ㅇㅇㅇ님 질문 답변 - 루트끼리의 곱셈

ㅇㅇㅇ님 질문 원 글 : 안녕하세요 제곱근의 성질에서 막혔어요

근호가있는 식에 계산에서 

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서

나눗셈에서 루트 따로따로 있는거하고 루트가 합친거하고 같다고 한건데

둘다 제곱근이다 이런의미에요 아니면

루트 따로따로 있는거 계산하면 루트가 합쳐지게 된다 이런의미인가요

수학 의미가 알수가없어서 혼란이오네요 ㅠㅠㅠㅠ

---

저도 안녕하세요 ㅋㅋㅋ

제곱근의 성질을 공부하고 계신걸 보니 중학교 3학년이신가봐요?

아닌가?

제가 배울때는 이게 중학교 3학년 일학기 과정이었는데

지금은 일학기도 다 지나갔으니까

선행학습중이신거일랑가요

아무튼 저무튼 답변해드릴게요

일단 

루트가 뭔지 그 의미를 명확히 하셔야 제곱근의 성질이 도대체 무슨 소린지 알 수 있습니다.

루트가 무엇인지 한번 말씀해보세요.

루트라는 것은,

어..

말그대로 제곱근을 나타내는 뜻입니다.

제곱근이란 제곱의 반댓말이지요. 요걸 제곱해서 조게 된다면

조거의 제곱근이 요거지요.

즉,

라는 것은

제곱해서 5가 되는 수.

란 뜻입니다. 

실제 그 값을 찾아보면 2.2360679774‥‥‥ 어쩌구저쩌구 해서 이른바 무리수가 되지요. 순환하지 않는 소수를 무리수라고 하지요?

루트 5라는 것은, 2.2360679774라는 길게 써야 하는 숫자를 간단히 나타낸 기호라고 볼수 있어요.

그 자체가 하나의 숫자를 나타내게 되죠.

물론 절댓값이 같다면 음수를 제곱해도 값은 똑같아 지니까

-2.2360679774어쩌구저쩌구를 제곱해도 5가 될수있겠죠.

이렇게 제곱근은 항상 양수와 음수로 나타내어지는데,

양수는 그냥, 음수는 -를 붙여서 나타내기로 했지요.

그러니까 정리해보자면

어떤수를 제곱해서 a가 된다면

이 제곱한 숫자를 a의 제곱근이라고 하는데,

양수와 음수가 각각 하나씩 있다.

그것을

요렇게 기호화 해서 나타낸다.

[제곱하면 항상 양수가 되니까 루트안의 a는 항상 양수가 되야겠지요?]

여기서 왼쪽의 양수값을 루트 a라고 읽고,

오른쪽의 음수 값을 마이너스 루트 a라고 읽지요.

그 말은 '루트 자체는 양수를 나타낸다'라는 말과도 같아요.

물론 고교과정 이상에서는 루트안에 숫자가 음수가 되는 경우도 새롭게 생각하고,

제곱근말고 세제곱근, 네제곱근 등등 도 다루지요. [세제곱근, 다섯제곱근 이렇게 홀수제곱근은 루트 자체가 양수가 아닐수도 있어요.]

혹시 궁금하시다면 댓글주세요.

---

아무튼 대답하기에 앞서서 쭉 적어보았는데

그 이유는 루트의 성질이 뜻하는게 뭔지를 알려면 저것을 알아두어야 하기 때문이죠.

[물론 지금 배우는 루트의 성질을 나중에 가면 그냥 하나의 공식정도로 사용하지만,

그 공식이 의미하는 바가 무엇인지 알려면 우선 루트가 뭔지부터 알아두어야 합니다.]

그래서 지금부터 시작해봅시다.

교과서든, 개념원리 문제집이든, 개념+유형편이든, 쎈수학이든 뭐든 수학공부를 할때 제곱근의 성질이라 가르치는 것이 있을거에요.

거기엔 이렇게 쓰여있겠죠.

우선 위의 부등식으로 주어진 조건은 왜 들어갔는지 잘 아시겠죠? 루트안의 숫자가 음수가 되면 [현재 과정에서는] 음수의 제곱근이 말이 안되니까 반드시 0보다 커야 되지요. 

굳이 루트0 = 0 이란 사실도 이용하고 싶으면

a=0 이거나 b=0 일때도 생각할 수 있겠지요.

[그치만 2번의 경우에서는 a가 0이되면 분모가 0이되니까 그런 일은 일어나선 안되겠지요?]

그럼

1번만 이해하면 2번은 수월하니까 1번부터 살펴보기로 해요.

우선 쓰여있는 의미 그대로 한글로 읽어보기로 해요.

a랑 b가 뭔 숫자인진 몰라도 일단 있는데,

음수는 아니고 양수거나 0인가 보더라.

근데 이때 루트a랑 루트b랑 곱하면 루트(ab)가 되더라.

루트 a 는 제곱해서 a가 되는 숫자중에 양수를 뜻하고,

루트 b는 제곱해서 b가 되는 숫자 중에 양수를 뜻하는데

그 숫자 두개를 곱하면 (ab 전체에 루트 씌운것),

즉 제곱해서 ab가 되는 숫자 중에 양수인 값이 되더라.

직접 예시를 보며 생각해 볼까요?

아까 루트 5 값을 살펴보았었는데,

그 값은 

 였지요

루트 2값은 얼마인지 알아볼까요?

보통 중학교 3학년 학생들은 루트값을 앞 세자리까지 외우는애들도 있던데

뭐 상관없어요.

한번 몇인지 봐두는것도 나쁘진 않아요.

 요런 숫자랍니다.

그니까 제곱근의 성질이란 게 뭐냐면

저 두 숫자, 2.23606 어쩌구저쩌구, 1.414213 어쩌구저쩌구 를 서로 곱하면 

이란 숫자가 되는데, 즉 두 숫자를 곱해서 그걸 또다시 제곱하면 10이 된다는 말이에요.

왠지 당연히 그럴것 같기도 하면서 신기하기도 하지요.

실제 루트 10의 값을 찾아보면

요런 숫자가 되는데 실제로 곱했을때 그렇게 되는지 알아볼까요?

계산기면 충분하겠죠.

와우!

물론 끝없이 이어지는 숫자를 곱할 수는 없으니까 앞의 조금만 떼다가 곱했기 때문에

뒷부분까지 완벽하게 같지는 않지만

루트 2랑 루트 5랑 곱했더니 루트 10이 되었음을 알 수 있죠?

이란 것은 그런 의미이다.

그렇다면 이게 왜 그런지 궁금해지기도 합니다.

사실 

일 것 같은 생각도 중3초기에는 마구마구 드는데,

사실 이렇게 더하는 것은 불가능하지요.

[같은 루트2끼리 더해서 3루트2가 되거나 이런 식의 계산만 가능하지요.]

그럼 덧셈은 이렇게 자연스럽게 안되는데

곱셈은 그냥 뚜껑 속끼리 곱하면 되는 이유가 도대체 뭐냐???

에 대한 증명은

우리가 언젠가 배웠던 지수법칙 4번째 이야기로 증명이 가능하지요.

는 제곱하면 2가 되지요.

는 제곱해서 5가 되구요.

그럼  역시, 두개의 숫자를 곱했으니 이것 역시 하나의 숫자를 나타내겠지요? [이미 루트10이란 것을 확인은 했지만요.]

이걸 한번 제곱해볼까요?

와우!

루트2랑 루트5랑 곱한 수를 제곱하는 것은,

각각을 제곱하는 것과 같으니까 각각 제곱해서 2와 5의 곱이 되었지요.

그렇기 때문에 10이 되었군요?

아니 근데 잠깐만 살펴봅시다.

루트 a의 정의가 뭐였죠?

제곱해서 a가 되는 숫자중에 양수

근데 를 제곱했더니 10이 되었지요?

그리고 루트 자체는 항상 양수니까 도 양수, 도 양수.

따라서 두개를 곱한 도 양수지요.

그러니까 는 결국 '제곱해서 10이 되는 양수' 가 되는군요.

그렇다면 자체가 바로 이었군요!

이를 일반화해서 적으면 이렇게 된답니다.

---

아! 이런 뜻이었군요??

그렇다면

 여기서 2번 역시 똑같은 의미로 설명하고, 똑같은 방법으로 증명해볼 수 있답니다.

그래서 제곱근의 성질에는 이러한 뜻이 담겨져 있는데

'결론적으로 말하자면' 루트 끼리 곱할때는 루트 안의 내용물끼리 곱해서 나타내면 된다.

라는 뜻이 되지요.

이를 통해서 제곱근끼리의 곱셈하면 어떻게 되는지 '새로운 숫자의 제곱근'이 된다는 것을 깨닫고

제곱근끼리 실제 곱할때 그것을 적용할 수 있게 되는거랍니다,

그니까 질문에서 쓰신 말을 그대로 사용해서 나타내자면,

둘다 제곱근인 것들을 서로 곱하거나 나누면, 그것은 새로운 것의 제곱근이 된다.

즉, 따로따로 루트를 계산하면 하나의 루트로 합쳐진다.

엥? 이미 다 알고 계시는 내용이었네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

아무튼 도움 되셨으면 좋겠어요!