함수의 뜻

 정비례와 반비례 이야기는 알아보고 오셨나요?

아주 훌륭한 학생들이군요.

x가 2배, 3배, 4배 될때 y도 2배, 3배, 4배되는걸 정비례라고 하고, y=ax 와같이 나타냈죠

x가 2배, 3배, 4배 될때 y는 ½배, ⅓배, ¼배로 줄어드는 것을 반비례라고 하고, y = a/x 와같이 나타냈죠.

여기서 a는 상수가 될거구, 상수는 변하지 않는 수에요. 뭔가로 정해져 있다는 것을 뜻하죠.

여태까지 상수와 변수이야기를 주구장창했는데, 과연 그것이 무슨 의미가 있는가

'함수'의 세계에서 그것들이 펼쳐집니다.

 

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함수의 뜻

 

앞선 강의에서도 언급했었지만

y와 x에 어떤 일정한 관계가 있을때, 그것이 바로 함수의 느낌이라고 했어요.

x가 변할때 y 또한 일정하게 바뀐다면, 그것을 바로 함수라고 할 수 있다는 거죠.

 

지난 시간에 배운 사과 이야기와 유사하게

이번에는 쵸콜릿 하나를 100원씩 판다고 생각해보세요. ABC 초콜릿 감질나는거라고 해볼까요?

 

(ABC 초콜릿 가격) = 100 * (ABC 초콜릿 갯수)

 

가 되겠네요.

여기서 초콜릿 가격, 초콜릿 갯수라고 쓰기엔 너무 팔이 아프니까

하나를 x, 하나를 y라고 나타내봅시다.

x로 나타내는 수는 내가 바꾸고싶은 수, 변하기 쉬운 수를 x로 나타낸다고 했었죠?

초콜릿 갯수가 x가 되는 것이 더 타당해보이는군요

 

그렇다면 이렇게 되겠네요

 

y = 100 * x

y = a * x 꼴에서 a가 100일때를 뜻하므로, 쵸콜릿 가격과 쵸콜릿 갯수는 정비례 관계가 되겠죠?

예 그래요

 

그럼 철수가 슈퍼에가서 초콜릿 통에서 초콜릿을 하나씩 꺼내서 카운터에 하나씩 올려논다고 생각해봅시다.

한번에 한움큼 살것이지, 하나씩만 꺼내서 슈퍼주인아저씨의 애간장을 녹이네요.

그렇지만 하나씩 올릴때마다 100원씩 올라가므로, 슈퍼주인아저씨한테는 이보다 멋진 일이 있을수 없겠죠.

 

초콜릿 갯수를 하나씩 늘려볼까요?

 

x가 1이라면, y값은 100이 될겁니다

x가 2라면, y값은 200이 될겁니다

x가 3이라면, y값은 300이 될겁니다

x가 4라면, y값은 400이 될겁니다

x가 5라면, y값은 500이 될겁니다

x가 6이라면, y값은 600이 될겁니다

x가 7이라면, y값은 700이 될겁니다

x가 8이라면, y값은 800이 될겁니다

x가 9라면, y값은 900이 될겁니다

x가 10이라면, y값은 1000이 될겁니다

 

이정도만 해볼까요?

x의 값이 변할때, y값도 함께 변하는데, 이 때 어떤 무언가 일정한 관계가 있음을 알 수 있어요.

그냥 y = 100*x 라고 생각해볼까요?

 

이때 y 값은 x가 몇에 주어지느냐에 따라 달라지고,

주어진 x값에 100을 곱한것이 바로 y값이 되는거죠.

 

x값이 몇으로 주어지느냐에 따라서, y값이 결정되는 것이고

이 결정되는 방식에는 어떠한 일정한 규칙이 있죠.

 

바로 이러한 관계를 '함수'라고 합니다.

x값은 초콜릿갯수를 막 늘리거나 줄일수 있듯이 변화시킬 수 있고

y값은 그에 맞춰서 변하게 되지요?

그렇기 때문에 x와 y를 변수라고 하고,

 

x와 y간에는 어떠한 규칙이 있는데,

y는 x 값에 따라서 y값이 결정되게 되죠.

바로 이러할 때에 , 두 변수 x와 y가 이런 관계에 있을 때, y가 x값에 의해 일정한 규칙을 거쳐서 정해질 때에

 

y 는 x의 함수

라고 이야기합니다.

 

이 때, y와 x 사이에는 어떤 일정한 규칙이 성립할 때 함수라고 이야기 할 수 있다고 했죠?

일정한 규칙은 대개 식으로 나타낼 수 있고

아까와 같은 경우에는 y = 100*x , 여기서 100*x 가 일정한 규칙이 되는 식이었죠.

이러한 규칙이 되는 식을

 

와 같이 씁니다.

저렇게 좀 멋있게 f를 늘려쓰게 되는데, 저 f라는 글자가 함수의 이름이 되는거에요.

왜 f냐 하면, 함수를 영어로 하면 function 이기 때문에, 그거의 앞글자가 되겠구요.

 

그래서 함수란 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

이 것이 뜻하는 바는, y값은 x값이 주어질때, 어떠한 규칙 f를 거쳐 나온 x값이 바로 y값이 된다.

라는 뜻이죠.

 

아까 초콜릿 이야기에서 다시 예를 들어볼까요?

 

초콜릿가격(y)과 초콜릿갯수(x)에서는 일정한 규칙이 있어 성립했으니

y를 x에 대한 함수 라고 하고,

 와 같이 나타내었습니다.

여기서 f(x)는 x와 y간의 규칙을 나타내는 식이므로

 

 

 

를 생각해본다면

 

임을 알 수 있죠.

 

 

 

그러므로, 함수를 나타낼 때에는

y와 x사이에는 어떤 관계가 있느냐?

이 것을 나타내 주어야 하는데 가장 기본적인 것이 바로 이거죠

 

 

 

숫자 y는 x에 100을 곱한 숫자이다.

그런데 y와 x와의 관계를 다음과 같이 나타낼수 있다면?

 

 

 

x와 y 사이의 관계식을 f(x)라고 나타내기로 약속한다면

 

 

 

와 같이도 나타낼수 있겠죠.

f(x)가 y와 같기만 하다면, y=100x라고 쓰나, f(x)=100x라고 쓰나 둘이 똑같다는 사실을 알 수 있죠?

그러니까, 함수를 나타낼때에 다음의 두 방법이 똑같이 가능하다는 겁니다.

함수를 나타낸다는 건 두 변수사이의 관계를 나타낸다는 말이고, 그것은

 

 

 

이 두개와 같이 나타낼 수 있다는 거죠.

그리고 여기서 하나 알아두어야 할것은

 

밑의 f(x) = 100x로 나타내기 위해선

y = f(x) 가 먼저 성립한다는 사실을 알고 있어야 한다는거죠.

이건 약간 어려운 개념입니다만,

y 값이 f(x)와 같아야, y = 100x를 f(x) = 100x라고도 쓸수 있는거죠.

그렇죠?

 

네 바로 그래요

잘 모르겠으면 언제든지 댓글남겨주세요

아래부분에 comment를 남기면 된답니다.

 

아무튼 그런데, 우리 모든 수학자들과 모든 수학하는 선생님들과 모든 사람들은

x를 변하기 쉬운 수로, y는 그에 따라 변하는 수라고 하자! 라고 약속한 바 있고

그런 함수를 y = f(x)라고 이야기하도록 하자!

라고 이야기한적 있어요

 

그러니까, 위의 두가지 정한 약속은

'무조건' 그래야 한다는 것은 아니지만

사람들이 '일반적으로', '대개'는 그렇게 생각하고 있다는 것이기 때문에

 

'일반적으로' y = f(x)가 성립한다고 치고 이야기하기 때문에

f(x) = 100x라고 나타내어도 동일한 의미가 되는거죠.

 

'일반적이지 않은 경우'에는 어떤 점이 다른지 이야기를 해줘야 해요.

여기서는 변수 x와 y만을 다루었지만

z를 다룰수도 있거든요.

 

z = f(x)가 될 수도 있는거에요. 때에 따라서

하지만, 일반적으로는 모두 y = f(x)라고 하는 것이에요.

이부분이 가장 어려운부분으로, 중학교1학년은 사실 알필요가없어요

y = f(x) 이기 떄문에 f(x)=100x라는 사실은요

 

그렇지만 한번 알아두고 가시면

고등학교가 되었을때 아주 수월하게 되실겁니다.

 

마지막으로 일반적인 경우에 대한 예를 들고 마치겠습니다

한국의 90%사람들이 모두다 김(金)씨 라고 해봅시다

실제로는 그렇지 않지만 그렇다고 해보자구요

 

그럼 지나가다 마주치는 사람은 모두다 김씨겠죠?

그래서 사람들은 성까지 부르기가 귀찮아져서 김씨는 그냥 이름만 말하게 되었어요

 

자기소개를 할떄 김철수입니다. 라고하지않고, 철수입니다. 라고 이야기하게된거죠

그런 세상이 되었다고 쳐봐요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

 

그럼 여기서 박봉준 이라는 사람이 있다고 쳐봐요

이사람이 저는 봉준입니다. 라고 하면 어떻게 될까요?

모든 사람들은 김봉준이구나, 라고 생각할거에요.

그렇기 때문에 박봉준이란 사람은 저는 "박"봉준입니다. 라고 이야기해주어야할꺼에요

 

이것이 함수세계에서도 똑같이 적용된다는 거죠

x는 변하기쉬운수, y는 그에의해 변하는수

y = f(x)

 

이것이 김씨천국처럼, 하도 그렇게 쓰다보니 서로 말하지 않아도 아는 사실이 되어버린거죠.

예 그래요

그럼 함수에는 어떤것들이 있는가 한번 써놓고 물러갑니다

정비례 반비례만 함수가 아니란걸 눈여겨보세요

 

 

 

 

다음 시간에는

 

 

f(x)란 도대체 뭐란 말이냐?

와

함수 세계에서의 여러가지 용어

 

들에 대해서 공부해보겠습니다.

화이팅!