두둥! 일차방정식의 시간이 밝았습니다.
중학교 수학은 초등학교 수학과 많이 다르지만, 또 막상 보면 크게 다른점도 없답니다.
엄청나게 어려워지진 않았죠?
그저 '문자를 배우고, 식을 배우고, 뭐가뭔지 슬슬 알아가게 되었습니다'
그러니까 중학교 1학년은, 수학에서 뭘 하는지 알아가는 단계에요!
초등학교 학생들이 계산하는 방법, 식세우는방법, 뭔가 해결하는 방법들을 배웠다면
중학교 학생들은 수학을 더 공부할 수 있기 위해 각각에 이름을 붙이면서 수학의 용어들을 배우는 거죠.
용어를 처음 배울때는 익숙하지 않아서 어렵겠지만, 내용이 바뀌는 건 아니기 때문에
익숙해지기만 하면 초등학교때랑 크게 다르지 않겠죠?
우리는 1살 더먹었으니까 좀만 힘내면 다들 하실수 있을거에요. 시작합니다!
방정식이 뭐꼬?
제가 중1때는 방정식과 함수라는 이야기만 나오면 친구들이 벌벌 떨었던 기억이 나네요.
친구들은 보통 학원에 다녀서 선행학습을 했는데, 아직 배우지 않은 저한테 방정식이랑 함수가 어렵다고들 난리였던 거에요!
그런데 떨던 아이들이 고등학교에 들어왔을때도 이렇게 말했을까요?
"나 중1때 배운 일차방정식만 보면 너무 떨려."
그렇지 않았어요. 그 때 가면 너무 쉬운 얘기들이 된답니다.
바로 1년만 넘겨서 중2만 되어도 일차방정식은 껌입니다.
다들 공부하면서 푸는 게 익숙해져서 뚝딱뚝딱 잘들 해결한답니다.
제가 위에서 너무 겁을 준 것 같은데.. 부담갖지 마시고 하시면 된답니다.
오히려 문제는
"일차방정식이 뭔데?" 라고 물으면 그게 뭔지 정확히 대답을 못하는 일이 많다는 겁니다.
저조차도 중학교 3학년이 되었을때까지도 누가 방정식이 뭔지 느낌은 오는데 선뜻 말할수는 없었다는 거죠.
우리는 지금 공부하는 게 뭘 하는건지는 아는 학생이 됩시다!
그렇기 위해서 지금 이 블로그 글을 들여다 보고 있는게 아니겠어요?
시작해봅시다!
우선 일차방정식부터 시작해볼까요?
일차방정식은 일차+방정식입니다.
일차식은 지난시간에 배웠죠? 차수가 1인 다항식을 일차식이라고 했죠.
다항식의 모든 항들의 차수 중 가장 높은게 일차라면 일차식이었죠.
그래서 일차 방정식은, 일차식으로 이루어진 방정식을 뜻합니다.
방정식은 뭐냐구요?
그게 궁금해지셨다면 전 잘 하는 수학선생입니다 헤헤
'＝'
↑여러분 이게뭐죠?
'는'이요. 혹은 수학선생님에 따라 '이꼬르' '이꼴' '이꿜' '이콜'이요.
예 맞아요. 진짜 이름은 '등호' 죠.
저거의 양쪽에 있는것들이 서로 같다는 것을 알려주는 기호입니다.
'이꼬르'란 'equal' 이라고하는 '같다'라는 뜻을 지닌 영어에서 온 말이에요.
그러니까 =을 기준으로 한쪽편, 다른편이 서로 같다란 뜻이죠
3=3 . 그렇죠? 자연스럽게 3은3. 이라고 읽어주시면되고. 예 맞아요! 반박할게 없죠.
x=3. 해석해 볼까요? x와 3은 같다. 자연스럽게는? x는 3이다. 예 맞아요!
x-12 = 3 해석해볼까요? x에서 12를 뺀것은 3과 같다. 예 맞아요!
이렇게, 등호를 사용해서 등호의 한쪽편, 다른 한쪽 편의 관계를 나타낸 식을 등식이라고 합니다.
이 때 등호를 기준으로 나뉜 양쪽 편을 각각 '변'이라고 합니다.
왼쪽 변을 좌변, 오른쪽 변을 우변 이라고 하죠.
그러니까 등식은, 등호를 사용한 식인데,
그 뜻이 뭐냐면 좌변과 우변이 서로 같다는 것을 보여주는 식을 등식이라고 합니다.
좌변과 우변을 합쳐셔 양변이라고도 하니, '양변이 서로 같은 것을 보여주는 식'라는 말과 같겠죠?
그런데 x-12 = 3 을 잘생각해봐요.
x의 값은 얼마죠?
12를 빼서 3이되는 수는 15죠. x=15가 되겠네요.
만약에 이러면 어떨까요?
x의 값이 15가 아니라 14라고 하면 등식이 성립할까요? 즉, 양변의 값이 이 때도 서로 같게 될까요?
x=14라고 생각하면 좌변의 x-12는 14-12가 되어 그 값이 2가 되겠죠? 이 것을 x-12 대신 쓴다면?
2=3 엥? 다른걸 같다고 하는 식이 되버렸네요
이렇게 등식이 거짓이 되는것,
서로 같지 않은데 같다고 뻥을 치게 될 때 등식이 성립하지 않는다. 라고 말한답니다.
즉
이렇게
여러 가지 등식들 중에서 특히,
문자(이때는 x)의 값에 따라 등식이 성립할 수도 있고, 성립하지 않을 수도 있는 등식을 방정식이라고 합니다.
아하! 그렇군요!
그럼 등식중에 다른 것들도 있나요?
예! 있죠. x의 값에 따라 성립할 수도 있고 아닐 수도 있는걸 방정식이라고 한다면,
x의 값이 뭐가됐든 상관없이 항상 성립하는 식을 '항등식'이라고 합니다.
등식에는 그렇게 '항등식'과 '방정식' 두가지가 있어요.
위 등식을 생각해볼까요? 대입할 게 없으니까 어차피 등식이 항상 성립하죠? 항등식이에요
위의 등식을 생각해볼까요?
x값을 바꿔보세요.
x가 1일때 3=3. 성립하죠?
x가 2일때 6=6. 성립하죠?
더이상 안해봐도 되겠죠? x값에 관계 없이 항상 성립하는군요.
위 식은 x가 15일때만 성립하는 '방정식' 이었죠?
이렇게, 방정식이 성립하게 하는, 방정식을 참이되게 하는[등호가 구라가 아니게 만드는]
변수 x를 '방정식의 해' 또는 '방정식의 근'이라고 합니다.
즉, 등식을 만족시키는 x 값이 방정식의 해에요.
그럼 어떤 등식을 보았을때 이게 방정식인지 항등식인지 구분은 어떻게 할까요?
눈치 채셨겠지만 양변이 똑같은 식으로 이루어져있을 때는 양변의 값이 항상 똑같을테니 항등식이겠죠.
근데 이 경우는 너무 재미없잖아요. 어차피 둘이 똑같이 생겨먹은 식인데다가 뭘 대입해도 똑같은 값을 가질텐데요.
항등식이 아닌 등식이 방정식으로, x값이 특정한 숫자가 될때만 성립하는 방정식일 텐데,
이 방정식의 해가 정확히 어떤 값인지 구하는 것을 '방정식의 해를 구한다', '방정식을 푼다' 라고 합니다.
생각만큼 어렵지 않죠? 그럼 잠시 쉬었다가 방정식의 해를 구하는 과정을 살펴보기로 해요.
방정식을 직접 풀어보자.
자, 방정식의 해를 구하는 방법을 살펴보기로 해요
x-12 = 3을 볼까요?
여기서 x가 15라는 것을 어떻게 구했죠?
사실 뭐 방법이랄 것도 없이, '대체 12를 빼서 3이되게 하는 수가 뭐지?' '15?!?!?!'
이렇게 잠깐만 눈쌀 찌푸리면 머리속으로 저절로 구해졌죠?
근데 이건 방정식이 좀 쉬울때나 그렇지, 좀 복잡해진다고 생각해봐요
이렇게 되겠어요? 절대 안되겠죠
그렇기 때문에 구하는 방법을 따로 배워야 합니다.
이 때 필요한 것이 등식의 성질인데요.
뭐라구요? 등식의 성질이요?
예 그렇습니다. 등식의 성질이요.
앞으로는 고3때까지 수학교과서 형식이 뻔해요.
'~의 정의' 을 먼저 배울거에요.
'~의 성질' 을 그 다음으로 배울걸요?
'~의 활용' 을 그 다음으로 배울거에요.
혹시라도 '누구누구의 법칙'을 배울 수도 잇겠죠
예 그래요.
정의란 이게 무엇이다. 라고 학문적으로 콕 찝어주는 것이었구요
성질이란, 말 그대로 등식에 어떤 성질이 있는지 살펴보자는 겁니다.
등식의 정의를 생각한다면 크게 무리가 되지 않아요
등식이 뭐였죠? 등호가 들어있는, 양변의 관계를 나타내는 식을 등식이라고 했죠. 양변의 관계란 뭐죠? 서로 같다라는 뜻이었죠. 등호가 나오는 거였으니까요.
그럼 일반적으로 등호가 있으면 왼쪽변과 오른쪽변의 값은 서로 같을 수 밖에 없다는겁니다.
x+3 = 5
의 뜻은, x+3은 5와 서로 같다. 라는 뜻이되겠죠.
이걸 방금 배운 방정식을 떠올리면 어떤 생각을 할 수 있을까요?
x+3이랑 5랑 같다고? 그럼 x는 특정한 값이 되어야만하겠네. 그럼 그 값은 뭐지? (2라는건 모두가 알지만..)
요렇게 해서 방정식의 해가 되겠구요.
요렇게 등식이 주어지면, 그 등식이 성립한다면야 양쪽변이 서로 같겠죠?
안그래요? 2=3이다. 라고 대놓고 구라치는 사람은 없잖아요.
그래요 그렇기 때문에 x+2 = 3이다 라고하면 x+2는 얄짤없이 3과 같아야하는거죠.
아무튼간에! 등호 양변은 서로 같습니다.
그렇다면 같은수에 '똑같은수'를 각각 더하면 그 값이 달라질까요?
예를들어 3 = 3 에
양쪽변에 1씩 더하면 어떻게 될까요?
좌변은 3+1 해서 4
우변도 3+1 해서 4가되겠죠?
그렇죠! 둘이 같다면 거기에 몇을 더하건 계속 같을 수밖에 없죠. 똑같은 숫자를 더한다는 가정에서요.
그래요! 바로 그거에요
그렇기 때문에 사람들은 '등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다'라고 하는거에요.
3=3 에서 4=4가 되어도 등식이 성립했죠?
문자가 들어있는 식에서도 똑같을걸요?
x+3 = 5 에서
둘이 서로 같으니까 양변에 각각 2를 더해도 둘이 같겠죠
x+5 = 7. 이렇게요
참쉽죠?
그럼 같은수를 더해도 됐으니
같은 수를 빼도 되겠죠?
네 맞아요! 같은 수를 빼도 되죠.
그래서 '등식의 양변에 같은 수를 빼도 등식은 성립한다'란 말이 나온거구요.
같은수를 곱하면요? 그래도 같겠죠? '등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.'
같은수로 나누면요? 역시 같겠죠?
※ 근데 주의할게있어요!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!절대주의!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ※
밑에 나올 말은 고등학교때까지 꼭 가슴에 안고 가야할 명언입니다.
'등식의 양변에 ※0이 아닌 같은 수※로 나누어도 등식은 성립한다.'
엥? 좀다르죠? 더하기, 빼기, 곱하기를 할 때는 그냥 '같은 수'였는데
나누기를 할 때는 '0이 아닌 같은 수'라고 쓰여있네요.
왜그럴까요.
궁금하면 지금 3을 0으로 나눠볼래요?
막막하죠?
0으로 몇을 곱해야 나누어 떨어질까요?
막막하죠?
그래서 수학자들은 이렇게 정했습니다.
"야! 0으로 나누는 건 답이 없다고 하자.
0으로는 아예 애시당초 못 나눈다고 하자!"
그렇기 때문에 아무리 좌변과 우변이 서로 같다고 하더라도
0으로 나누는 행위 자체가 수학에서 금지되어 있는 사실이기 때문에
0은 나누는 수에서 배제되어야만 하는 거에요.
아니 뭐 대단한 얘기도 아닌데 엄청 어려운 것처럼 써놨네요.
아니에요. 아래를 읽어보세요. 중요한 얘기라구요.
'0으로는 절대 못 나눈다. 라는 걸 대학까지 안고 가셔야되구요.
이차방정식쯤 배우면 이게 얼마나 중요한 얘긴지 아실거에요.'
'학교 시험에서 가끔 등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다. 란 말이 나오는데 이건 훼이크에요.
0이 아닌 같은 수라는 이야기가 있어야하죠. 아이고 쪼잔하다고요? 그럴 수 있지만..
별 거 아닌것 같아 보이지만 고딩때는 굉장히 중요하기 때문에 중학교에서도 오답처리를 할 수 밖에 없어요. ㅠㅠ'
그놈의 고딩이 뭔데요!! 저는 지금 중1인데 ㅠ
그래서 준비했습니다.
'0으로 나누는 걸 인정해버리면 모순적인 결과가 나타나게 되어 있어요. 그건 찾아보시죠 ^^
분모에 0이 오는 거 자체를 용납할 수 없기 때문에
0/0 은 약분이 되지 않는다는 사실도 기억해두세요.
약분은 0이 아닐때만 가능한겁니다.
예. 그럼 돌아와서 일차방정식에 집중해보죠
등식의 네가지 성질을 읊어봅시다.
1. 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
2. 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
3. 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
4. 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
일차방정식의 가장 간단한 형태는 뭘까요?
x=3 과 같은 형태죠.
만족하는 해는요? 3이겠죠. 아주 간단해요!
그러니까 저렇게만 만들면 해가뭔지 금방 알 수 있다는 거죠.
아하! 그럼 방법은요? 척봐도 등식의 성질이겠죠?
x-13 = 2 라고 해봅시다. 서로 같기 때문에 양변에 같은 수를 더해도 같아요.
13을 더해볼까요?
x-13+13 = 2 + 13
x = 15
답은 15가 나오네요. 오오 신기해라
양변에 4분의 일을 더하면 x만 홀로 남아서 아주 이쁘게 생긴 형태로 바뀌지 않을까요?
그래요! 그럼
근데 중간 과정을 생략해볼까요?
뭔가 느낌이 오지 않나요?
좌변의 
좌변의
그럼 등식을 변형할 때에, 매번 양변에 더하는 과정을 '연필로 쓰지'말고
좌변의
라고 생각해도 될까요?
그러기 위해서 필요한게 양변에 더하거나 빼는거니까
'부호가 바뀌면서 옮겨갔다'라고 생각해도 될까요?
네! 그게 공식적으로 정의 되어 있습니다. 항을 옮긴다고 해서 '이항' 이라고 합니다.
그럼 곱하기나 나누기는요?
곱해져 있으면 양변을 나눌것이고,
나눠져있으면 양변을 곱하겠죠?
그럼 이것 역시 왼쪽에서 오른쪽으로 옮겨가면
'역수가 되어서 곱해진다'라고 말하면 이상할까요?
의미를 곱씹어보시기바랍니다. 이건 항을 옮기는건 아니기 때문에 이항이라고는 하지 않죠.
이제 등식을 변형하시는 방법을 깨달으셨습니다.
고교생때 적용될 얘기지만, 원래 성립하던 등식을 나중에도 성립하는 등식으로 [그러니까 방정식의 해가 바뀌지 않게] 변형하는데 성공하신거죠.
그래요! 그렇게 해서 모든 (일차)방정식을 풀 수 있습니다.
축하드려요!
중학교 3학년 때 배울 이차방정식은 이 방법만으로는 풀 수 없답니다.
하지만 그건 그때가서 생각하자구요. 찡긋
오늘 배울건 여기서 끝이에요
거의 두 시간 분량을 글 하나로 퉁친거 같은데 긴 글 읽느라 고생많으셨어요~!
수고하셨습니다!
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