일차식 - 식을 이루는 구성요소들

지난 시간엔 문자를 배웠습니다.
문자란, a, b, c, x, y, z 등과 같이 말 그대로 문자를 나타내며, 순자나 문자 등을 줄여서 표현할 때 사용합니다.
긴 것을 짧게짧게 변형하여 문제를 풀어야 계산 등의 풀이 과정이 간단해지고 쉬워지기 때문이죠.
나중가면 꼭 필요해질때도 있고요.

---

일차식, 듣기만 해도 무시무시해지는 이름이죠.
뭔지도 모르겠고, 왜 하는지도 모르겠습니다.

그러나, 이것이 바로 중학교 수학, 나아가서 고등학교 수학을 하기 위한 첫걸음이라고 생각하시면 될듯합니다.
앞에서 집합, 정수 유리수 이런 것을 배웠지만 그것은 아주 기본 개념이고, 문제를 푸는 "과정 자체"에는 큰 역할을 하지 않습니다.
사람들이 무서워하는, [그리고 제가 무서워하는] 숫자 가지고 놀기, 나아가서 문자가지고 놀기가 이 단원부터 시작됩니다.


일차식, 들어가기 전에 용어부터 총정리하고 넘어갑시다.

'식', 식이란 말은 다 들어보셨죠. 3+5 , x+2, 4x+3 이 모든 것들이 식입니다.
문자와 숫자들로 이루어진 하나의 결과를 갖는 것들을 모두 식이라고 합니다.
풀어서 결과를 도출해 낼 수 있는 걸 식이라고 하죠.

이 '식'중에 '유리식','무리식' 등이 있는데 "그것은 아실 필요가 없습니다. 그냥 넘어갑시다. 고1과정에 나옵니다"
그 '식'중에서 일차식, 즉 차수가 1인 식을 1차식이라고 합니다.
1차식은 뭐냐면, 식은 여러 개의 항들로 구성되는데, 여러 개의 항들 중 가장 높은 차수가 1차일 때 그 식을 1차식이라고 합니다.
항이 무엇이냐면, 간단하게 설명하자면 + 기호라고 할 수 있습니다.

x+2를 봅시다.

x와 2가 +로 연결되어 있지요?

이렇게 +혹은 -로 이어져 있는 것들을 각각 항이라고 합니다.

그리고 식중에서, 항 하나로만 이루어진 식은 단항식,

항들로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

그런데 사실은 단항식도 다항식에 포함이 되요 ^_^

이정도만 알아두셔도 될 것 같습니다!

사실은 다항식은 다른 식들과 구별되어 사용되는 말입니다.

나중에 고등학교 가면 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등등을 배우게 될건데

그런게 아니고 그냥 숫자와 문자의 곱으로만 이루어진 항들로 만들어진 식이 다항식이라고 생각하시면 되요.

일반적으로 볼 수 있는 것들은 모두 다항식이죠! 중학교때는요

단항식의 정의가 하나의 항으로 이루어진 '식'이 아니라

하나의 항으로 이루어진 '다항식'이라고 생각해보시면

다항식은 그냥 여러개의 항으로 이루어졌다고 다항식은 아니란걸 짐작은하실수있는데

또 죄송하지만 나이먹으면 알게될거에요 라고 말할수밖에없네요 ㅠㅠ

 또 뭐냐구요?
차수, 계수, 등등 이상한 수들이 마구 쏟아져 나올텐데 짚고 넘어가겠습니다.

앞에서 문자를 배웠습니다. 이제 문자가지고 놀아야 되니 문자에대해 속속들이 알아야겠죠.
그림으로 알아보죠.

위의 그림과 같이, 상수 a와 b로 나타냈을 때를 가정하고 문제를 풀어보죠.
아니 상수는 또뭐냐고요?

일반적으로 , 문자는 두 가지로 나눕니다.

변수와 상수로요.
깊게 들어가자면 함수를 설명해야 하고 함수에서 변역이 설정되어 수가 마음대로 변할 수 있는 수를 변수라고하며
그 수가 어느 하나로 고정되어 있으면 상수라고 합니다.
그러나 중학교에서 다루는 일반적인 수학의 경우 변수라 함은 방정식의 해를 나타내는 미지수와 똑같은 뜻으로 사용되며, 이 때 변수가 아닌 숫자나 문자는 모두 상수라고 합니다.

미지수는 무엇이냐 하면, 사전적 정의에는 '방정식에서 구하려고 하는 수 혹은 문자'를 뜻합니다 보통 x로 나타내죠.
그러나 일반적인 경우 미지수라 하면 모르는 수, 즉 문자중에 그 값을 정확히 모르는 수를 모두 미지수라고 합니다.

정리하자면

숫자는 두가지, 변수와 상수로 나뉘는데
변수 : 우리가 배울 방정식, 함수, 부등식에서 주인공이 되는 수. 이 수의 변동에 따라 식의 값이 바뀐다.
상수 : 우리가 배울 방정식, 함수, 부등식에서 주인공이 되는 변수가 아닌 수. 이 숫자는 고정된 값을 지니며 변하지 않는다.
[여러 개의 값을 지닐수도 있으나 고정되었다는 사실에는 변함이 없습니다.]

위에껄 보지 않으시려면 이렇게만 기억하세요.
변수 : 우리가 배울 방정식, 함수, 부등식에서 주인공이 되는 수. 변할 수 있다.
상수 : 우리가 배울 방정식, 함수, 부등식에서 주인공이 되는 수(변수)가 아닌 모든 숫자나 문자, 차수가 없으며 변하지 않는다.

변수와 상수 개념에서는 방정식을 들어가면서 다시 한번 설명하겠습니다.
궁극적으로는 함수에서 나온 개념이므로 함수에서는 더 자세히 다룰테구요.
[아마 학교에서는 거의 배우지 않을겁니다. 고등학교와서두요. 그냥 그러려니 하고 넘어가는 경우가 많거든요.]

아무튼, a와 b를 상수로 보고 x를 주인공, 변수로 보자면요.

우리가 문자를 표현할 때 그 주인공이 되는 문자를 기준으로 생각하게 됩니다.
그 문자에 몇을 곱하였는가? 즉 위의 그림에서는 ax, (원래는) a * x 에서의 a를 나타내죠
x에 a를 곱할때, 문자에 얼마를 곱하였는가? 이 것을 계수라고 합니다.
즉,
2x 에서 x의 계수는 2이고
3x에서 x의 계수는 3이죠
5xy에서 xy의 계수는 5이고
6z에서 z의 계수는 6입니다.
abx에서 x의 계수는 a이구요.

위와 같은 예에서 알 수 있듯 계수는 숫자일 수도 있고 문자일 수도 있습니다.
그런데 5xy와 abx는 무슨 차이가 있길래 하나는 5가 계수고 하나는 ab가 몽땅 계수냐구요?
일반적으로, 상수는 abc~ 이런식으로 표현하고, 변수(주인공)는 xyz 이런식으로 표현합니다.
특별한 말이 없는 경우, xyz가 주인공이며 딸린 abc 등은 상수로 표현합니다.
mn은 변수일수도 있고 상수일수도 있는데 중학교 과정에서는 별로 나오지 않으므로 아실 필요는 크게 없습니다.

그리고 위의 그림에서 b는 차수라고 합니다.
변수를 몇번 제곱하였는가? 옛날 말로하자면 변수의 몇승인가? 이것이 차수입니다.
즉
x^2 에서 x의 차수는 2이며
y^3에서 y의 차수는 3입니다.
xy에서 xy의 차수는 2인데 이것도 고등학교 과정입니다. x가 1차 y가 1차이므로 두개를 곱할시에는 2차가 되는 것이 맞습니다. 혼란스러우시면 덮어두세요. 아직 중학교는 짱짱하니까요
xy^3 (y만 3제곱)이면 xy의 차수는 4가 되구요. x가 1차 y가 3차이므로 두개를 곱하면 4차가 됩니다. 


이러한 계수니, 차수니를 왜 배우냐구요?
우리가 앞으로 공부할 방정식과 함수 등에서 가장 필요한 덕목들이기 때문입니다. 가장 중요한 재료들이라구요.

그래서, 차수가 1인 식을 1차식이라고 한답니다.

참쉽죠?

 

---

그렇다면 대입에 대하여 알아봅시다.

'대입' 이란, 문자를 다시 원래의 긴 것으로 바꾸어 넣는 과정을 말합니다.
문자를 쓰는 이유가 긴 것을 짧게 줄여서 풀기 위한 것이었다면
다시 문자를 긴 것으로 바꾸어 낼 수도 있어야 겠죠.

혹은, 그냥 쌩뚱맞게 문자를 던져놓고 그 문자의 값을 지정해둔 뒤, 풀어봐라! 라는 문제로도 나올 수 있습니다.

하나 풀어보시죠.

문제) x=3 일때, 3x-5 의 값을 구하여라.

드럽게 할짓 없는 사람이 아니라면 멀쩡한 숫자 3을 x로 바꿔서 문제를 푼담에 다시 x를 3으로 바꾸는 과정을 하는 사람은 없겠죠.
즉, 이것은 제가 두번째로 말한, 쌩뚱맞게 문자를 던져놓고 그 문자의 값을 알려준 뒤 풀어보라는 식의 문제입니다.

다르게 말하자면,

'대입'은 문자의 실제적인 값이 '몇'이란 걸 알고 넣어서 푸는 것을 말합니다

기본적인 식 x+3 , a+b, a-b+c 등등과 같이 문자들은 기본적으로 얼만큼의 값을 가지는지 알 수 없죠.

그래서 x=3 일때, 뭐뭐의 값을 구해라! 와같은 문제가나오면

아! x의 값이 3이었구나. 하면서 x자리에 3을 대신 넣어주어서 계산을 할 수 있는것이죠.

대입, 참 쉽죠? 해보시면 금방금방 될거에요^0^