보세요, 그래도 x가 1배, 2배, 3배 될때 y가 1/1배, ½배, ⅓배가 될 수 있을지요.

이는 정비례에도 성립하는 이야기입니다.

그러니까, 우변에 뭔가 더 겉쩌리가 없어야 된다는 말입니다.

 

요렇게,

x값이 변함에 따라 y도 어떤식으로 일정하게 변하는 것.

이 바로 함수의 기본적인 느낌이라고 할 수 있어요.

함수는 물론 이렇게 비례하는 것 뿐만 아니라, x에 몇을 더해서 y가 되는 그런 것들도 함수라고 하는데

그런 함수에 대해서는 다음 시간에 더 자세히 알아보도록해요

그럼 수고하셨습니다!