새해가 밝았네요.
중3때부터 이어진 강의는 고2가 되어가는 지금 이순간에도 끝내지 못했네요 ㅠㅠ
당초 예상은 한 1학년범위는 다 끝내주자! 그치만 함수가 나오면 그림때문에 패망하겠지 였는데
함수까지 가지도 못할런지요
이번에 고등학교 2학년이 되면서 학업에 조금 더 집중해보려고 해요
그래서 사실상 연재를 얼마나 더 할 수 있을지는 사실 모르겠어요
그치만 가끔가다 보면 항상 잘보고있다는 응원메시지와 감사메시지를 남겨주시는 분들이 있더라구요.
어렸을 때부터 책을 많이 읽어서 뭔가 아는게 조금씩 많았던 저는 입이 그렇게 근질근질하더라구요
막 말하고싶고, 잘난척하고싶고, 하지만 좀 세상을 겪고나니 제가 아는정도는 많이 아는게 아니고,
항상 노력에 노력을 거듭해야함을, 사람은 겸손해야한다는 걸 깨달았어요. 훌륭한 사람들이 참 많으니까요
아무튼 이소리는 왜했지 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
어쨋든 제가 알고 있는 사실들을 다른 사람들에게 말해주는 것은 정말 기분 좋은 일입니다.
특히나 그것이 '현역시절에 눈쌀찌푸려가면서 고심했던 것이고, 다른 선생님들은 크게 중요하다고 생각하지 않았는지 알려주시지 않았던 내용들이라면, 제가 몸소 부딪혀가면서 생각했던 내용들을 여러분이 흡수해서 장래와 흥미에 도움이 되실 수 있는 수학 분야라면야
하면 할수록 자랑스러워지지 않겠어요?
그래서 꾸준히는 못하지만 블로그 포스팅할때는 정말 재미있게 씁니다.
몇시간이 걸리더라도요 헤헤
아무튼! ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
제가 살아오면서 봤을때,
여러분이 못하는건 '활용'입니다.
초등학교 8단원 '문제 푸는 방법'만 나오면 애들이 으앙하기싫어 이소리를 했던 것 같군요.
여러분, '활용'은 어려운 것이 아닙니다.
그 뜻만 정확히 익혔다면, 실생활과 접목되기 때문에 오히려 더 재미있고요.
여러분이 글자를 무서워하는걸 알기 때문에 그냥 문제만 있는것보다 어렵지도 않습니다.
그니까 책을 많이 읽으세요 책. 글자가 안무서워지니까요.
활용의 요점은 제가 예전에 딛딤돌에서 가르쳐준 '수학 잘하는 방법'인가? 일이년 전쯤에 써놨던것 같은데 한번 참고해보시고
지금 생각하는 활용의 요점은
'정보찾기, 단서찾기'입니다.
수학 문제를 풀 때에는 항상 뭔가 꺼리가 있어야해요.
x+3 의 값을 구해라
구할 수 있나요?
x값을 모르는데 어떻게 구해요.
그렇기 때문에 x=10이다. 이렇게 주어지거나
x+3 + 5 = 6 이다.
이렇게 뭔가 정보나 단서를 제공해주게되죠.
그것이 활용파트에서는 글자로 나타내지는거구요.
영희와 철수가 사과갖고 장난치는건 옛날부터 무수히 많이 해오신거잖아요?
어렵지 않습니다.
특히, 이 파트에서 속력과 농도만 나오면 맥을 못추시는 분들이 많던데
특히 농도하나만큼은 제가 너무 잘해서 황농도입니다
뻥이고요
농도는 고등학생들도 어려워하더라구요 제친구들도
학원다니면서 막 열심히한다는놈들이 '아 농도 어렵 ㅠㅠ' 이러는걸 봤는데
사실 어렵지 않죠
저와 함께하면 어렵지 않습니다
시작합니다
사실 일차방정식은 별거 아닙니다.
왜냐면 옛날부터 많이 해왔거든요. 우리의 친구 네모네모가 들어간 식을 주구장창 세우셨는데
네모네모를 두번곱한 차수가 2인 식은 다루질 않았죠?
그니까 초등학교때 했던 모든 것들이 일차방정식이다! 란겁니다.
오호?
그럼 그 때랑 하는건 똑같고
나이는 한살 더먹었으니 생각은 더 넓어졌어요. 믿으세요
하면 됩니다
또 디딤돌에서 일차방정식을 이용한 문제 해결 과정을 친절하게도 적어주셨는데, 옮겨 써보겠습니다.
1. 문제 해결을 위하여 구하고자 하는 양을 미지수로 정한다.
2. 문제 상황에 맞게 방정식을 세운다.
3. 방정식을 풀어 미지수의 값을 구한다.
4. 구한 미지수의 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인하고 문제를 해결한다.
자. 일차방정식에만 통용되는 이야기가 아닙니다.
일차방정식 문제가 나왔다면 일단 쭉 읽어보세요.
이것이 일차방정식 문제다. 라는건 중요하지 않고, 어떻게 할지를 생각하는게 좋습니다.
문제를 읽으면서 문제에서 알려준건 뭐고, 문제가 요구하는 건 무엇인지 생각하세요.
문제가 요구하는 것은 보통 , 뭘하는데 몇분걸리겠는가? 얼마만큼의 m만큼 가겠는가? 몇개를 할 수 있겠는가? 사과의 갯수는 몇개인가? 영희의 나이는 몇살일까? 전송 시간은 얼마나 걸릴까? 이것의 농도는 얼마일까? 소금은 몇g 들어잇을까?
와 같은것들입니다.
그러면 무조건 그걸 x라고 두시고 식을 세우십시요
"더 좋은 방법을 찾기 전에는 무조건 그렇게 하십시오. 뭔가 아니다 싶을때가 온다면 당신은 수학적으로 성숙해진 것입니다."
그걸 x라고 두고 어떻게 해야될지 생각하십시오
문제를 예로 들기는 귀찮지만 하나 예를 들어보겠습니다.
선생님과 함께 ) 윤주는 오늘 도서관에 가서 300쪽짜리 위인전을 빌려 왔다. 첫날과 이튿날은 60쪽씩 읽고, 그 다음날 부터는 30쪽씩 읽어서 다 읽은 후 도서관에 반납하려고 한다. 윤주가 이 책을 읽는 기간은 며칠인가?
문제를 읽어보세요. 도서관에 가서 책을 빌렸고, 그 쪽수는 300쪽이랍니다.
첫날과 이튿날에 60쪽씩, 그러니까 시작부터 120쪽이나 읽고 시작하네요.
그 다음날부터는 30쪽씩 읽어서 다 읽는다고 합니다.
그럼 며칠동안 읽어야 300쪽을 채울수 있을까요?
에 관한 문제입니다.
며칠동안 읽어야되나요 그걸 바로 x라고 둡시다.
자, 생각해봅시다. 여기서
'그림을 그리던 뭔가로 정리하면 생각이 잘될 확률이 훨씬 높아집니다. 우선 그리세요! 우선 써보세요! 우선 표로 만들어보세요!'
책한권이 300쪽인데
이튿날까지해서 120쪽을 읽었네요.
그 다음날부터 30쪽씩 읽겠죠?
그럼 모두 다 읽었을때는 몇쪽을 읽어야될까요? 그렇죠 300쪽을 읽어야 다읽고 반납을 할 수 있겠죠.
그럼 읽은쪽수 = 300쪽
이라고 두고 식을 세우면 되겠구나!란 생각이 나실겁니다.
읽은쪽수는 어떻게 나타낼까요? 그럼
둘째날까지 120쪽은 무조건 읽도록 정해져있죠? 120을 우선씁시다.
그럼 그 다음부터 몇쪽씩 읽었을테니 120 뒤에 +를 써봅시다
그다음부터는 30쪽씩 읽었답니다. 그 날은 며칠일까요? 딱 값을 생각하지 마시고, 주어진 x에 대해서 어떻게 나타내야될지 생각해보는거죠.
총 읽은기간에는 120쪽 읽은 첫째 둘쨋날과, 그 나머지 날들이 합쳐져있습니다.
x = 2 + 나머지 가되겠죠.
그럼 이튿날까지는 120쪽읽었으니
120 + 30쪽씩 나머지기간동안 = 300이 되겠군요.
30쪽씩 나머지기간동안이란건 30쪽X나머지기간 이 될것이구요.
나머지기간이란 것은 총 기간에서 이틀을 뺀것이니 x-2가 되겠죠.
그러므로
120 + 30(x-2) = 300
이렇게 식을 세울 수 있겠네요
오우! 그 다음부터야 쉽죠? 간단히 정리해서 x만 남기고 우변으로 몰아주시면 됩니다.
별거 아니었네요. 찬찬히 생각해보세요.
속력과 농도
학교선생님이던 학원선생님이던, 저든지간에 속력은 모두 똑같이 말할겁니다.
속력 = 시간 분의 거리라고.
시간부네거리 = 속력이라고
그것은 속력의 정의입니다.
얼마나 빠른지, 그걸 딱 나타내주는 말은 없어요.
생각해보세요 야구공이 날아가는 장면을 사진으로 찍었다 칩시다.
그럼 땡글땡글 굴러가는 모습이 찍히겠지만 사진에선 멈춰있겠죠?
[여기에 관해서 나아가지 않는 화살의 역설이라고 재미있는 게 있는데 한번 찾아보세요]
즉, 야구공만 봐서는 얼마나 빠른지 얘기를 할 수 없어요.
물론 배트로 치고나면 꿀렁꿀렁하기 떄문에 뭔가 역동적이다!란 느낌의 형태를 띨수는 있겠지만요
그렇기 때문에 속력은 항상
'얼마만큼의 시간동안 얼마만큼을 갔을까?' 하는 비율로 나타냅니다!
속력은 시간에 대한 거리의 비율이란 거죠.
생각해보세요 10초동안 똑같이 뛰라해놨을때
빠른사람이 멀리가는건 당연하겠죠
그렇게 속력을 비율로 정의해 놓았으니, 시간분의 거리가 될수밖에 없습니다.
이건, 중1이 받아들이기엔 좀 고차원적인 이야기입니다.
비율이란, 뭐에 대해서 몇배냐? 하는 물음입니다.
A에 대해서 B가 몇배냐? 란 질문의 답이 A에 대한 B의 비율이며,
몇배. 라고하는것은 몇을 곱해서 그것이 되냐? 란 물음이죠. 3배라면 3XA = B라는 말이 되겠습니다.
그러므로 (비율)XA = B 가될테니, 비율 = A분의 B가 되는건 자명한 사실입니다.
그리고 한가지 더 말씀드리자면, 비율은 그렇기 때문에 분수꼴로 나타낼수밖에 없고
분수꼴, 비율 이야기는 항상 같다고 정의되었을때 다뤄진다는 점을 생각해두세요.
속력이 항상 같아야만, 비율으로 정의해서 다루어도 이상하지 않습니다.
예를들어 시간 2초동안 거리를 10m달렸다고 쳐봅시다.
속력의 공식은 뭐라구요? 시간분의 거리이죠.
하지만 속력=시간분의거리, 즉 시간에 대한 거리의 비율으로 정의되는것은 '빠르기가 일정할때'뿐입니다.
생각해보세요. 속력이 일정하다면 시간이 2배가 되면 거리도 2배가 되겠죠?
5초 뛰던놈을 10초뛰라고 하면 일정한속력이라면 거리도 두배만큼 뛰겠지요
그런데 만약에 점점힘이빠져서 헥헥거려서 느려진다고쳐봅시다.
시간이 2배가되면 거리가 2배가 됩니까?
아니죠. 그렇지 않죠. 그렇기 때문에 속력이 일정하지 않을때는 시간에 대한 거리의 비율, 시간분의 거리라고 할 수 없습니다.
그럼 속력이 일정하지 않을때의 속력 공식은 뭐냐?
라는 질문에 있어선 '그건 고등학교 물리시간에 배우세요^^' 라고 대답할 수 있겠네요.
물론 주위의 책들을 찾아보셔두 되겠구요.
수학적으로 바로바로 확답지을 수 있는 이야기는 아닙니다. 막 변한다면요.
아무튼! 그렇기 때문에 중학교1학년이 배우는것은 모두 속도가 항상 일정하다고 가정하고 시작합니다.
혹은, 모든 속력을 평균내어서 그만큼으로 일정하게 간것과 똑같다. 라고하는것과 같죠.
그래서 평균속력의 정의 또한 시간분의 거리가 되겠구요. 감이 오시나요? 안오셔도 됩니다. 한번 읽어보는게 더 도움될것 같아서 적었어요.
아무튼
빠르기가 일정하다고 하면,
속력 = 시간분의 거리, 즉 시간에 대한 거리의 비율이 되어서
시간에 속력을 곱하면 거리가 되는거에요.
예, 그렇습니다.
이 이외에는 앞선 다른 일차방정식 문제와 크게 다르지 않습니다.
한가지 팁이 있다면
서로 마주보고 달릴때 만나는 시간은 언제인가? 라는 질문이있어요
또, 운동장트랙을 누가 몇m정도 앞에서 출발하거나, 얼마만큼 늦게출발하거나 했을때 따라잡는건 몇초만인가? 이런문제도 있습니다.
나머지야뭐 그냥 주어진대로 풀면되는데 이두개는 생각을 조금 하셔야될겁니다.
예 그래요 그다음은 농도죠.
농도
농도란 무엇입니까? 뭔가를 녹였을때, 전체 용액에 대해서 그 뭔가가 얼마만큼의 비율로 녹아있냐는겁니다
얼마나 찐하냐, 얼마나 연하냐가 농도를 나타내는 말이 되죠.
오렌지 100%과일쥬스를 생각해보세요. 오렌지가 100%, 즉 용액(쥬스) 전체가 오렌지 과즙이란 뜻이니
시큼시큼하고 달달한게 맛있을것같네요
근데 100%가 맞을까요 왠지 설탕은 넣었을것같군요
농도는 그렇기 때문에 농도 자체의 정의가 있습니다.
농도 또한 속력과 같이 공식이 있는데
농도는 일정하고 자시고 할것이없죠.
그렇기 때문에 그냥 농도는 용액양에 대한 용질양의 비율입니다.
농도 공부할때 빠지지 않는게 용액 용질 용매이거든요.
둘다 과학에 관련된 것들인데 수학에서도 나오니, 수학과 과학이 얼마나 잘 연결되어 있는지
자연 현상을 설명하기 위해서 수학이 어떻게 필요한지
수학의 중요성이라던가 여러가지로 생각해볼수 있겠네요
용액이란 흔히들 아시는 것처럼 뭔가를 녹여서 섞어논 상태의 물질을 말합니다. 일반적으론 액체에 뭔가를 넣어서 녹으면 그걸 용액이라고 하죠.
용매는 녹이는 물질, 용질은 녹는 물질입니다.
가장 쉽게 '소금, 소금물, 물'이라고 생각하시면 되요.
그렇기 때문에 농도도 소금물로 생각하시는게 가장 쉬워요
용매용액용질 용용용들 단어번역하기 귀찮잖아요
좀 더 줄여볼까요?
이 때 중요한건, 농도가 물분의 소금이아니라, 소금물분의 소금이란 것을 유의해 두시기 바랍니다.
공식에서, 소금물은 언제든지 물 + 소금으로 쪼개서 생각할 수 있지요.
그리고 한가지 더 알아둘 것이, 다른 것들이 주어졌을 때 소금의 양을 구하는 방법입니다.
요 식에서, 앞에서 등식의 성질을 배운대로, 소금의 양은 어떻게 구하는지 등식을 변형시켜서 알아봅시다.
적절히 양변에 같은수를 곱하고 나누면 되겠지요? 나눌때 0으로 나눌 수는 없구요.
그리고 위 식을 딱 봤을때 소금물의 양이 0이되어선 0으로 나누는꼴(분모에 0이 온꼴)이 되니
그래서는 안되겠죠? 수학에서 분모는 0이 될수 없다는 것도 기억하세요!
요렇게, 소금의 양을 구하는 공식이 유도되었습니다.
농도공식, 속력공식, 소금양공식은 이해를 바탕으로 한 암기를 해두도록 하세요.
누가 왜그래? 라고하면 대답할 수 있도록 말이에요. 농도랑 속력은 원래 그게 정의고,
농도의 정의에서 소금양 공식이 나오게 되었죠.
이때까지 했으면 수학과 과학에서 또 한가지를 발견하게 됩니다.
어떤것과 어떤것과 어떤것의 관계식을 세워놓으면,
다른 것들을 알면 그 값을 구할 수 있다.
[다른 말로 하면, 미지수가 한개면 식이 한개 필요하고, 미지수가 두개면 식이 두개필요하고, 뭐 이런것은 선행과정이므로 흘려 들어두세요]
그렇기 때문에 과학자들이 자연 속에 숨은 공식들을 찾아내려고 애쓰는거지요.
농도 공식은 그냥 우리끼리 정한거지 찾아낸건 아니지만요.
이것만 하면 농도 문제는 수월해집니다.
하지만 여기까지는 왠만한 애들도 다 알죠.
그치만 Evot이가 그렇게 자신있어 한 이유는 뭐냐구요?
맞습니다. 제가 농도 문제 접근을 쉽게 하는 방법을 알려드리겠습니다.
두두두두두두두둥 뭐냐구요?
그림을 그려라! 하는겁니다.
에이, 너무 뻔하다구요? 하지만 진리에요 어쩔수없어요.
가장 쉬운 방법이 그림을 그리는 겁니다.
또 문제하나 보시죠 ㅠㅠ 귀찮지만 여러분을 위해 어쩔수없네요저도
여기까지 오신 분들을 위해 알려드리면
소금의 양으로 공략하는겁니다 농도문제는
무조건 소금의양으로 식을 세우세요. 왜냐구요?
그게 제일 간단하니까요
여러번 해보면 이쪽 저쪽으로 다 연결되어있어서 뭐로해도 상관없다는 걸 깨달으실 수 있는데요.
소금양으로 하는게 가장 편합니다.
그렇다고 소금양으로만 하면 나쁜어린이에요.
딴걸로도 해보세요 알겟죠?
왜 가장 간단한지도 생각해보시구요. 그림이나 그려볼까요 그럼?
아, 참고로 수학에 필요한 과학을 설명해드리면
소금물이 증발할때 소금은 증발하지 않고 물만 떨어져나간답니다.
저는 초등학교때 분명히 소금물 끓이는 실험을 해봤는데도 불구하고 중1때 그 사실을 기억을 못했었어요.
왜 소금물이 증발할때 물만증발할까 생각했었어요. 원래 그렇답니다. 소금은 기체가 되기 쉽지않거든요. 그래서 날아갈수없죠
물만 없어지기 때문에도 그림을 그리는게 가장 좋구요.
물만 넣는 이상한 경우도 있고 아주 천차만별입니다. 항상 비커그림을 그리세요!
요렇게요. 글씨가 아주 젬병이죠? ㅠㅠ 죄송해요 망할 마우스 ㅠㅠ
비커를 그립니다.
물을 꾸불꾸불하게 그려요
그리고 원래는 소금이 녹아있겠지만, 소금이 다 가라앉았다고 생각하고 밑에 깔아두세요.
비커 위에는 몇퍼센트인지 적고
비커에는 용액(소금+물 =소금물)의 양이 얼마나 되는지 적으세요.
소금 양은 소금칸에 적으시구요.
그럼 이제 서로 다른 용액끼리 섞든지, 물이 증발하든지, 물만 넣어지던지 상관이 없어집니다.
용액끼리 섞으면 용액양은 용액양끼리 더해질꺼고, 소금양은 소금양끼리 더해지겠죠.
농도퍼센티지는 그대로 더해지지는 않을꺼에요. 3%와 3%를 더해서 6%가 되지는 않죠.
그럼 문제에 적용해볼까요
6%의 포도당액 50g에 12%의 포도당액을 넣어 8%의 포도당액을 만들려고 한다. 12%의 포도당액을 얼마나 넣어야 하는가?
->
문제풀이는 지양하려고 했는데 제가 어쩌다 보니 이러고 있네요.
여러분, 제가 풀어주는건 참고용도로만 쓰셔야합니다. 의존하면 수학을 잘할 수 없어요.
가장 좋은건 제가 말하는 '남들이 얘기 안해주는, 그치만 필요한' 것들을 얻어가는것이구,
모르는걸 질문할때 성숙해집니다.
아무튼, 6%의 포도당액과 12%의 포도당액을 섞을껀가보네요. 포도당액은 링거맞는 그 용액이라고 생각하시면 될것같습니다. 노란거있잖아요 왜
근데 그거 달달한가요? 포도당액이면, 먹어보고싶은데 항상 상상과 현실은 다르더라구요 ㅋㅋ
아무튼 섞을꺼니까 비커2개 그려서 더하기 표시로 나타내주면 되겠죠
예, 글씨는 또 개판이네요.
6% 포도당액 50g 적었고,
12% 포도당액의 양을 물어보는 문제이므로! xg 이라고 하겠습니다.
그럼 원하는 8%포도당액의 양은 50+x가 되겠죠.
예 당연해보이네요.
그럼 소금의양, 여기서는 포도당의 양이겠죠.
포도당양을 각각구해서 넣어봅시다.
공식은? 포도당액 곱하기 백분의 농도. 왜? 농도의 정의에서 유도됨.
이렇게 소금의 양까지 구해봤습니다.
여태까지 우리가 한것은, 결과를 가정해놓고 이럴려면 어떻게 되야 하는가? 에대한 질문입니다.
6% 포도당액에 12% 포도당액을 얼만진모르겠지만 이만큼 넣어서 8%의 포도당액을 만들었다고 치고,
8%의 포도당액을 만들기 위해선 미지수 x가 얼마만큼의 양인지를 파악해야겠지요.
어디서 많이 보던 패턴아닌가요?
x+3 = 6 이다. x의 값은?
x가 뭔진 모르겠지만 어떻다고 가정해놓고, 그걸 만족시키는 x값, 즉 방정식의 해를 찾는 방정식 문제였던 거지요.
이게 어째서 방정식의 활용파트에 나왔는지 이제 이해가 가시나요?
관건은 방정식을 세울 수 있느냐, 없느냐인데
이는 많은 시행착오를 통해서 세우는 능력이 향상됩니다.
틀리게 풀었다면 왜 틀리게 풀었는지,
맞게 풀었다면 왜 맞게 풀수 있었는지 항상 분석하고 생각해보아야합니다.
제가 쉽게 푸는 방법은 가르쳐주었지만요.
혼자 실패해보면서 감을 익히셔야해요.
아무튼 문제답을 구하려면
저기서 구한 소금의 양끼리 더했을때도 같아야하므로, 저기서 방정식이 탄생하게 됩니다.
몇가지 식이 농도문제에선 주어지는데, 저런식으로 풀면 각각의 값에 대한 단서를 얻을 수 있기 때문에
방정식을 풀 수 있는 것이지요.
이제 속도와 농도에 대해선 언급드렸고, 열심히 하시는 일이 남았습니다.
[속도와 속력은 사실 엄밀하게는 다릅니다만 중학교 수학에서는 크게 상관 없이 같이 씁니다.]
그럼 다음 단원은 함수군요.
함수가 2학기에 있는줄알았는데 생각해보니 1학기군요.
2학기때는 도형인데 미치겟네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 어떻게하지..?
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