연립방정식을 드디어 풀어보자! - 소거와 가감법

무려 세 강 동안이나 연립방정식이 뭔지, 왜 만들었는지, 어떤 방법으로 접근할지 등등등에 대해서 이야기했었네요

다른 애들이라면 그냥 턱괴고 문제집에 써있는 3줄짜리 요약글 읽거나

아니면 학원선생님이 이건 요렇게 요렇게 푸는거야. 알았지? 이제 나눠준 학습지해볼까? 라고 하면서 소홀히했을 부분을

여러분들은 하나하나 읽어가면서 그 느낌과 의미를 알게 되었죠.

이 얼마나 아름답습니까? 아주 좋습니다.

그럼 드디어 연립방정식을 어떻게 푸는지에 대해서 다뤄봅시다.

사실은 이전시간에도 몇번 언급했었지만요

오늘은 푸는 '방법'에 대해 설명할거고

다음시간에는 그렇게 풀 수 있는 '이유'에 대해 설명하겠습니다.

신나죠?

그니까 오늘은

꾹꾹 쭉쭉읽어보세요.

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역시 디딤돌은 일상생활의 사례를 끌고와서 설명하고 있는데

그게 아주 좋습니다

같이해봅시다.

지난 시간에 농구선수 이야기를 보고 오신 분들이라면 알겠지만

전형적인 연립방정식 문제입니다.

대체 바둑돌을 넣어놓고 왜 몇개씩 넣어놨는지 자기가 모르는지는 알 수 없지만요.

아마 다른 사람이 넣어놓고 선물했는지도 모르겠군요.

그럼 흰 주머니나 검은 주머니를 직접 까보면 알텐데 그것도 이상하네요

'문제의 실용성은 꽝인 디딤돌 예제네요 ㅋㅋㅋ 사실은 이렇게 뻔히 해보면 아는 거는 '수학 문제용'으로밖엔 의미가 없고

다음 단원인 연립방정식의 활용에서 진짜 의미있는걸 하실 수 있을거에요. 그러라고 만든 연립방정식이니까요.'

아무튼, 이 때의 x와 y값을 구하는 것이 우리가 해야할 문제죠.

그럼 이 문제는 어떻게 풀어야 될까요?

먼저 첫번째 문장을 읽어봅시다.

"바둑돌을 x개씩 넣은 흰 주머니와 y개씩 넣은 검은 주머니가 있다."

아 예, 그래요. 문제 자체에서 미지수를 정해줬군요.

흰 주머니에 들어있는 바둑돌의 갯수는 x,

검은 주머니에 들어있는 바둑돌의 갯수는 y로 하기로 했군요.

두번째 문장을 읽어봅시다.

"흰 주머니 3개와 검은 주머니 2개에 들어 있는 바둑돌의 개수의 합은 12개이고,"

이렇게 하나의 정보가 주어졌다는 걸 알 수 있겠죠?

구체적으로 x와 y가 뭔 값인지 알려주는 정보중 하나입니다.

지난 시간에 식 한개는 하나의 정보를 갖고 있다. 그 이야기 기억하시죠?

그럼 이 이야기를 눈에 잘 들어오도록 그림으로 나타내봅시다.

그렇죠?

식으로 나타내면 3x+2y=12 입니다.

이 때는 x나 y값이 하나로 정해지지 않는다고 지난시간까지 주구장창 이야기했었죠?

이제 세번째 문장을 읽어봅시다.

"흰 주머니 1개와 검은 주머니 2개에 들어 있는 바둑돌의 개수의 합은 8개이다."

두번째 문장의 ~이고, 와 세번째문장의 ~이다를 주목하세요.

이 뜻은 x와 y가 두번째 문장도 만족해야 되고, 세번째 문장도 만족해야 된다.란 뜻으로

두 가지 정보를 줄낀데, 그 정보를 둘다 만족해야 된다. 그런 x와 y를 찾아라!

이게 바로 연립방정식의 의미였죠.

아무튼 이것도 그림으로 나타내봅시다.

이런 식으로 나타낼 수 있겠죠?

식으로 나타내면 역시 x+2y=8 입니다.

자 주어진 정보에 대한 해석이 끝났죠?

그럼 대체 이제 어떻게 푸냐 이말입니다.

그림을 붙여서 나타내볼까요?

눈에 보기 편하죠?

위에 그림도 만족해야되고, 밑의 그림도 만족해야 됩니다.

근데 이건 사실 지난 시간에 배운 연립방정식의 생김새와 똑같은 구조랍니다.

똑같죠?

그냥 한번 보여줘봤습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

다시 그림으로 돌아오면요

주머니를 까보는 건 금지되어 있죠.

여기서 흰 주머니와 까만 주머니 안에 들어있는 바둑돌의 갯수는 어떻게 구해야될까요?

흰 주머니 3개 + 까만 주머니 2개 = 12개..

흰 주머니 1개 + 까만 주머니 2개 = 8개

엥? 그러고보니 까만 주머니의 갯수가 2개였네요.

그럼 흰 주머니 3개 + 까만 주머니 2개 여기에서

(흰 주머니 1개 + 까만 주머니 2개) 이만큼을 치워버리면?????

흰 주머니는 2개만 남을 것이고,

그 안에 들어있는 바둑돌의 갯수도 알 수 있겠죠????

몇개죠?

네 그렇죠 4개죠.

WOW!

그럼 흰 주머니 하나에는 몇개가 들어있을까요?

2개 들어있겠죠.

좋아요!

그럼 이제 까만 주머니에 들어있는 갯수도 알 수 있겠네요.

두개 까만 주머니 속 바둑돌은 6개고,

그렇다면 주머니 한 개에는 3개 들어있겠죠?

WOW!

그럼 이 느낌을 가지고 이걸 식으로 그대로 써서 해보기로 해요.

요렇게 두 개의 식을 동시에 만족하는 x,y 를 구할때는

2y 어치만큼씩 각각 있으니까

그걸 아예 빼버려서 x값을 구하고

그 x값을 가지고

하나의 식에 대입해서

y값도 구할 수 있군요.

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여기까지가 얼떨결에 해본 연립방정식 구하기입니다.

하란대로 해서 해보긴 했는데, 뭐라는 거야! 라고 생각할지 모르겠어요 ㅋㅋ

그렇기 때문에 제가 이 글을 쓰고있는거죠. 저만 믿고 더 따라오세요.

연립방정식은 문자를 소거해나가면서 푼다.

무슨소리냐, 방금 위에서 했던 주머니 이야기를 생각해봅시다.

흰색주머니와 검은색 주머니가 있었고

그것들 안에 바둑돌의 수를 구하기 위해 두가지 정보가 주어졌었죠.

즉 하나의 식 3x+2y=12 와

하나의 식 x+2y=8 이란 두개의 식이 주어졌었죠. 각각의 식은 하나의 정보씩을 가진다고 했으니까요.

이 둘을 모두 만족시키는 x와 y값을 구하는 것이 목표!

그렇다면 지난시간에 말한대로 순서쌍목록을 좌아아아악 뽑아와서

두개의 식에 각각 대입해보면서 되면은 오 된다! 와 짝짞짝하고 답에 쓰면 끝이었죠.

아니면 직선으로 그려서 교점을 찾든가요.

그렇죠?

근데 그것들은 정확하지 않거나 너무 힘이 드니까 이 방법을 사용하게 되는데

그것이 바로 '소거'입니다.

소거란, 연립방정식에 들어있는 여러 개의 미지수중 하나의 미지수를 없애는 것을 말합니다.

우리가 지금 푸는 연립방정식은

미지수가 2개인 일차방정식 2개가 모인 꼴로 만들어집니다. 그렇죠?

미지수가 2개인 일차방정식을 푸는 방법은 어떻게 되었었쬬?

우선 x값을 정하고, 거기에따라서 y값을 잘 맞춰주면 그것의 해를 구할 수 있었지요. 그렇죠

그럼 우리가 해야할 일은

"두 식을 모두 만족시키는 (x,y)를 구해야 되는데, 동시에 구하기는 참 어려우니깐

두 식을 모두 만족시키는 x 부터 구해본다." => y를 없애고 x부터 구해본다. => 소거

반대로 x를 없애서 y부터 구해도 되겠죠.

그니까, 

두개를 동시에 생각하는 건 버거우니깐, 하나만 딱 구해서 해보자 이겁니다.

실제로도 흰색 주머니 속의 바둑돌의 갯수를 구해놓고, 그 숫자를 이용해서 검은 색 주머니 속의 바둑돌을 구한것처럼요.

그렇게 할 수 있는 방법은 무엇이 있을까요?

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등식의 성질을 이용해서 변변 더하고 뺄 수 있다.

등식의 성질을 주욱 나열해봅시다.

1. 양변에 같은 숫자를 더해도 등식은 성립한다 [여전히 같다]

2. 양변에 같은 숫자를 빼도 등식은 성립한다 [여전히 같다]

3. 양변에 같은 숫자를 곱해도 등식은 성립한다 [여전히 같다]

4. 양변에 0이 아닌 다른 숫자로 나눠도 등식은 성립한다 [여전히 같다]

이렇게 4가지 성질이 있었습니다.

우리가 여기서 이용할 것은 첫번째 이야기이죠.

양변에 '같은 숫자를 더해도 등식은 성립한다'

그런데!!1

두구두구두구두구

'같은 숫자를 더할땐 모양이 꼭 같지 않아도 된다.'

뭔소리냐구요?

a = 5 라고 해봐요.

b = 3 이라고 해보죠

a+b 는 몇이죠?

8이죠?

정말 쉽죠?

이걸 이런 방식으로 한번 생각해봅시다.

a = 5 에다가

똑같은 수를 더할낀데

왼쪽 변에는 b를 더하고, 오른쪽 변에는 3을 더한다구요.

b나 3이나 똑같은 숫자니까 그게 가능하지요?

이렇게 말이죠.

이 성질을 이용해서 바로 연립방정식에서 다른 미지수를 소거시킬 수 있는 것입니다.

예제 한번 보시죠.

좌변과 우변을 각각 더해서

y값을 먼저 구하고, [소거]

그 y값을 가지고 ㉠ 식이나 ㉡ 식에 대입을 해서 x 값을 구했죠. [대입]

이렇게 양변을 더하고 빼면서 소거시켜서 연립방정식을 푸는 방법을

加 (더할 가)

減 (뺄 감) 을 사용해서

가감법 이라고 합니다. 더하고 빼서 풀었다는 소리입니다.

연립방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데,

모든 것이 다 미지수를 하나씩 없애서 하나의 미지수값만 확정시킨다음에,

그것을 다시 대입해서 다른 미지수값까지 구하는 방법입니다.

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어때요

감이 와요?

우선 푸는 방법은 알겠죠?

두 개 식을 모두 만족시키는 해를 구해야 되는데,

미지수가 2개이니까 모두 구하긴 참 어려우니까

두 개 식을 모두 만족시키는 '한 개 미지수만 구해보자!'라고 생각해서

적당히 더하고 빼서 하나의 미지수를 소거시키고,

남은 미지수값을 가지고 다시 대입해서 푸는거죠.

그 푸는 원리에 대해서 샅샅이 파헤쳐보는 시간을

다음 시간에 가질텐데,

지금 상당히 찝찝할지 모르겠어요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

그땐 문제를 풀면서 찝찝함을 덜고

연립방정식 가감법에 익숙해진후 다음 시간으로 오도록 해요

문제 네개 내고 갑니다!

 

 

1. x=12, y=2

2. x=6, y=-3

3. x=-1, y=-2

4. x=3, y=-1