함수의 그래프

함수의 그래프를 공부해봅시다.

함수도 짜증나는데 함수의 그래프는 왜공부하냐구요? 디딤돌의 다음 문구를 봅시다.

"'백문이 불여일견'이라는 속담은 백 번 듣는 것 보다 한 번 보는 것이 낫다는 뜻으로 수학에도 아주 잘 어울린다. 서로 영향을 미치는 두 개의 변화하는 양이 있을 때, 많은 경우의 수치를 조사하여 기록하는 것보다 그림의 형태로 나타내면 두 변화량의 관계를 한 눈에 알 수 있기 때문이다."

뭔 개소리냐구요?

그러니까, 표로 나타낸것보다는 그림으로 나타내는게 더 잘 보인다는 뜻이겠죠?

아이구. 죄다 그림그려야되서 정말 싫어요

으앙

게다가 이부분은 필요성마저 인식시켜야하니 그것도 사례를 통해서요

정말 귀찮군요

여러분은 여러분의 선생님들이 이러한 귀찮음을 극복하고 여러분을 가르친다는 사실에 대해 감사하게 여겨야 합니다.

또한 여러분의 부모님들이 아침의 귀찮음을 극복하고 아침밥을 해주시고, 일하러 가셔서 돈을 벌어오시는 그런 행동들이 사실 부모님들께도 얼마나 힘든 것인지 알아두셔야 됩니다.

탐구활동을 통해서 표보다 그래프가 낫다는 사실을 확실히 알아두도록해요

마침 제가 해논게 있군요.

중학교 1학년때의 저에게 감사드립니다.

우람이라니 이름한번 멋지군요

열심히 뼈빠지게 일해서 저축한 돈을 사회 봉사기관에 기증하려는

이상한 사람입니다

차라리 사회봉사기관에서 봉사활동을 하는게낫지 뭐하러 일해서 돈을 기부합니까?

차라리 공부를 해서 일당을 늘린다음에 많이씩 기부하는게 좋을것같군요

말도안되는 디딤돌입니다.

아무튼 각설하구요 ㅋㅋㅋㅋ

저런 상황이 있다고 한번 가정해봅시다.

하루에 오만원씩 일당으로 받아간다는 거죠.

그때 다음 활동을 해보세ㅛㅇ

일한날을 x일, 저축액을 y 만원이라고 하면 y와 x에는 어떤 관계가 있는데

그 관계가 바로 함수이고, 나타내자면 y=5x가 되겠습니다. 당연한 얘기지요?

그때 각각의 x값에 대해서 y값을 써보자는 얘깁니다.

제가 해논게 보이시죠?

저는 중학교때부터 본질을 꿰뚫어보는 학생이었기 때문에 어차피 저 혼자 볼 것.

무엇이 더 중요한지, 일의 중요도를 이미 알고 있는 사람이었죠. 는 글씨에 대한 변명입니다.

아무튼 이런 관계가 있다는 건 알겠습니다.

사실은 표로도 아주 훌륭하게 관계를 표현할 수 있쬬

그런데 이보다 조금 복잡해지면 이게 보이겟냐는겁니다

이건 초등학교떄부터 얘기했던 문제죠?

그래서 그림이 등장합니다

각각의 x와 y를 (x,y)로 나타내었다는 세번째 줄의 표가 보이시죠?

저번 강의에서도 말씀드렸듯이

함수에서는 변하는 변수를 x라고하고, 그에 따라 종속되어 변하는 변수를 y로 주로 씁니다.

그리고 좌표평면에서는 가로축을 x축, 세로축을 y축이라고 해서 (x좌표,y좌표)이렇게 씁니다.

이 두가지는 우연이 아니겠지요

다 함수의 그래프를 나타내기 위한 초석이었던 것입니다. [초석은 비석의 밑기둥을 말해요]

표를 그래프로 나타내봐라

대신, x 값은 그대로 x좌표에, y값은 그대로 y좌표로 하는 점으로 나타내라

요런 것이지요.

위 활동의 3번에 대한 대답을 할 수 있겠나요?

"뭔가 한방향으로 쭉 이어져 있는거 같은데요?"

가 답이 될 수 있겠죠.

이게 바로 정비례 그래프입니다.

오늘 배울것은 사실, 정비례 그래프와 반비례 그래프의 생김새입니다.

아아 저희집컴퓨터는 렉이너무심해요

ㅠㅠ 울고싶어라

아무튼 다음 활동을 통해서 본격적으로 함수의 그래프에 대해서 알아보도록 해요

함수의 그래프가 왜 필요한지를 위의 활동으로 알았다면,

본격적으로 함수의 그래프를 어떻게 나타내는지 알아봐야죠.

함수에는 정의역과 치역,공역이 있다고 했던 사실 기억나시나요?

정의역은 그 함수라는 하나의 기계에 투입하는 '숫자들의 집합'

공역은 그 기계를 통해서 나올 수 있는 '숫자들의 집합'

치역은 실제로 기계를 투입해서 나오는 '숫자들의 집합' 이었죠

그림과 같이 설명했었는데

기억이 나지 않거나 이 강의를 처음 보시는 분은 전강의를 통해 보고 오세요.

아무튼! 간단히 말하면

정의역은 x의 집합

공역은 y의 집합

치역은 f(x)의 집합이기 땜시롱

함수의 그래프를 나타낼때에는

변화하는 x값과 그에 대응하는 y값(이사실 f(x)값이죠)을 나타내는 것이기때문에

정의역과 치역이 중요합니다.

그 활동을 다음 활동에서 해보자구요.

y=2x이긴 한데

정의역이 {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}이랍니다.

x자리에 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 만 들어갈 수 있다는 거죠.

공역은 따로 이야기해주지 않았네요. 따로 이야기해주지 않았으면, 일반적으로 '숫자 전체(실수 전체)'라고 표현합니다.

아직 수의 체계에 대해서 자세하게 배우지는 않았지만 수직선을 실수로 모두 채울 수 있다는 사실정도만 알아두시면

실수 전체는 곧 수직선 전체란 사실을 깨달으실 수 있을거에요

아무튼, 정의역이 저거로 제한되어 있을때

x와 y값을 대응시켜서, 그 대응된 값들을 점으로 나타내보란 소립니다.

다들 저렇게 위의 그림처럼 되실까요?

됐다면 좋군요

그렇다면 정의역에 들어가는 숫자들을 조금씩 늘려보기로 해요.

위 그림에서 세 그래프는 모두 y=2x에 대한 그래프에요.

x값에 각각의 숫자를 넣어보고, 그에 대응되는 y값을 찾아서 그 점에 콕콕 찍어서 만든 그래프지요.

이렇게, x값에 대응되는 y값을 찾아서 순서쌍으로 나타내고, 이 순서쌍을 점으로 표현한 것이 바로 함수의 그래프입니다.

다시 말해서는, 그냥 정의역의 모든 x에 대해서 간단하게 그림으로 나타낸 것이 함수의 그래프지요.

아무튼, 위의 그림 세개는 같은 y=2x인데 정의역만 조금씩 다르죠.

오른쪽으로 갈수록 정의역에 해당하는 숫자들이 점점 늘어난 것을 깨달으실 수 있어요.

이렇게 점점 늘려가봅시다.

뭔소리냐구요?

처음에 -3,-2,-1,0,1,2,3 만했다면

-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 이런식으로 숫자를 늘려보구

숫자사이 간격도 줄여서

-5,-4.5,-4,-3.5,-3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5 이렇게 많은 숫자들에대해서

y=2x 의 x자리에 넣어보고

거기에 대응되는 y값을 찾아서 점으로 콕콕찍어보자는 소리지요.

일반적으로, 어떤 함수가 주어지면 그 함수의 그래프는 '신기하게도' 어떤 일정한 모양을 띠게 됩니다.

이렇게 정비례 함수의 경우에는 정의역을 실수 전체의 집합으로 확대했을때, 그 모양이 직선으로 나타나지는 것을 알 수 있어요.

[사실은 좀만 생각해보면 직선으로 될 수 밖에 없는것 같죠? 항상 x의 두배를 한게 y니까, 일정한 비율로 나타나겠지요]

네 그렇습니다.

요렇게 정비례 함수는

y=ax 꼴로 나타나지는 함수이기 떄문에

x=0 일떄 y=0이 되고,

그 모양은 직선형태를 띱니다.

위 활동 3번의 대답에 제가 뭐라고 써놨는지 보이세요?

어차피 직선인걸 아니까

'몇점 찍어보고 작대기로 죽 긋는다'라고 써놨네요

네그래용 헤헤

그럼 a값을 변화시켜가면서 그래프를 그려볼까요?

위 그림에 원래 인쇄된 것이 아닌데 추가된 직선들은

선생님이 해보라고 해서 제가 직접 그려본 그래프들입니다.

여러분도 a값을 바꿔가면서 여러개 그려보시길 바래요.

항상 x=0일땐 y=0이 되어 원점을 지나게 되고,

a값이 양수일때는 오른쪽 위를 향하는 직선

a값이 음수일때는 오른쪽 아래를 향하는 직선이 된다는 사실을 깨달으실 수 있어요

지금 14살때는 꼭 해보는게 정말 중요하니까 꼭해보셔야해요!!

아무거나 숫자잡고 계산기 뚜들겨가면서 해보자이겁니다.

그런식으로 공부해서,

그런 정비례 함수의 성질을 정리해놓은것이 다음 표입니다.

요로코롬요

y=ax에서 a는 x의 계수죠?

a가 0이 되면 안된다는 저번에 정비례를 공부하면서

a가 0이되면 y=0*x로 아주 이상해지니까 정비례로 안친다. 라고 공부했었어요. 기억나시죠?

왜 a가 양수고 음수에 따라서 그래프의 모양이 바뀌는지는

여러번 해보셨다면 아실거에요.

양수라면 x가 양수면 y도 양수겠지만

음수라면 x가 음수면 y는 오히려 양수가 되어서 반대의 그래프가 되버리거든요.

해보셔야합니다! 여러번 강조합니다

그리고 한가지 더 드리자면

y=x

y=2x

y=3x

y=4x

y=5x 이렇게

앞의 계수가 점점 커진다면, 어떻게 될지 생각해보세요.

y=-x

y=-2x

y=-3x

y=-4x

y=-5x

이렇게 계수가 음수일때, 계수가 점점 작아진다면 어떻게 될지 생각해보세요.

그래프의 모양이 어떻게 변할지

한번씩 생각해보시기바랍니다.

옙!

---

반비례 그래프를 이어서 알아보기로해요

반비례란

요로코롬 나타내지는게 반비례 관계라고 배우신거 기억들 나시죠?

아까처럼, 우람이의 형이 뭔짓을 한거부터시작해서

정의역을 확대시켜나가면서

여러개 직접 해보면서 그래프의 모양이 어떻게 될지 생각해보자는겁니다.

고대 이집트에서는 나일 강의 범람으로 매년 경작지를 다시 구획하여야 했다.는

뭔가 있어보이기 위함이 아닐까 싶지만, 사실상 이것이 바로 도형의 시작이랍니다

맨처음에 아무 관심 없었던 도형에 대해서, 자기 땅의 크기를 재고 얼마만큼의 땅을 다시 가져야 하는가 하는 문제는

수학의 발달에 굉장한 공헌을 하게 되었답니다.

아무튼, 넓이가 12제곱미터인 직사각형 모양의 땅을 만들기 위해선

가로와 세로의 길이도 어떤 관계를 만족시켜야될것같은데

직사각형의 넓이의 공식이 뭐였죠?

가로x세로 가 바로 넓이가 되었었죠.

[이게 왜 넓이냐면 두가지 할말이 있지만, 한가지는 저번시간에 말한 2차원 이야기입니다.

1차원의 축하나인 선분을 어느방향으로 잡고 땡긴게 직사각형이죠?

드르륵 하고 늘어났다 이겁니다. 그렇기 때문에 가로x세로가되겠죠. 사실 엄밀한 얘기에선 아니지만 편의상 이렇게 받아들이세요]

아무튼 식을세워볼까요?

여기에서도 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 해봅시다

좋아요. 잘했어요.

그런데 x와 y의 관계를 나타낼때에는

y= 뭐어쩌구저쩌구 꼴로 나타내는게

보기에 가장 편하지 않았었나요?

그런식으로 바꾸려면 어떻게할까요

양변을 x로 나누면되겠죠

요렇게 되겠네요.그렇죠?

이번에도 그럼 x값(가로의 길이)를 바꿔가면서 표로 나타내보자 이겁니다

여전히 글시는 꽝이죠?

이 순서쌍들을 그래프로 나타내면요?

요렇게 됩니다. 4번을 주목해보세요.

정비례와 다르게 반비례는 요렇게 생겼죠? x값이 커질수록 y값은 줄어들고,

x값이 0에 가까워질수록 y값은 커지네요. 신기하기도하죠.

뭔가 굽은 활, 혹은 엉덩이처럼 생기기도한것 같네요

이것을 아까처럼 정의역을 확확 늘려가면서 어떻게 생겼나 직접 죄다 구해봐서

점으로 찍어서 나타내봅시다!

아이고, 아주 뭔 개소린지 하나도 모르겠는 말들이 넘쳐나네요.

이게 바로 우리나라 교육의 문제입니다.

너무 간결한걸 좋아해서 탈이죠.

왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 정의역에 해당되는 숫자들이 늘어나서

점의 갯수가 늘어나게 되는 건 알거같은데

2번3번의 x의 절댓값은 뭐죠?

그리고, 맨 오른쪽의 그래프의 정의역은 어떻게 될까요?

수 전체라구요?

근데 왜 5번에 정의역이 0을 제외한 수 전체의 집합이라고 써있을까요?

이런!

절댓값 이란

요런 식으로 나타내는 겁니다.

저렇게 어떤 수 x에 대해 왼쪽 오른쪽에 작대기를 그어놓으면

저 한 덩어리는 'x의 절댓값'이라는 뜻이 됩니다.

절댓값이 뭐냐구요?

정의를 말하자면, 수직선 상에서 0과 x와의 거리를 말합니다.

즉, 수직선에서 0과 얼마나 떨어져 있는가? 가 절댓값이라고 할 수 있습니다.

이 수직선을 보세요

0은 0과 얼마나 떨어져있을까요?

당연히 0이겠죠?

0의 절댓값은 0이다. 맞죠?

-5는 0과 얼마나 떨어져있나요?

거리 5만큼 떨어져있죠?

그래요 바로그거에요

5는 0과 얼마나 떨어져있나요?

역시 거리 5만큼 떨어져 있죠?

그래요 바로 그거에요

그래서

요렇게 쓸 수 있답니다.

즉, 절댓값은, 무조건 부호를 떼고 양수로 바꿔주는 기능을 하는데 [그것이 0과 떨어진 거리니까요]

이렇게 생각하면 좋습니다.

안의 것이 양수라면 그대로 나오고, [거리니까]

안의 것이 음수라면 마이너스를 붙여서 나온다 [음수를 양수로 바꿔주려면 마이너스를 한번 더 곱해주면 되죠]

마이너스를 빼도 되는거 아니냐구요? 그래도 되지만, 

요런 식으로 x가 문자로 되어 있으면, x가 양수인지 음수인지 모르죠?

x가 음수라고 해도 어쩔껀가요? x자체가 음수이기 때문에 떼낼 수 있는 마이너스가 없죠.

그렇기 때문에 마이너스를 붙여서 나온다고 생각하는 게 편합니다.

이를 어렵게 하나로 정리하면 이렇게 되요

요렇게 된답니다.

직역하자면, x가 0보다 클때 즉 양수일때는 그대로 x로 나오고

x가 0보다 작을때 음수일 때는 마이너스를 붙여서 -x로

x가 0일때는 그대로 0으로 나온다.

요렇게 말할 수 있습니다.

아무튼 절댓값이 0과의 거리를 나타내는 표현이니

x의 절댓값이 점점 커진다.는 0과 점점 멀어진다

즉 왼쪽 오른쪽 방향으로 점점 멀어진다는 표현이지요?

x가 0으로부터 왼쪽 혹은 오른쪽 방향으로 점점 멀어진다. 즉 한없이 작아지거나 한없이 커지면

y값은 어떻게 되나요? 점점 0쪽으로 붙으려고 하지요?

x가 0으로 가까워지면 어떻게 되나요?

y값이 폭주하는 것 마냥 무진장 커지고 말지요.

당연하지요?

직사각형의 넓이가 12인데 가로의길이를 0.000000000000000000000000000000000001이라고 생각해봐요

세로의길이는 얼마나 커져야할지요 ㅋㅋ

그럼 5번은 무슨 소리일까요?

정의역이 0을 제외한 수 전체의 집합이라니요.

요게 바로 반비례관계를 나타내는 함수였구,

저번시간에 말했는지 모르겠지만

이때 x는 0이어선 안되죠.

왜냐구요? x에 0을 넣어보세요. y값은 무엇이 될지요.

수학에서 분모가 0이되는 것은 용납할 수 없죠.

xy = 12를 생각해보세요

x가 0인데 xy=12 가 성립할 수 있나요?

절대 아니겠죠.

분모가 0이된다는 것은 참거짓을 떠나서 말이 안되는 소리가 됩니다.

그렇기 때문에 정의역도, 이렇게 분모에 x가 있을때는 분모가 0이되어선 안되죠.

바로 그렇기 때문에 정의역을 아무리 늘려도 0만큼은 포함시킬 수 없고

그래서 정의역이 0을 제외한 수 전체가 되게 된것입니다.

아무튼 찌그러진 활모양이란건 보이시나요?

뭔가 대칭된 구조인거같긴하죠

원점을 대칭으로 '점대칭'이구요

점대칭은 점을 기준으로 돌려서 똑같다는 걸 말했었죠?

그리고 잘 보시면 대각선방향으로도 대칭인걸 알 수 있을거에요

그렇지 않나요?

직사각형의 가로의 길이가 3, 세로의길이가 4일때 넓이가 12라면

가로의 길이가 4, 세로의길이가 3일때도 넓이가 12니까요

그런 관계에 있죠.

그럼 마지막으로 아까 정비례 그래프에서 했던 것처럼

a값을 음수로 해볼까요?

이번에는 제가 너무 겹쳐그려서 초록색으로 찐하게 표현해봤어요

해보시면 알겠지만 [해봐야됩니다] 양수가 아니고 음수면

저렇게 반대방향으로 그래프가 생긴다는 걸 알 수 있어요.

이 이유도 아까 정비례 그래프에서와 똑같죠

x가 양수일때 y는 음수가되고 음수일때 양수가되니까요

즉, a가 양수일때는 1사분면,3사분면에

a가 음수일때는 2사분면, 4사분면에 나타나게되죠

사분면 이야기는 잊지 않으셨죠?

축을 기준으로 반시계방향으로 돌아가면서 1,2,3,4 사분면이라 이름붙였다고 했었어요

이를 최종정리한게 다음 글이고

이것이 바로 함수의 끝이자

7-가 의 끝이랍니다.

무리를 해서 한 글에 쑤셔박았더니

저도 힘들고 여러분도 힘들게 됐네요 ㅠㅠ

요렇게 정리됩니다.

왜 매끄러운 곡선이 되냐면, 직접 해봐서 그렇게 되었다고 얘기드릴수밖에 없네요.

사실이 그렇거든요.

그리고 앞서도 말했지만

정의역과 공역은 아무말도 없으면, 즉 '주어져 있지 않으면'

모든 수, 실수 전체, 수 전체 [뭐든간에좋아요] 로 생각합니다.

그렇지만 이경우에는 x가 0이될수 없었죠? 그래서 정의역은 수 전체, 그 중에서 0만 제외한 수 전체가 됩니다.

[디딤돌 교과서에는 공역도 0이 아닌 실수 전체라고 되어있는데, 사실 그건 틀린 말이라서 뺐습니다.

공역은 '나올 수 있는 값'이지 '나오는 값인 치역'이 아니기 때문에 y가 실제로 0이 될수 있든 없든 자기맘대로 설정할 수 있거든요.]

이것이 바로 중1 함수의 끝이고

중1 일학기 수업의 끝입니다.

여러분 정말 수고많이하셨습니다.

중1 이학기 수업은 그림이 하도 많이 나오는 관계로

제가 도와드릴 수 없구요

정말 죄송하게 생각합니다

중2 일학기 수업으로 바로 넘어갈 예정이라서

이학기는 여러분의 힘으로 파이팅 하시고!

중2때 뵙겠습니다

빠이야!