집합이 뭐니 어쩌니하고
음수가 어쩃니, 음수도 더하고 뺄수있니 어쨋니 하다가
중간고사보고
일차방정식이 뭐라뭐라하더니
벌써 함수를 배우고 계시는군요
중학교 생활도 이제는 거의 적응이 되어서
초등학교 생활도 별로 기억안날것 같은데 맞나요?
앞으로 중학교 생활 3년 알차고 재미있게 보내시기 바랍니다.
책많이 읽고, 여러가지 경험도 해보시구요
악기나 이런것들도 배워보시고 다양하게 재미있게보내세요
지난시간에는 함수가 무엇인지 배워봤어요
함수란것은, 대개 x와 y로 나타내는데
x가 변할때 y도 일정한 규칙에 따라 변하면 y는 x의 함수
라고 합니다.
더 정확한 정의는 고등학교 때 배우게 되는데
이런저런말이 나오면 복잡해질것 같으니 생략하도록 하지요
제 나름대로 함수에 대해 생각해둔것을 고등학생용으로 따로 업로드할 예정에 있습니다
참고하시구요
아무튼간에
함수란것이 뭔지 배웠는데
방정식, 일차식배울때도 등식이니 등호니 차수니 계수니 변수니 이런 얘기들 쭉 다뤄봤었잖아요
함수도 마찬가지입니다. 함수이야기를 할 때 꼭 필요한 몇가지에 사람들이 이름을 붙여놨는데 그걸 알아보도록 해요.
함수란 영어로 function이고,
이것을 한글로 직역하면 '기능'이란 뜻이 되요.
기능이라, 무슨 의미가 있는걸까요?
함수는 대게 f(x)와 같은 걸로 나타내는데
f 가 바로 함수의 이름을 나타냅니다. 함수 f부터 시작해서 g, h, i, j 요렇게 나아가는거죠
혹시 계속나아가서 x, y, z까지가면 햇갈려서 어떻게 쓰냐구요? 걱정하지 마세요 거기까지 안가요^^
그러니까
y = 100x 란 함수가 있다고해볼게요
x가 변할때 y는 그 x에 100을 곱한 값으로 딱 정해지죠?
그게 바로 f(x)의 의미에요
함수 f에 의해서 x=1 이면 어떤 값으로 정해지겠느냐?
그것이 바로
f(1) 의 의미에요
f(1)이란, x=1일때 f(x)값은 얼마냐? 란 소리가 되죠
즉 f(x) = 100x 에서
양변에 모두 x라고 써있는게 보이시죠?
x=10 이라고 해볼게요. 양변 모두의 x가 10으로 바뀌겠죠.
즉, f(10) 은 10이 주어졌을때 함수 f에 의해 결정되는 값.이라고 해요 여기서는 1000이 되겠죠.
무슨 말인지 감이 오면 좋을텐데요
f(x) = 100x에서
양변에 써있는 x는 같은 x니까
x가 몇으로 정해지면 왼쪽의 x와 오른쪽의 x에 모두 그 값을 적어넣을수 있다구요
그럼 f(10) = 100 * 10 이 되어서 f(10)=1000 이 되겠네요
y = 100x를 다시한번 살펴볼까요?
x가 1,2,3, 이렇게 나아갈때 y값은 어떻게 바뀔지 적어볼게요
x가 1일때 y는 100
x가 2일때 y는 200
x가 3일때 y는 300
x가 4일때 y는 400
x가 5일때 y는 500
x가 6일때 y는 600
x가 7일때 y는 700
x가 8일때 y는 800
x가 9일때 y는 900
x가 10일때 y는 1000
이렇게, x값에 따라서 y값이 규칙적으로 무언가 하나의 값으로 결정되죠?
이렇게 x값에 의해 y값이 결정될때
각각의 x값에 각각의 y값이 '대응'된다고 합니다.
그러니까 x=1에는 y=100이 대응된다는거죠
대응된다는 말은 어떤 것이 주어지면, 그것의 짝이 정해진다라는 소리에요.
학교에 책상별로 남녀가 짝이되어 앉는다고 생각을 해봐요
그 다음에 쉬는시간에 막 섞어놨다고 생각을 해볼게요
그런 다음에 담임선생님이 갑자기 오셔서 '철수 짝 어딨니?'
라고 물어보셨다고 생각해봐요
그럼 철수 짝인 영희가 손을 들겠죠?
이럴때 영희는 철수에 '대응'되는 값이라고 말하고
선생님이 물어본 말, 즉 철수의 짝을 대응시키겠다란 말이 바로 '함수'가 되는거에요.
그러니까 함수란 뭔가에 뭔가를 대응시키는 것이라고 말할 수 있죠.
그리고, 그러한 함수에의해 대응된 값을 '함숫값'이라고 해요.
철수의 함숫값은 영희라고 이야기 할 수 있는거겠죠.
그럼 다시 f(x)로 돌아와서
f(x) 란 것이 도대체 무엇인지 살펴봅시다.
f(x)는 함수에서 x와 y의 관계를 나타내주는 식이라고 했었죠?
y=100x에서는 f(x)=100x 가 되었었죠.
그런데 여기서 중요한것은
f(x)란 x에 대응되는 값, 즉 함숫값을 나타내는 거에요.
f( 알맹이 ) 는 알맹이에 대응되는 값을 나타내는 거죠
그렇기 때문에 f(10)은 10이 f에 의해 대응되는 값을 물어보는 거고, 그 답은 1000이라고 이야기할 수 있는거에요
아까 위에서 쭉 쓴것을 다시 이야기 해볼까요?
f(x) = 100x일때,
x=1 이면 f(1) = 100
x=2 이면 f(2) = 200
x=3 이면 f(3) = 300
x=4 이면 f(4) = 400
x=5 이면 f(5) = 500
x=6 이면 f(6) = 600
x=7 이면 f(7) = 700
x=8 이면 f(8) = 800
x=9 이면 f(9) = 900
x=10 이면 f(10) = 1000
이렇게, 숫자에 따라 어떤 값이 대응되느냐? 를 f(x) 꼴로 나타낼 수 있는게 보이죠?
그렇기 때문에 바로 f(x)를 y와 x의 관계식이라고 이야기 할 수 있는거에요
뭐가 먼저냐 하는 문제가 아니라, 두 의미가 서로 같다는 사실을 깨달으실수 있겠죠?
네 바로 그거에요.
그래서
y = f(x) 에서 f(1)은 x=1일때 y의 값
이라고 바로바로 이야기할 수 있어야합니다
이건 어디서 많이 본듯한데?
라는 이야기가 나오실꺼에요
이건 초등학교 때 익히 본 것들이죠
바로 이것이 '함수'를 나타내는 그림이었던 사실을 알고 계시나요?
위에 무언가를 넣었을때
아래에는 어떤 값이 뿅 하고 나오게되죠
그걸 바로 대응되었다고 말하고, 아래로 나온 그 대응된 값을 함숫값이라고 이야기하는 거에요
박스안의 '나 어떤식으로 대응시키겠소'라고 이야기하는 것이 바로 함수 f가 되는거겠구요
바로 요렇게 된답니다.
한번 이해해보세요.
이해됐나요
그럼 다시 한번 볼게요
복붙!
여기선 3을 박스안에 넣었는데
그럼 3말고 다른 수도 넣을 수 있나요?
아니 왜못넣겠어요?
4도 넣을수있고 5도넣을수 있잖아요
4를 넣으면 16이 대응될거고, 5를 넣으면 17이 대응될거에요
그렇죠?
그럼 내가 위에 들어가는 값들을 '3, 4, 5 이렇게 세개로 하겠습니다'
라고 할 수 있겠지 않아요?
박스안에 어떤 숫자가 들어갈지 내가 맘대로 정할 수 있겠죠
그렇죠?
박스안에 들여보내는 수, 즉 처음의 변수를 x라고 하고
그 x가 어떤 숫자들이 될 수 있느냐. 바로 x가 속한 집합을 물어보는 말이겠죠?
그 집합을 바로 정의역이라고 합니다.
즉 정의역이 {1, 2, 3} 이라고 하면
y = x+12 에서 x값을 1,2,3 으로만 해보겠다. 라는 뜻이되죠.
그럼 1,2,3 으로 정해졌으면
각각의 x값에 대응되는 y값도 세가지로만 딱딱딱 정해져있지 않겠어요?
네 바로 그렇죠
그 f(1), f(2), f(3) 처럼 정의역의 원소에 대응되는 함숫값들도 하나의 모임을 이루게 되는데
그것을 바로 치역이라고 합니다.
그리고, x를 정한것처럼 y도 그 범위를 정할 수 있어요
그것을 바로 공역이라고 합니다.
그런데 생각해봐요, 치역에 있는 원소가 공역에 없으면 어떻게 되겠어요
예를들어 f(3)=15가 공역에 없고
공역이 {14, 16, 17, 18}이라고 해볼게요
그럼 3에 대응되는 y값이 정해져 있지 않죠?
아뿔싸! 이게 무슨말이에요 함수란 것은 x에 y값이 각각 하나 대응될때 함수라고 하는데
대응될수가 없다니요
그렇기 때문에 공역은 항상 치역을 포함하고 있어야합니다
다른말로 하면 치역은 항상 공역의 부분집합이 되도록 공역을 정해야된다는 소리죠.
그림으로 볼까요? 아이고 막막하네요
요렇게 변수들의 집합인 정의역,치역, 공역을 그릴수가 있겠습니다
네네 바로 그거에요
이제 함수용어를 다 배웠네요 짝짝짝
그럼 마지막으로 변수가 뭔지 알아볼까요? 변수와 상수를 알아봅시다.
방정식때부터 변수변수, 상수상수라고 했었는데
똑같은 문잔데 하나는 변수, 하나는 상수라고 해서 뭔가 혼란스러우셨을꺼에요
변수는 보통 x,y,z 로 나타내고 상수는 a,b,c 와같이 알파뱃을 구분하는 사회적인 관습이 형성되어 있다는건 알겠는데,
대체 변수와 상수의 뜻이 뭐냔말이죠
일차방정식때는 자유롭게 변할 수 있는 주인공 문자를 변수라고 말했었죠
함수의 세계에서는 어떨까요?
아직도 변수가 무엇인지 딱 집어서 이야기하기에는 좀 그렇습니다.
다음 강의에서는 함수의 그래프를 공부하는데, 거기서 바로 변수가 무엇인지 확 깨달을 수 있게되죠
그치만 지금도 생각해볼 수 있는데
아까 x가 1일때, x가 2일때, x가 3일때 막 10가지나 해본 거 기억나세요?
그때 문자 x의 값이 1,2,3, 이렇게 자꾸자꾸 바뀌었죠?
내맘대로 바꾼거긴하지만 바뀔 수 있었던거죠
y = 100*x 에서
x값은 내맘대로 바꾸어봤고,
그러면 y값도 알아서 따라오니 얼마나 신기했어요
y값도 결국엔 변하는 수가 되어서 x와 y 둘다 변수라고 이야기 할 수 있었던거죠
그럼
y = a*x 와 같이 문자로만 되어있는 식은 어떨까요?
여기서도 역시 문자 x의 값을 내맘대로 바꿀 수 있어요
x가 1일떄, 2일때, 3일때, 4일때 각각 생각해볼수 있는거죠
이것도 역시 내맘대로 x 값을 바꿔가면서 생각해본건데,
a는 못바뀌냐구요?
예 못바뀝니다.
왜그럴까요?
그건 a는 상수!라고 써있기 때문이에요
어디에 써있냐구요? 모두의 마음속에 써있는거죠
저번에 맘대로바꾸는수를 x, 딸려오는수를 y로 하기로 모든 사람들이 말은 안하지만 그렇게 하기로 동의했다는 말 한적 있죠?
김씨가 90%나 되었다는 이야기를 한적이 있어요
그와 같이 a,b,c 는 보통 상수라고 쓰기 때문에
저건 안바뀔꺼야! 라고 내마음속으로 그렇게 생각한다 이거죠
그렇기 때문에 내 마음대로 바꿀꺼야! 하는 수가 바로 '주인공수' 가 될테니
일차방정식에서 왜 주인공수라고 이야기했는지 알겠죠?
a가 상수라면
y = ax에서 x가 1일때 y는 1a, 2일땐 2a 요런식으로 나타내게 되어있는거죠
물론 a도 변수라고 말할 수는 있어요.
그때도 역시 x가 1일때 y=1a겠지만
같은 x값이라 하더라도, a가 변수라고 했으니 1a값이 어떻게 될지 아무도 모르는거죠
자기 마음일 수밖에요
그 마음이 어디에 나타나잇냐구요?
변수가 될 수 있는 값 '정의역, 공역' 에 쓰여있는거죠
그 정의역의 원소들에 대응되는 함숫값들의 모임을 치역이라고 하는거구요
이제 변수와 상수의 개념을 좀 아시겠나요?
어차피 둘다 문자라면, 그 값이 얼만지 정확히 모르는 건 매한가지에요. 그래서 '미지수'라고하죠.
그치만 내가 마음먹기에 따라서 이 문자를 상수로 볼수도, 변수로 볼수도 있어요
둘다 모르는 '미지수'이지만,
변할 수 있는건가? (변수)
뭔가로 딱 정해져있는데 내가 아직 모르는건가? (상수)
이런 의미로 접근하시면 되겠네요
그럼 다음시간에 만나요
안녕!
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