사칙계산 숨겨진 이야기

홈페이지 특성상 검색해서 들어오신 분들이 대다수일텐데
이렇게 이어져서는 어떻게 보실지 모르겠군요.
그래도 혹시라도 꾸준히 아니면 한번 쭉 훑어보시는 분들을 위해 올려봅니다.
검색해서 오신분들도 환영이구요.


덧셈과 뺄셈은 하나다.
곱셈과 나눗셈은 하나다.

즉, 뺄셈을 덧셈으로 바꾸기, 나눗셈을 곱셈으로 바꾸기라는 거에 대해 알아보기로 합시다.
좀 훌륭한 초등학교를 나왔다거나, 이것저것 많이 하신 분이라면 나누기를 곱하기로 바꾸는건 잘 아실꺼에요

그래도 잠시 덮어 주시고, 뺄셈을 덧셈으로 바꾸기부터 해봅시다.
우선 몇가지 의문점부터 짚어넘어가도록 해봅시다.
연상기법이라고 하죠. 질문을 하고 거기서 답변이 나오면 거기에 대한 의문점을 또 질문하고 답변하고 해봅시다.

Q " 왜 뺄셈을 덧셈으로 바꿔야 되나요? "
A " 덧셈은 교환법칙, 결합법칙 등의 법칙이 성립해서 여러 면에서 계산이 편리하기 때문입니다."

Q " 교환법칙, 결합법칙은 뭐에요?"
A " 그건 잠시 후 아니면 다음 강의에서 다뤄보도록 하겠습니다."

Q " 반드시 뺄셈을 덧셈으로 바꿔야 되나요? "
A " 아닙니다. 나눗셈의 경우 무조건 곱하기로 바꾸는 것이 정신건강에 좋지만,
덧셈과 뺄셈, 양수와 음수를 굳이 구분해 가면서 계산하실 필요는 없습니다.
즉, 일정 수준에 도달하면 [많이 계산해보시면 누구나 그렇게 될 수 있습니다.]
나중에는 덧셈과 뺄셈을 굳이 구분하지 않아도 자연스럽게 계산이 됩니다. "

Q " 덧셈과 뺄셈, 음수와 양수를 구분할 필요가 없나요? "
A " 아닙니다. 나중에 가서는 음수와 양수, 덧셈과 뺄셈을 구분해야 할 필요가 있습니다. 특히, 문자가 들어있을땐 음수와 양수를 반드시 구분할 필요가 있습니다. 그냥 숫자끼리 더하고 빼고 하는 과정은 얼마든지 덧셈과 뺄셈을 바꿀 수 있습니다.
제가 말하는 '굳이 구분할 필요가 없다는 것은' 음수와 양수, 덧셈과 뺄셈에 대한 개념이 정확하게 들어 있다면, 손쉽게 계산하실 수 있다는 의미입니다.
개념을 정확히 정립하는 것은 나중에, 문자와 식 파트에서 문자가 나올때 다시한번 하겠습니다.
그것도 양수 음수처럼 굉장히 처음에는 햇갈리는 것이거든요. "

앞의 강의에서 덧셈과 뺄셈이 사실상 한 식구라는 걸 언뜻 내비쳤었죠.
(+3) + (-2) 나 (+3) - (+2) 나 똑같았죠.
[마이너스가 두개씩 모이면 플러스가 된다는 사실이 이때도 중요합니다.]

이게 끝입니다.
여러분은 벌써 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 과정을 익히셨습니다.
엥? 뭘했다고 벌써 끝이냐고요? Q&A만 보면 되나요?
아닙니다. 그 아래 (+3) + (-2) 나 (+3) - (+2) 나 똑같았죠.
이거면 됩니다.

(+3) - (+2) 는 현재 양수에서 양수를 빼는 구조입니다.
이 뺄셈을 덧셈으로 바꾸려면, 절댓값이 똑같고 부호가 다른 숫자를 더해주면 됩니다.
[부호란 + - 를 말합니다. 부호가 다르다면 +가 -로 바뀌고 -가 +로 바뀐 숫자를 말하겠죠]
[절댓값은 + - 를 뗀 옆의 크기를 나타내는 숫자였고요]

즉 (+3) - (+2) = (+3) + (-2) 입니다.

음수를 뺄때도 마찬가지입니다.

(+3) - (-2) 라면,
-2와 절댓값은 똑같고 부호가 다른 수 +2를 더해주시면 되죠
(+3) + (+2)
결국엔 3 + 2 가되는거니까, 마이너스가 두개 모여서 플러스로 변한거나 다름없죠?

왜 바꾸는지 도통 이해가 안되신다구요?
앞에서도 말씀드렸듯이, 뺄셈과는 달리 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다. [곱셈도 성립하죠]
그럼 교환법칙, 결합법칙은 뭘까요?

교환법칙

교환법칙이란, 더하기와 같은 연산에서 숫자나 문자의 순서를 바꿔도 값은 똑같다.
입니다.

(+1) + (-2) 더하기로 연결되어있는 형태이죠?

+들로 연결되어있으니 순서를 바꿔도 똑같습니다
(+1) + (-2)  에서 (-2) + (+1) 과 같이 순서를 바꿔도
결과는 -1로 같죠.
[이때 같은 연산이란건 숫자에 붙어있는것이아니라 그 연산 자체를 의미합니다.
-2는 빼기이니까 성립하지 않지 않나요? 가아니라, -2를 더하는 형태이기 때문에 교환법칙이 성립합니다.
즉 이것도, 원래는 1 - 2 였을 수 있찌만, 교환법칙이 성립하는 더하기 형태로 바꾸어서 계산한다는 소립니다.]

그럼 빼기도 될까요?
안되죠. 초등학생들도 다 아는 사실입니다.

간단히 숫자 옆에 +를 생략하고 나타내면

3 - 2
여기서 숫자 순서를 바꿔서
2 - 3 이라고 하면 위에 것의 값은 1가 되버리고 아래의 답은 -1이되버리죠.
전혀 다른 식이되버립니다.

그럼 이걸 더하기로 바꿔볼까요?

(+3) + (-2)  이것과 같죠?
위에대로 순서를 바꿔봅시다
(-2) + (+3) 그래도 위아래의 값, 혹은 답은 똑같은 걸 아실 수 있을겁니다.

이렇게 연산의 대상이 되는 숫자 혹은 문자들의 순서를 바꿔도
값은 똑같다는 것이 바로 교환법칙입니다.
덧셈과 곱셈에서 성립하죠.

임의의 수 a와 b로 예를들어보죠 [a와 b는 모든 숫자가 될 수 있다는 의미입니다. 즉 교환법칙이 모든 숫자에서 성립한다는 소리죠.]

a + b = b + a
즉 a와 b의 순서를 바꿔도 계산은 성립한다는 것이 교환법칙입니다.


결합법칙

결합법칙이란, 똑같은 연산끼리 이어져 있는 것들은 어디에 괄호를 씌우든 말든 값은 똑같음을 의미합니다.
연산에 대해 다시 짚고 넘어가봅시다.
[숫자나 문자들을 어떻게 어떻게해서 특정 값을 빼내는 걸 연산이라고 하고,
전세계 사람들이 아는 더하기 빼기 곱하기 나누기 등을 그중에서도 사칙연산이라고 하죠]

아무튼 다시
결합법칙이란, 똑같은 연산끼리 이어져 있는 것들은 어디에 괄호를 씌우든 말든 값은 똑같음을 의미합니다.
달리 말하면, 괄호가 크게 의미가 없다는 겁니다. 괄호안의 계산은 먼저 해야되는데도 말이에요.
또 예시를 보시죠.

3 + 5 + 9 [3, 5, 9 옆의 +는 생략했습니다. 일반적으로 양수들은 생략이 가능하죠]
이걸 계산하실 때 순서는 어떻게 하시나요?

3에 5를 더해서 8, 그 8에 9를 더해서 17, 이런식으로 계산하실 껍니다.
그러나 학교에 있는 몇명 또라이들은 뒤에서부터 즉 5에 9를 더해서 14, 14에 3을 더해서 17 이렇게 계산하죠.

예 맞습니다. 여러분 다 괄호친것들은 먼저 계산해야 된다는 걸 아시죠?
초등학교때 배웠잖아요. 계산의 순서는
괄호안계산 -> 괄호형태로 곱한것의 곱셈 계산 -> 제곱계산 -> 곱셈과 나눗셈계산 -> 더하기 빼기의 계산
회색으로 칠한건 초등학교떈 별로 의미가 없기 떄문에 배우지 않고 넘어가죠.

아무튼 3 + 5 + 9에서 여러분들은
(3 + 5) + 9, 이런식으로 계산한거나 다름없습니다.
그리고 학교의 몇몇 또라이들은
3 + (5 + 9) 이렇게 뒤에꺼부터 계산한거죠.
즉, 덧셈에서는 결합법칙이 성립하기 때문에, 어디에 괄호를 치든 값은 똑같고.
달리말하면 괄호가 의미가 없습니다.

3 + 5 + 9나 (3 + 5) + 9나 3 + (5 + 9)나 다를바가 없습니다.

근데 이게 교환법칙이랑 뭐가 다르냐구요?
언뜻 보시기엔 똑같아보이죠. 둘다 계산하는 순서에 의미를 두었기 때문이죠.
또 둘다 순서를 어떻게 하든지 상관이 없다는 의미이죠.

엄밀하게 따졌을때 교환법칙과 결합법칙의 차이점은
교환법칙은 a + b = b + a
결합법칙은 (a + b) + c = a + (b + c)

교환법칙은 연산 부호로 연결되어 있을때 그 숫자나 문자의 순서를 어떻게 바꾸든지 상관이 없다는 의미이며
결합법칙은 연산 자체의 순서를 바꿔도 상관이 없다는 의미입니다.
교환법칙은 그 연산 안에서 쇽쇽 바꾸는 것이고
결합법칙은 괄호를 침으로써 어떤 연산부터 하겠다, 이것이 의미가 없음을 말합니다.

이해가 안가시면 댓글달아주시기 바랍니다 ㅠㅠㅋ

나눗셈을 곱셈으로 바꾸기

이건 굉장히 쉬워요. 왜냐면 이미 다 알고 계시기 때문이에요.
여기서 알아두셔야 할 것은, 분수는 사실 나눗셈을 나타내는 방법의 일환이다!
이거 하나랑, "역수"에 대해 알아두시면 됩니다.

또 옛날 얘기 한번 해봅시다.
분수가 가장 처음 등장했을 땐 언제일까요?
고대 이집트나 뭐 그런 농경사회 시절, 땅을 가르는 것에 관심이 많았을때
혹은 현대와 같이 피자를 어떻게 나누는지에 관심이 많고 어떤게 커서 그걸 먹어야 할지에 관심이 많앗을때

사람들은 분수를 떠올리게 됩니다.
즉, 공평하게 땅을 가르는 방법에서부터 분수가 시작됩니다.
하나의 큰 땅떵어리가 있다고 칩시다. 그것의 넓이는 계산하기 쉽도록 1이라고 해봅시다.
그럼 이걸 9덩어리로 나눈 것 중 하나의 넓이는 대체 얼마냐?


사람들은 고심하게되죠. 1, 2, 3 이게 숫자의 전부인줄 알았는데 그보다 작은 단위들이 쇼쇼쇽하고 박혀있는거나 다름없잖아요
9덩어리로 나눈 것 중 한 덩어리는 1 ÷ 9 랑 똑같죠.
근데 이건 하나의 식이기 때문에 숫자로 쉽게 표현하는 것엔 지장이 있을 수 밖에 없습니다.
우리 식대로 9분의 1이라고 한번에 쓰면 땡일 것을 매번 1 ÷ 9라고 쓸수는 없잖아요

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즉! 그래서 1 ÷ 9 를 9분의 1이라고 하자! 이것이 분수의 시초입니다.

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분수를 아시겠죠? 이에 확장된 개념에서 진분수,가분수, 대분수가 있는데
알아두실만한 것은 "중학교 이상의 과정에선 대분수를 사용하지 않는다" 입니다.
나중에 문자와 식을 하실때 아시겠지만 곱셈기호를 생략하는 것이 일반적인 일이기 때문에
대분수를 쓴다면 이것이 대분수인지, 곱셈기호가 생략되어 있는건지 햇갈려서 사용하지 않습니다.
모조리 가분수로 씁니다.

그럼 본론으로 들어가서 나누기를 곱하기로 바꿔볼까요?
다 초등학교때 해보셧죠?

6 ÷ 3 = 6/3 , 6/3 = 6 X 1/3 .
즉 6 나누기 3은 6 곱하기 3분의 1과 같습니다.

7 ÷ 2 = 7/2 , 7/2 = 7 X 1/2
(7 나누기 2)는 (7 곱하기 2분의 1)과 같습니다.

이 나누기를 곱하기로 바꾸는 것은, 분수끼리의 나눗셈에 주로 사용했죠.
나누기를 곱하기로 바꿀땐, 나누는 수[와 나누어지는 수의 개념이 있죠 앞에껀 나누어지는수, 뒤에껀 나누는수]
를 빠꾸한 수를 곱하면 된다!

 

 
이때 이 빠구한 수를 사람들은 역수라고 부릅니다.
[엄밀한 의미에서는 곱해서 1이 되는 수입니다.
2/5 X 5/2는 1이잖아요. 그치만 분자와 분모를 바꾼 수가 역수이기 때문에 빠꾸한 수라고 외우시면 되겠습니다]
그럼 음수인 분수의 역수는 어떻게 구해야 할까요?

분수에 마이너스가 들어갔을 땐?

우선 이걸 짚고 넘어가 봅시다.
분수는 분자를 분모로 나눈다는 것을 줄여서 기호로 나타낸 수라고 배웠습니다.
위에서요.

그럼 양수를 음수로 나눈다던지, 음수를 양수로 나눈다던지 하면 어떻게 표현해야 할까요?
단도직입적으로 결론만 말씀드리면, "여기에서도 마이너스가 두개 모이면 플러스가 된다는 진리가 통한다" 입니다.
분수는 '분자를 분모로 나눈다'란 표현입니다. 그러므로 예를 들어 (-3) ÷ (+2)를 한다면

이런 식으로 표현할 수 있겠죠.
그런데 앞서 말씀드렷듯, 이것은 -3에 2분의1을 곱한거나 마찬가지입니다. 그렇죠?
결국 마이너스가 한개가 있기 때문에 이건 곱한 값에 마이너스를 그대로 갖다 붙이면 됩니다.

이렇게 되죠. 분자와 분모에 마이너스가 한개밖에 없으니까 그 분수 자체에 마이너스가 붙은 꼴로 나타내어도 두개는 똑같습니다.
반대로, 분수자체에 마이너스가 붙어있다면, 우리 마음대로 마이너스를 분자에 붙여주던지, 분모에 붙여주던지 상관이 없습니다.
같은 이유로, 양수를 음수로 나눌때도 똑같은 이치로 나타냅니다.

즉, 분자에 마이너스가 붙은꼴로 해석하든, 분모에 마이너스가 붙은꼴로 해석하든, 분수 자체에 마이너스가 붙은꼴로 해석하든 상관이 없습니다.

그럼 음수로 음수를 나눌땐 어떻게될까요?
짐작이 가시죠? 마이너스가 두개이므로 합쳐져서 플러스가 되버립니다
-3을 -2로 나눠보죠

분모와 분자에 각각 마이너스가 있기 때문에 둘이 만나서 플러스가 됩니다.

그럼 이제 음수의 역수를 구하는 방법도 아시겠죠?
역수를 구할려면 빠꾸를 하면 되는데, 마이너스가 빠꾸를 하고나서 분자에 붙어있든 분모에 붙어있뜬
분수 자체에 붙어있는 것과 같은 의미를 지닙니다.
그러므로 그냥 마이너스는 그대로 두시고 뒤집어주시면 됩니다.


음수도 마찬가지입니다.
음수를 나눌땐

입니다.

분수 형태의 음수는 마이너스가 분자에 있던지, 분모에 있던지, 분수 자체에 붙어있는걸로 보던지 똑같았죠?
지난시간에 배웠습니다.
그대로 그냥 빠꾸하시면 됩니다.
그럼 곱하기로 바뀌어요

덧붙여서, -2의 역수는 -(2분의1)입니다.

곱하기로 얻는 이점은 더하기로 바꾸었을때의 이점과 똑같습니다.
교환법칙, 결합법칙이 성립하게 되고 계산이 편리해집니다.
[교환법칙, 결합법칙 외에 분배법칙도 있지만 나중에 설명하도록 하죠. 일단 링크는 그때 걸어두도록 하겠습니다.]

그럼 오늘은 이정도로 하죠.