함수의 그래프와 활용 - 좌표

저런저런, 고등학교 2학년 생활을 한다고 시간이 이렇게나 훌쩍 지나가버렸네요.

솔직히 말하자면 얼떨떨합니다.

이과생이 되어서 배우는 과목도 여러가지가 되어서 재미있기도 하지만 한편으로는 힘들기도 합니다.

수학에서 배우는 내용이 워낙 많기 때문에 항상 수학공부를 들여다 보구 있구요.

방학을 맞았으니 다시 수학 강의 연재를 열심히 해보겠습니다! 파이팅!

---

어느 새 함수를 다 배워가고 있는 시점입니다.

오늘 배울 것은 함수의 '그래프'라고 하는 것으로, 쉽게 말하자면 우선은 '그림'입니다.

누누이 말하지만 괜히 어려울것으로 지레짐작하고, 또 여러사람들이 저건 어렵대더라 하는 소리를 해서

'일차방정식', '함수', '함수의 그래프'에 대하여 두려움을 갖고 있는 사람들이 많습니다.

그렇지만 일차방정식과 함수를 공부해오면서, 그 두려움이 까닭없는 두려움이란 걸 깨달으셨을 겁니다.

분명히 그걸 하면서 많은 고통은 느끼셨겠지만 말이에요.

하지만 그건 수학을 공부하면서 필연적인 결과라고 생각해요 ^_^

오늘 열심히 공부해서

앞으로의 수학공부에 근간이 될 함수의 그래프 이야기를 다뤄보도록 해요.

---

좌표와 좌표평면

좌표평면이란 것은

단순히 말하면 수직선을 두개 직각으로 겹쳐논 것을 말합니다.

엄밀하게 말하는 의미는 좀 아래에서 설명하죠.

그렇다면 이것은 누가 만들었는지 아는 사람 있나요?

바로 '데카르트'란 철학자가 만들었습니다.

데카르트는 '나는 생각한다. 고로 존재한다.'라는 이야기를 남긴 철학자이기도 하지만

여러가지 수학적 업적을 남긴 수학자이기도 합니다.

철학자와 수학자를 나누는 것이 크게 의미가 없기도 하지요.

아무튼 데카르트가 남긴 수학적 업적중에 하나가 좌표평면입니다.

'좌표'란 이야기를 어디서 들어봤을까요?

군대 영화를 보거나, 배를 운전하는 것을 보거나, 아니면 판타지 소설의 '텔레포트'하는 데에도 좌표가 필요합니다.

어느 위치에 있는지를 숫자를 통해서 나타내느 것을 말하죠.

실제로 데카르트가 누워있다가 천장에 붙은 파리를 보게 되었는데

저 파리의 위치는 어디라고 말할 수 있을까?

란 생각을 하다가 좌표평면을 떠올리게 되었다고 해요

파리로부터 생겨났다니 참 웃기기도하죠.

수직선에 0과 음수, 양수가 있으므로

두개의 수직선을 겹친 좌표평면의 두 수직선 또한 양수와 음수가 있을것입니다.

그리고, 두 수직선이 겹쳐있는 바로 그 점을 '0', 즉 원점이라고 하게되죠.

그림을 통해 봅시다.

바로 요롷게 생긴게 좌표평면입니다.

하나의 평면에 두개의 수직선을 겹쳐놓고

그 수직선의 숫자들로 좌표를 표현한다고 해서

이렇게 수직선을 겹쳐놓아 어떤 것의 위치를 이야기할 수 있는 평면을 '좌표평면'이라고 합니다.

데카르트는 파리를 보고 좌표평면을 생각했지만

우리는 좌표평면을 보다가 파리가 날아왔다고 생각해볼까요?

천장에 좌표평면을 그려놓고 한참 보고 있는데

파리가 날아와서 저 위치에 딱! 앉았다고 생각해봅시다.

파리의 위치는 어떻게 설명할까요?

아까 제가 말한, 실생활에서의 좌표이야기를 해볼까요?

좌표 (3692, 5317) 이런식으로 나타낸 걸 본적은 없으신가요?

평면상의 점의 위치를 표현하기 위해서 좌표를 사용하는데, 이렇게 괄호를 친 두가지의 숫자를 통해 나타냅니다.

왼쪽에는 가로수직선상의 위치, 오른쪽에는 위아래상의 위치를 나타내죠.

그러니까 거두절미하고 이야기하자면

파리의 위치는 (3,5)라고 이야기할 수 있습니다.

그렇죠? 평면이니까, 가로축의 위치와, 세로축의 위치를 동시에 말해주어야 알아들을 수 있는거죠.

여기서 차원의 개념을 한번 언급하고 넘어가볼까요?

여러분은 3차원 4차원이란 이야기를 많이 들어보셨을 겁니다.

간단히 말하자면, 1차원은 직선, 2차원은 평면, 3차원은 공간을 말합니다.

사용된 수직선의 개수, 표현하는 축의 갯수를 사람들은 차원이라고 합니다.

1차원은 수직선 하나,

2차원은 수직선 둘, 그러니까 위아래와 왼쪽오른쪽이 있는 평면이지요

3차원은 수직선 셋, 위아래와 왼쪽오른쪽, 들어가고나오는 세가지 축이 있는 것을 말하지요.

그렇다면 우리가 사는 세상은 3차원으로 이루어져있고

4차원은 존재하지 않는다고 이야기할 수 있습니다

여러가지 의미로 4차원이 존재한다고 말하는 사람은 있지만

우리가 하고싶은 공간적인 의미에서는 3차원이 최고차원이지요.

그래서 좀 유별난 행동을 하는 사람들을 보고 '너 4차원이구나!'라고 하는겁니다.

우리 세상 사람이 아닌것 같거든요 ㅋㅋ 저도 사실 그런말을 좀 듣습니닼ㅋ

아무튼, 이 이야기를 왜 했냐하면

평면에서 어떤 것의 위치를 말할 때는

평면은 2차원, 즉 2가지 요소를 이야기해주어야합니다.

어떤 것의 위치라 함은

원점에서 얼마나 떨어져있냐가 결정하게 되죠.

그것을 가로축방향으로 얼만큼, 세로축방향으로 얼만큼 떨어져있다고 표현해서

좌표를 (가로축방향으로 얼만큼, 세로축방향으로 얼만큼) 이런식으로 나타내는겁니다.

요렇게 (3,2)와 같이

괄호를 쳐놓고 숫자를 쌍을 지어놓은 것을

수학에서는 순서쌍 이라고 해요.

용어니까 알아두세요.

그런데, 여기서 생각해볼것이 있습니다.

우리는 '함수의 그래프'를 배울것이에요.

함수를 떠올려봅시다. 함수는 정의역과 공역의 대응관계, 혹은 어떤 문자와 어떤 문자의 대응관계를 나타낸다고 배웠었쬬?

제가 김씨의 이야기를 들면서 말하기를

보통은 'x와 y의 관계로 나타냅니다'라고 했었던것 같네요

네 바로 이것이 함수의 그래프의 출발입니다.

x와 y의 관계를 '좌표평면'상에 나타낸 것이 함수의 그래프인데

와닿지 않으실테니 잠시 후에 다시 설명드릴꺼에요 헤헤

여기서 말하고 싶은 것은 그것을 표현하기 위해서

'가로축을 x축, 세로축을 y축'이라고 이름지어놨다는 거에요.

그렇기 때문에 좌표평면을 xy평면이라고 말하기도 합니다.

그리고 여기서도

'일반적으로 가로축하면 x축, 세로축하면 y축으로 나타낸다! 이것도 김씨와 같은 거다'

라고 생각해주시면 되겠어요

그럼 좌표평면을 다시 볼까요?

동그라미 친 자리에 x와 y를 써놓았단 걸 볼 수 있죠?

저 표현은 '가로축에는 x를 세로축에는 y를 나타낼 것입니다'라는 표현입니다.

앞으로 접하는 거의 모든 좌표평면은 저렇게 x와 y가 쓰여져 있을거에요.

이런 의미란 걸 알았으니까 궁금하지 않겠죠 이제는?

궁금하다면 댓글달아주세요

아무튼, 가로축을 x축, 세로축을 y축으로 놓았습니다.

그 말은, 가로축의 숫자는 x, 세로축의 숫자는 y를 나타낸다는 말과도 같죠.

그렇기 때문에 아까 (가로축으로 떨어진 만큼, 세로축으로 떨어진 만큼) 을

(x좌표, y좌표)라고 간단하게 이야기 할 수 있습니다.

예 그렇습니다.

그러므로 아까 파리의 경우를 생각해보면

파리의 x좌표는 3

파리의 y좌표는 5 라고 이야기할 수 있겠네요.

내일부터는 함수의 그래프가 뭐냐! 에대해서 배울것이고

밑에 사분면에 대한 그림을 올려둘테니 한번 보세요

좌표평면에서 두개의 축을 수직하게 놓으면, 축에 의해서 평면이 4개로 나눠지게 되죠?

그 나눠진 평면들도 위치에 따라서 이름이 있는데 그것을 '사분면'이라고 해요

'사분면'이란 뜻엔 4개로 나눠진 면이란 이야기가 있죠.

이 사분면에 각각 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면이라고 이름을 붙이는데

참 신기하게도 반시계방향으로 돌아가면서 이름을 붙였습니다.

(나중에 각도를 좌표평면 위에서 이야기하게 되는데 그 때 왜 이랬는지 아시게 됩니다 ㅋㅋ헤헤 각도도 좌표평면위에서 반시계방향으로 돌리면서 정하거든요)

보시는 바와 같이 1사분면,2사분면,3사분면,4사분면을 정의했는데

그러한 구역 안에 있는 점들을 '사분면 위의 점' 이라고 이야기해요.

그 안에 있다는 것을 그 '위에 있다'라고 표현하는 것이죠.

그 정의에 따르면 각각의 사분면 위의 점들의 x좌표와 y좌표는 어떤 특징을 가지고 있는지 쉽게 알 수 있을거에요

바로 x좌표와 y좌표의 부호 이야기이죠.

1사분면을 보시면 아시겠지만 x축으로부터 커지는방향, y축으로부터 커지는 방향에 있죠?

그렇기 때문에 점의 x좌표와 y좌표 모두 양수가 될거에요.

아까 파리가 앉았던 (3,5)도 1사분면인것처럼요.

그런식으로 2사분면, 3사분면, 4사분면도 각각

x좌표는 음수, y좌표는 양수

x좌표도 음수, y좌표도 음수

x좌표는 양수, y좌표는 음수

이렇게 될거가 분명하죠. 그렇죠?

여기서 한가지 더 중요한 것은

네개로 나눠진 사분면에도 점들이 있지만

x축과 y축위에도 점들이 있다는 사실을 주의하셔야 됩니다.

즉 (0,5) <- x좌표가 0, y좌표가 5 와 같은 것은 어떤 사분면 위에 있는것이 아니라, y축 위의 점이 되겠고

(3, 0)과 같은 경우는 x축 위의 점이라고 이야기할 수 있겠네요.

네 바로그렇습니다

이제 데카르트씨가 만든 좌표평면에 대해 모든 것을 공부하셨네요

궁금한것이 있으면 망설이지말고 댓글주세요

다음 강의로 넘어가겠습니다!