방정식 - 연립방정식 - 미지수가 2개인 일차방정식(과 그래프와 연립방정식)

안녕하세요 여러분 오랜만입니다.

연립방정식을 야심차게 준비하느라 조금 시간이 걸렸네요.

 

사실은, 연립방정식은 고3이 된 지금까지도 저를 괴롭히는 문제였답니다.

왜냐구요?

어떻게 푸는지는 알았는데, 왜 그렇게 되는지는 몰랐었지요. ㅠㅠ

여러분들도 고등학교 3학년이 되서 친구들에게 물어보세요

 

"야! 연립방정식 어떻게 푸는거냐?"

 

라고 물어본다면, 다들 바보취급을 하겠죠.

 

"이러이러해서 저러저러하게 푸는거잖아."

 

바보 취급을 당했다면 다시 물어보세요.

 

"그럼 그게 왜그렇게 되냐?"

 

대답할 수 있는 사람은 Never, ever 아무도 없을겁니다.

참담하지요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

그러므로 여러분은 지금 저와의 시간을 감사하게 여기셔야할겁니다.

갑자기 왠 잘난척이죠?

들어가봅시다

 

 

 

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연립방정식이 나오게 된 이유를 알아보자.

 

 

지난시간에 연립방정식의 한자를 풀이하면서 연립방정식의 뜻을 설명했는데,

사실 그 외에는 연립방정식이 무엇인지는 한글자도 말하지 않았어요.

 

 

 

"이게 연립방정식 아니었어요?"

 

라고 물으신다면,

땡! 그건 연립방정식이 아닙니다.

 

연립방정식은 저번에도 말했지만

연달아서 서있는 방정식이었죠?

 

x+y=5

 

이것은 한줄로만 되어있네요. 연달아 서있지 않으니 연립방정식이 아니랍니다.

그치만 저런것이 바로 연립방정식이 나오게 된 이유가 됩니다.

 

 

x+y=5 와 같은 등식 역시도,

미지수의 값에 따라 등식이 성립할수도, 성립하지 않을수도 있으니까 방정식이라고 부릅니다.

그런데 x와 y의 값을 따로따로 생각해선 안되고, 한꺼번에 생각해야 했기 때문에 방정식의 해들을

순서쌍으로 나타냈죠.

 

(1,4) 이런식으로요.

해가 (1,4)라는 소리는 x=1, y=4이면 x+y=5 가 된다.

라는 말과 같습니다.

 

 

그렇지요?

 

그런데, 앞서도 말했지만

x와 y를 동시에 생각해줘야 해서

잘 생각해본다면

 

x+y=5 의 해는

'무수히 많다'라고 할 수 있어요.

 

(1,4)도 있지요

(2,3)도 있지요

(3,2)도 있지요

(4,1)도 있지요

(5,0)도 있지요

(3.1472 , 1.8528) 도 있구요

(10, -5) 도 있지요

 

정말 많습니다.

무한히 많지요.

이를 두고 '무수히 많다'라고 하지요.

 

 

이렇게, 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 무수히 많습니다.

왜 그럴까요?

 

어느 한 미지수의 값이 뭐로 결정되면,

다른 미지수의 값을 적절히만 만들어주면 해가 될 수 있으니까요.

 

지난 시간에 문제를 풀면서도 해봤죠?

그렇습니다.

 

이를 다른 말로 하면 이렇게 됩니다.

 

식이 하나이고, 미지수가 2개이면, 그 해는 무수히 많다.

 

동의하세요?

그렇죠, 괜히 물어봤네요

여태까지 같이 했으면, 당연히 동의하실겁니다.

 

 

그럼 다음으로 넘어가서

한 문장을 더 말할텐데, 한번 보시기바랍니다.

너무 놀라지는 말구요.

 

거기에 식이 하나 더 추가되면, 해가 짠! 하고 하나로 고정된다.

 

엥?

무슨 소린지 하나도 모르겠어요!

그와 동시에, 어떻게 설명해야할지도 참 막막하지요 ㅠㅠ

만약 나중에 저를 오프라인상으로 만나게 될 기회가 있으신 분들은

수고했다고 한 번 안아주시기 바랍니다.

싸인받으셔도 좋구요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

아무튼, 잡소리를 했는데

식이 하나 더 추가된다니 무슨 소린지 하나도 모르겠지요?

해가 짠!하고 하나로 고정된다니 그게 무슨소린지도 모르겠구요.

 

바보같은 여러분들,

괜찮아요 그치만

처음 들었는데 바로 알면 그건

음,, 뭐라고 할까요? 천재?

아니지 이건 천재도 아닙니다.

여러분들은 혹시 '수학 잘하게 태어난 놈, 천재' 뭐 이런것들을 믿으실지 모르는데

물론 그렇게 태어날 수도 있어요. 저는 그런 것들을 믿지 않는데,

아무튼 중요한거는 '수학 잘하게 태어난 놈'들도 문제 푸는 방식은 똑같애요.

숫자는 누구한테나 똑같은 의미이죠?

천재라고 해서 뿅!하고 뭐 되는거 아니란 소리에요.

그니까 저렇게 애매모호하게 써놓았는데 바로 알아들으면 그건 천재가 아니라 또라이죠. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

 

 

이상한 문구를 처음 보고 당황했을 여러분들을 위해 주저리 주저리해봤습니다.

 

 

식이 하나 더 추가 된다면 미지수가 2개인 것도 그 순서쌍이 하나로 결정된다니,

그 참 놀랍지만 왠지 그럴것 같기도 하지요.

 

그것이 바로 연립방정식이 생기게 된 이유입니다.

미지수가 2개인 식이 하나라면 해는 무수히 많지만,

식이 두개라면 해는 딱 하나로 고정되거든요.

 

이에 대해서는 뭐 하나의 식은 하나의 정보를 갖는다 어쩌구저쩌구라고 할 말이 많은데,

지금 말해봤자 받아들이시기 어려울테니까 새로운 관점을 한 번 접해봐요.

 

 

그래서 결론이 뭐냐구요?

 

믿고 따라오세요.

저 문구를 다음강의 혹은 다다음강의 정도에는 해석해 드릴테니까요.

 

 

 

 

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연립방정식이 뭔지 알게 되는 그날을 위해,

 

연립방정식의 의미를 '글자로' 받아들일 수 있는 날을 위해

 

여러 가지 이야기들을 통해서 그 느낌을 받아들이고 연립방정식이 뭔지 깨닫는다.

 

 

이것이 이번 강의의 제목입니다.

엄청나게 길지요? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

사실 중학교 선생님들도 똑같은 방식으로 가르친답니다.

그치만 말을 안해줄 뿐이죠.

저는 이렇게 자세히 까발려주니 얼마나 좋아요.

 

왠지 마음한구석이 든든하지요.

 

 

연립방정식을 받아들이기 위해 지난시간에는 미지수가 2개인 일차방정식에 대해서 열심히 배워봤습니다.

해가 무수히 많니 어쩌니, 범위가 자연수로 결정되면 해가 몇개로 줄어들 수도 있니(지난 시간의 문제 3번의 1번을 떠올려보세요)

범위가 0또는 자연수일수도 있니 어쩌니

 

이런 이야기들을 통해서 뭔가,

음, 그렇군. 이라고 생각이 들었으면 성공입니다!

 

그럼 오늘의 테마는 뭘까요?

 

 

방정식의 해를 그래프로 나타낸다.

 

 

띠용? 뭔소리지요.

그래프는 어디서 많이 들어본 말같군요.

 

중학교 1학년 마지막부분쯤에 정비례 반비례를 배우고 함수를 배우기전에

x축이니 y축이니 좌표평면이니 하는 이야기들을 배웠었죠?

거기 위에 나타낸 그림들을 '그래프'라고 했었구요.

오오 그렇죠그렇죠

 

저와 함께한 친구들이라면 무서울게없지요.

그때도 이얘기를 했던 것 같은데

 

 

(x, y)를 직접 x좌표, y좌표를 찍어서 나타낸다.

 

 

뭔소리냐구요?

탐구활동을 해보십시다!

 

 

 

 

음, 중국은 우리나라보단 왼쪽에 있으니까 시간이 다르겠네요.

그쵸? 해는 동쪽에서 떠오르니까 우리가 먼저 해뜨는 걸 보고 나서 한시간 뒤에야 중국사람들이 해뜨는 걸 볼 수 있다는 소리입니다.

 

그러니까 지구의 자전 때문에 낮과 밤이 바뀌게 되니까

그걸 시간의 기준으로 정했는데,

 

정확히 말하자면 영국이 표준 시간이랍시고 자기네들한테 맞춰!라고 기준을 정해놓고,

지구를 세로선으로 24등분해서 세로선 하나를 지날때마다 한시간씩 늦추거나 빨라지게끔 정해놨답니다.

 

그것이 바로 시차지요.

이건 뭐 알필요는 크게 없고

 

그런 북경의 시각을 x시,

우리나라의 시각을 y시라고 하면

 

x-y=-1 입니다.

 

이건 함수죠?

x가 정해지면, y가 정해지니까요

 

근데 미지수가 두개인 일차방정식이기도 하지요?

x와 y값에 따라서 식이 만족할수도 있고, 만족하지 않을수도 있으니까요.

 

근데 저번 강의부터 이런 방정식을 풀어봤으면 알겠지만,

해를 구하려면, x나 y 둘중 하나를 딱 정해놓고, 식이 성립하도록 나머지를 잘 조절했어야 했습니다.

그 의미가 바로 함수랑 똑같죠?

하나가 정해지면, 그 식을 만족시키기 위해서 다른 하나가 딱 정해지는게 함수니까요.

 

음음음 그래요그래요

 

x-y=-1 이라는 식은

함수로도 볼 수 있고, 방정식으로도 볼 수 있군요.

단어 자체에 의미차이가 있을 뿐이지요.

생각하기 나름이라는 겁니다.

 

아무튼, 하고싶은 말은 그게 아니고

 

이렇게 미지수가 2개인 것들은, 그 해들을 구하면 순서쌍이 될텐데, 그 순서쌍을 얼마든지 그래프로 나타낼 수 있다는 겁니다.

함수로 해석하자면, x값이 변함에 따라서 그 식을 만족시키도록 y값이 적절하게 변할텐데

그것들을 다 좌표평면에 점으로 찍으면 함수의 그래프지요.

 

방정식으로 해석하자면, 이 방정식을 만족하는 해는 (x,y) 이렇게 순서쌍으로 나타낼 수 있는데

그것들을 다,

x값은 x좌표로, y값은 y좌표로 찍을 수 있지요.

방정식의 그래프가 됩니다.

 

둘이 결국엔 똑같은 말이 되지요?

그래요 그래요

함수의 그래프를 했었다면 별거 아니게 됩니다.

 

아직도 별거처럼 느껴진다면

다음 단계를 따라오세요

 

 

 

다시 관광객 이야기로 돌아와봅시다.

북경과 우리나라의 시간이 한시간 차이가 난댔었쬬?

그래서 북경의시각을 x, 우리나라 시각을 y시라고 하면

x - y = -1 이되었죠.

 

그럼 각각 북경의 시각에 대해서 우리나라 시각을 알아 볼 수 있겠지요.

거기에 대해서 순서쌍을 만들 수도 있을거구요.

그 순서쌍들은 이 식의 해가 됩니다. 그렇지요?

 

그렇구말구요.

 

그럼 다음 단계로 넘어오시죠.

 

 

 

4년전의 제가 열심히 점을 이쁘게 똥그랗게 찍어놨군요.

여러분들도 할 수 있으리라 믿습니다.

함수의 그래프와 똑같죠?

 

한가지 짚고 넘어가자면,

지금 찍은 점들은 순서쌍들로서, '이 방정식의 해'가 됩니다.

x좌표가 3, y좌표가 4인 곳에 점이 찍혀있는 걸 볼 수 있는데, 이 (3,4)가 x - y = -1의 해가 되지요.

그치요?

 

그러니까 방정식의 해를 점을 찍어 나타내면

점들이 나타내는 건 바로 방정식의 해라는 겁니다.

아주 당연한 말인데 한 번 곱씹어볼 필요가 있어요.

 

다음 단계로 가봅시다

 

 

 

말할 필요도 없지요.

무한

입니다

 

 

방금 점 찍은건 순서쌍 7개에[ 대해서만이었는데,

x와 y값 범위를 수 전체로 늘렸을때 어떻게 될지 생각해보랍니다.

정비례 그래프를 그리면서, 점몇개를 찍어봤다가 나중에 점점 범위를 늘렸던거 기억나시죠?

[이 경우에는 사실 북경의 시각이 x라서 수 전체가 범위가 될 수는 없겠쬬 ㅋㅋㅋ 많아봐야 24시간이 끝일테니까요

그치만 북경의 시각이라고 했던건 잊어버리고, 숫자 자체로 접근해봅시다]

 

범위를 다 넓힌단 소리는

미지수가 2개인 일차방정식을 풀 때에, 한가지 미지수를 정해서 하나의 값을 정할텐데,

그 정할수 있는 범위가 수 전체, 즉 수직선 위의 모든 수라는 뜻입니다.

그럼 모든 x좌표에 대해서 거기에 해당하는 y좌표가 하나씩 있겠죠?

그것들을 다 점으로 찍어보자! 이말입니다.

 

그럼 어떻게 될지 뻔히 짐작이 가지요?

 

 

 

점들이 다닥다닥다닥다닥 붙어있어서

쭉 하나로 연결되어, 직선 모양이 될겁니다.

 

그렇군요!

1학년 2학기때 배웠듯이 직선은 연속된 점들로 이루어져있따는 것을 배웠었쬬?

그러니까 저기 위의 직선중 아무 한 곳의 점을 생각할 수 있구요

그 점을 순서쌍으로 나타낸다음에 x - y = -1 에 대입하면

성립한다.

즉 그 순서쌍은 방정식의 해가 된다.

란 사실도 깨달을 수 있지요.

 

와우!

 

 

정리해봅시다

 

방정식의 해를 그래프로 나타낼 수 있고, 역으로 그 그래프 위의 점들은 방정식의 해가 되었습니다.

방정식이나 함수나 사실 한끝차이로서 관점의 차이일뿐 두개가 크게 다른 것은 아니란 것을 배웠습니다.

 

그리고 미지수가 2개인 일차방정식을 이렇게 그래프로 나타내면

일직선으로 짝 생긴 멋들어진 그래프로 나타내어진다.

 

즉 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프는 직선이다. 라는 사실을 배웠구요,

 

 

 

 

미지수가 2개인 일차방정식을 '일반화'해서 나타내자면

 

 

 

이 됩니다. 그쵸? a와 b가 영이 되선 안되는 이유는, 0이 되면 x나 y가 죽어버리기 때문에

더이상 미지수가 2개인 일차방정식이 안되기 때문입니다.

중2정도면 그 뜻을 파악할 수 있으리라 믿지요.

 

이렇게

 

ax+by=c 꼴의 방정식의 그래프를 수 전체 범위에서 그리면 직선이 나타나고,

그 직선상의 모든 점들은 다시 ax+by=c의 해가 됩니다.

 

직선 상의 모든 점들이 ax+by=c의 해가 되기 때문에, 그 방정식을 그 '직선의 방정식'이라고 이름붙입니다.

다시말하면 방정식을 그래프로 나타내면 직선이 된다는 소리기도 하지요.

 

계속 똑같은 말 반복하니까 짜증났지요?

이제 이거 하나보여주고 끝낼거에요

 

 

 

이걸 해석하자면

일차방정식은 직선으로 볼 수 있고

그 직선은 일차방정식으로 볼 수 있다는 겁니다.

 

[완전 누운거나 완전 서 있는 직선은 예외인데요. 그 예외들은 고1때 배웁니다. 알고 싶다면 댓글달기!]

 

 

 

 

와!!!!!!!!!! 다했네요

짝짝짝짝

 

근데요....

이거 왜했어요?

 

 

미지수가 두개인 일차방정식 해가 엄청 많은 건 알겠구요

그걸 다 점으로 찍어 나타내면 직선인건 알겠는데요

직선은 끝없이 쫙 놓여있으니까 해가 무수히많다는 것을 보여준다는 것도 알겠는데요..

우리 지금 연립방정식 공부하고 있잖아요

 

 

그래요.

그래서 이걸 준비했습니다.

 

 

 

 

다음에 주어진 일차방정식과 그 그래프를 짝지어라

 

짝지을 수 있을까요?

어떻게 할까요?

 

앞에서 했던 얘기들을 떠올리면 쉽죠

 

일차방정식은 직선! 직선은 일차방정식인데

일차방정식의 해를 모두 점으로 찍은게 직선!

직선 위의 모든 점은 일차방정식의 해!

 

그러니까 짝짓기 위해서는

직선위에 아무 점이나 하나 잡아서, 그 순서쌍이 (1)번과 (2)번 중 어떤 방정식의 해가 될까 생각해보면 되겠네요.

 

그래요그래요

쉽네요

 

 

가 하고싶은 말은 아니었구요!

 

x-y = 5 는 ㉠

2x+y = 6 은 ㉡

 

에 짝지어진다는 건 쉽게 알아 볼 수 있는데,

중요한 건 그 다음입니다.

 

㉠ 의 모든 점은 x-y=5 의 해지요?

㉡의 모든 점은 2x+y=6의 해지요?

 

이렇게 해의 분포가 쫙 직선형태로 늘어져있다는 사실을 볼 수 있습니다.

아! 그렇네요.

 

다르게 말하면, x가 2일때 x-y=5 에서 y값은 -3이구

2x+y=6일때 y값은 2네요

 

즉 (2,-3) , (2,2)로 각각 해를 가진다는 것을 알 수 있습니다.

 

이렇게, 각각의 식은 각각의 해를 고유하게 가지고 있지요.

그 느낌을 충분히 직선을 통해서 알 수 있겠죠?

 

 

그렇다면!

저기 저 직선이 서로 만난 부분은 뭘 뜻할까요?

 

확대해줘요?

 

이 부분,

 

딱 저점!

저 점은 뭘 뜻할까요?

두 직선이 겹쳤네요!

 

저 점은 두 직선이 공유하는 점이네요!

그 뜻은?

두 일차방정식의 공통적인 해가 되겠지요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이게 바로 연립방정식입니다.

두 식은 각각의 정보를 갖고 있다. 각각의 직선 모양을 하고 있지요.

그런데 겹치는 해는 딱 하나로 정해지게 되구요

그 해를 찾아라!

이것이 바로 연립방정식이죠

 

(1)x-y=5

(2)2x+y=6

 

이렇게 두 방정식이 나란히 서있죠?

이 나란히 서있는 방정식을 연립방정식,

두 방정식을 모두 성립시키는 미지수의 값을 연립방정식의 해라고 합니다.

 

찾는 방법은 여러 가지가 있는데

방금 한 것이 그 중 하나인 직선을 통해서 나타내기. 입니다.

(1)직선 위 점들은 (1)식을 만족하구,

(2) 직선 위 점들은 (2) 식을 만족하니까

(1) 직선과 (2)직선이 만나는 위치의 점은 (1)식과 (2)식을 모두 만족하겠죠.

[이 방법은 사실상 모든 점 찍어보기랑 같구, 그 말은 사실상 모든 값 대입해보기랑 같아요.

이건 고등학생이 되면 더 와닿을 이야기!]

 

아! 그렇군요!

 

 

오늘 얻을 것은 이게 끝입니다!

정말정말 수고하셨습니다.

 

연립방정식의 의미를 마지막에 뙇! 하고 보여드렸는데

그 구체적인 의미를 다음 시간에 다시 한번 상세히 설명해드리겠습니다

정말로 수고하셨습니다!

여러분들이 정말 자랑스럽습니다

연립방정식은 결코 만만한 것이 아니랍니다

그런데도 이렇게 따라와주셨으니 정말 대단하십니다

 

 

 

 

 

마지막으로,,,

연립방정식을 위해 공부하긴 했지만

이렇게 미지수가 2개인 일차방정식을 그래프로 나타내면 직선이 된다는 사실은 꽤 중요해요

보셨는 지 모르겠지만 탐구활동을 할때 4년전의 저는 편의를 위해서 x-y=-1 을 x+1=y 로 바꾸어서 풀었었죠?

y=x+1 이런식으로 나타내었는데, 이건 함수를 표현할때 주로 정리하는 방법이죠.

x값에 대해서 y값이 어떻게 결정될지 한눈에 보이니깐요. 아무튼 뭐가되었든 간에 이런 일차식은 직선모양이 된다는 사실을 아는건 꽤 중요합니다.

그래서 여러분께 여러번 직선을 그어보면서 그 의미를 파악해 보라고 말씀드리고 싶어요

그래서 디딤돌 예제를 하나 보여드리면서,

여러분들도 직접 빈 종이에 좌표평면을 그리고 직접 찍어가면서 직선을 그려보시기 바랍니다

 

 

 

 

직선 쉽게 그리기

 

그럼 다음시간에 만나요!