'암기하지말고 이해하라!'가 무슨 뜻인가요?

이 글은 방명록에 올라온 질문에 대한 답 형식으로 작성되다가

중간에 포스팅으로 옮겨진 글입니다.

원래 질문은 다음과 같습니다.

어차피 익명 댓글인 만큼, 그냥 질문 그 자체를 공개해도 될 것 같아 그대로 복붙해볼게요.

'휴..제가 이제 고 되는데 진짜 수학만 못했어요 ㅠㅠ 
수학만 하면 답답해요..문자여서 너무 난해합니다.
그래서.. 사람들은항상 이해가 중요하다..암기하지말라그러는데
제가 수학공부를하다보면 이해를 하는건지 암기를 하는건지 분간이안가요 
대체 이해의 정도 가 어디까지죠????
제가수학의정석을 하려 그러는데
수학의정석 아주 꼼꼼히 읽으면 이해가 되는건가요 ???
또인강 들을떄 진짜 피곤한게 선생님이 하는 말 다 중요한거같은데 뭔 중점적으로 들어야하는지도 모르겟구요
조언좀주세요 ~^^*'

여기서 제가 초점을 맞춰 답변드릴 것은

'암기하지말고 이해하라!'가 무슨 뜻인가요?

에 대한 답변을 준비해 보았습니다.

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이해하라! 첫번째 이야기

저도 항상 암기보다 이해를 우선적으로 하라고 말을 합니다만, 그 뜻이 정확히 뭔지 생각을 해본적은 없네요.

우선 가장 먼저 든 생각을 써보고 나중에 다시 기회가 된다면 더 생각해봐야겠어요.


답변을 시작해보자면,
이해와 암기는 사실 반대되는 뜻을 가진 단어는 아닙니다.
그런데 선생님이라든지 수학을 가르치는 여러 사람들이 암기대신 이해를 하라고 강조하죠.

왜 그런 말을 할지 한번 생각해보세요.
저도 여기에서 출발해서 다음과 같은 생각들을 얻었습니다.


저렇게 말할때의 '이해'란 단어는 크게 두 가지 뜻이 있는것 같습니다.

쉽게 이해하기 위해 예시를 들어보죠. 고등학교에 들어가면 항상 접하게 되는 곱셈공식을 가지고 이야기를 해 봅시다.


어찌 되었건, 곱셈공식은 식(특히 문자가 들어있는 식)의 계산을 '편리'하게 하기 위해서 꼭 알고(혹은 외우고) 있어야 하는 식입니다. 

이해가 되었건 안되었건  이라는 것을 머리속에 넣어놓고 있어야만 직접 계산해보지 않아도 되지요. 

혹은 인수분해를 하기 위해서라도 반드시 외우고 있어야 하고요.

그러나 이 점을 너무 생각한 나머지 을 외우는데에만 치중하는 사람이 많습니다. 그리고 이 '외우는 과정'을 들여다보면 '저 식 자체만을' 외우는 사람이 많습니다.

여기서 '암기하지 말고 이해해라'라는 말이 등장합니다. 제가 생각한 두가지 의미중에 첫번째 의미죠.

이 첫번째 의미란, '보이는 대로 외우는 거로 끝내지 마라'란 뜻일 것입니다.

무슨 의미냐면, 저렇게 외워서 실제 계산에 적용해본다고 합시다. 그런데  을 계산하는 경우가 아닌, 혹은 을 계산하는 경우를 생각해봅시다..

이라고만 외운 사람의 경우,

모양이 바뀌면 한참동안 생각할 수밖에 없어요.

 을 계산하려면 우선 공책이나 문제집의 여백에 이라고 일단 써놓고,
에 해당하는 것이 무엇인지 다시 생각해서 을

에 해당하는 것이 무엇인지 다시 생각해서 를
에 해당하는 것이 무엇인지 다시 생각해서 으로 바꿔 써넣는 과정이 필요하죠.

특히 위 같은 경우에는 a와 b가 그대로 x와 y로 바뀌었기 때문에 상관없지만,

와 가 아니라 와 , 혹은 와  으로 바뀌면 계산하기는 더욱더 복잡해집니다.

우리는 '에이더하기비의 제곱은 에이제곱 더하기이에이비 더하기 비제곱'이라고만 외웠기 때문에

실제 계산에서 에이와 비가 또 나오면 끝장일수밖에없는거죠.

외우기만 한 사람이 위의 식 계산을 쉽게 해낼 수 있을까요?

그렇기 때문에 교과서에서 왜 하필 (3a+2b)^2이 아니라 (a+b)^2을 곱셈공식으로 소개하고 있는지를 '한번 생각해보는 과정'이 필요합니다.

곱셈공식 (a+b)^2 은 결국 (a+b) X (a+b)를 의미하고, 이러한 곱셈공식을 배우는 이유는 우리가 실제 곱셈을 할 때, 분배법칙을 두 번 적용해서 계산해낸 결과 'a^2+2ab+b^2'를 외움으로써, 실제 곱셈과정을 생략할 수 있기 때문에 외우는 거죠.
앞서도 말했듯이 인수분해를 위해서도 꼭 필요하구요.


여기서 포인트는 이 곱셈공식이란 건, 특별한 것이 아니라 곱셈을 할 때 분배법칙을 적용한 것에 불과하단 것입니다.

중학교때부터 배워왔듯이, 분배법칙은 어떤 숫자, 어떤 문자에 대해서나 성립하기 때문에 (아무 수, 임의의 수에 대해 성립하죠.)

a와 b 대신에 x와 y를 넣든, 3a와 2b를 넣든 상관없지만
'교과서'기 때문에 가장 간단한 형태인 a와 b를 넣은 것 뿐입니다.

근데 그걸 인지하지 못하고 '에이 더하기 비의 제곱은 에이제곱 더하기 이에이비 더하기 비제곱'만 외운다면, 취지에 전혀 어긋나게 되는거죠.

그러므로, 식 그자체가 아니라
식의 의미. 

즉, a와 b에 갇혀 생각하지 말고,
에서

a를 앞의 것.
b를 뒤의 것.
이라고 생각하는 것이 바로 이해의 첫 걸음인 것 같습니다.

즉, (a+b)^2을 그대로 (a+b)^2이 아니라, (앞의것 + 뒤의것)^2 = 앞의것^2 + 2X앞의것X뒤의것 + 뒤의것^2 이렇게 받아들이는 거죠.

그렇죠? 그러면 (3a+2b)^2도 전혀 헷갈리지 않게 될 겁니다.



이게 제가 생각하는 이해의 첫 걸음(첫번째 의미)입니다.
요약하자면 
'공식, 정리 등을 식 그 자체로 생각하지 말아라. 그것의 의미를 파악해라.'

예시를 하나만 더 들어보자면, (이것은 고1 과정은 아닙니다. 이해가 안되면 그냥 넘어가세요)
로그란 것을 나중에 배우게 되는데, 이 때 로그의 계산법을 외우게 됩니다.

로그는 어떻게생겼냐면 마치 루트 a를 쓸때 루트 기호를 앞에 써주는 것처럼

(로그a)라는 것을 쓸때, 로그 기호 log를 앞에 써주게 됩니다. (영어로 쓰면 돼요)

그래서 logA 이런식으로 씁니다. 혹은이런식으로 씁니다.

그리고 로그 뒤에 오는 숫자(혹은 문자)를 '진수'라고 해요. (여기선 A, x 가 진수가 되겠죠)

아무튼, 그래서 로그 계산법이 뭐냐면

이렇게 됩니다.

이것도 역시 외워야 계산을 할 수 있어요. 

그러나 이것을 앞서 말한 이해의 개념으로 설명하면

저걸 그대로 외우는 것이 아니라.

'로그 두개를 더할 때는, 진수의 곱꼴인 로그로 나타낸다.'라고

'한글로' 이해하고 있는 것이 중요하다는 것이죠.

그러므로, '이해하라'의 첫번째 의미를 다시 요약하자면,


'수와 식으로 나타내어진 것을 단순히 외우는 것이 아니라, 한글로 (자기가 말로 표현하는 과정을 거쳐서) 이해해야 한다.'

가 되겠네요.

더 줄이면

'한글로 해라!'

가 되겠습니다.

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이해하라! 두번째 이야기

아이쿠 답변이 길어지네요. 주저리주저리가 많은것 같습니다 ㅠㅠ

그리고 '이해'의 두번째 의미를 생각해 보기 위해, 다시 곱셈공식으로 넘어옵시다.

제가 생각하는 '이해'의 두번째 의미를 또 요약해보자면

'니가 직접 해봐라!'가 되겠습니다.

무슨 말이냐구요? 

공식, 혹은 개념을 (학교든 학원이든 인강을 통해서든) 새로 배웠다면,

그것을 아는 데 그치지말고, 직접 증명해보라! 설명해보라!라는 말이죠.

 

증명이란 말이 너무 딱딱한가요?

그럼 '결과만 알지 말고, 왜 그런지까지 알아야 한다.'

라고 하면 되겠네요.

'수학을 암기한다'라고 하는 사람들은 위에서 말했듯 식을 그대로 외우는 사람이 많습니다. 그거를 한글로 표현해보자라고 앞서서 말했었구요.

그리고 그런 사람들의 또 한 가지 특징은, '결과만 외운다.'입니다.

그러니까 결국에 제가 하고 싶은 말은, 직접 증명해보란 얘기죠.

물론, 학년을 거듭할 수록, 식이 굉장히 어려워지거나, 혹은 아주 간단한 결과에 비해 그 과정은 놀랍도록 어려울 경우들이 많습니다.

그러나 그렇다곤 해도 '고등학교 수학'에서는 그렇게까지,

혼자 그 과정을 따라가는 것이 '불가능할 정도로' 길거나 복잡하거나 또는 어려운 경우는 많지 않습니다.

그저 귀찮거나 시간이 없기 때문에, 혹은 별로 중요하게 여기질 않아서

과정을 되풀이해보지 않고 결과만 외우게 되는 것이죠.

물론, 이건 공부법에 대한 이야기기 때문에,

처음부터 선생님에게 배운 것이 그대로 머리에 기억나는 사람이라든가,

교과서 혹은 참고서를 보자마자 그 내용이 이해되는 사람이라면 굳이 '직접' 해볼 필요는 없습니다.

그러나 그런 사람이 아니라면,

적어도 제가 생각했을 때 이 과정은 '여러 문제를 직접 풀어보는 것'만큼이나 중요한 과정이라고 생각합니다.

특히, 고등학생의 경우 수능과 모의고사를 보게 될텐데, 특히 모의고사(수능) 4점짜리 문항들은

깊은 사고력 혹은 생각을 요구하는 문제들이 많습니다.

3점과 4점문제의 차이점을 꼽으라면,

3점짜리 문제는, 교과 과정 속에 있는 '공식'을 '알기만 하면' 풀 수 있는 문제가 대부분입니다.

그러나 4점짜리 문제는, 그 '공식' 혹은 '개념'의 '결과를 외우기만 해서는' 풀 수 없는 문제가 대부분입니다.

스스로 사고할 줄 알아야 하죠.

그렇기 때문에 '결과를 암기 하는 것이 능사가 아닙니다. 극단적으로 생각하면, 외우기만 해서는 30~40점을 넘어설 수 없을 겁니다.'

 (물론 제가 성적이 다라고 생각하진 않지만, 많은 분들의 경우 가장 중요한 게 성적이니까 한 번 써봤어요)

이 '결과가 아닌 과정'을 혼자서 직접 해보는 것이 왜 중요한지는 앞선 곱셈공식만 보아도 알 수 있습니다.

아까 제가 쓴 표현을 그대로 가져와 봅시다.

곱셈공식 (a+b)^2 은 결국 (a+b) X (a+b)를 의미하고, 이러한 곱셈공식을 배우는 이유는 우리가 실제 곱셈을 할 때, 분배법칙을 두 번 적용해서 계산해낸 결과 'a^2+2ab+b^2'를 외움으로써, 실제 곱셈과정을 생략할 수 있기 때문에 외우는 거죠.
앞서도 말했듯이 인수분해를 위해서도 꼭 필요하구요.

실제 계산 과정은 다음과 같습니다.

학교 수업시간에 아마 선생님들이 한번 보여주셨을거에요.

이렇죠?

이 과정을 직접 해보는 것은 굉장히 많은 도움을 줍니다.

첫번째로 잘외워집니다. 요래요래해서 조래조래된다는 것을 그 과정을 안다면, 

이것을 공책에 100번쓰지 않아도 저절로 알게 될 거에요.

두번째로, 수학적인 베이스가 점점 쌓여 다른 개념을 공부할 때에도

이런 과정을 직접 해본 경험이 도움이 됩니다.

그런 것들은 눈에 보이지 않는 경우가 대부분이지만, 이 곱셈공식같은 경우에는

저기 위에보이듯이 '곱셈에 대한 교환법칙' 때문에 최종적으로 라는 결과를 얻을 수 있었죠.

그런데, 나중에 가면 행렬이란 것을 배우게 됩니다. (물론 개정 후 교육과정을 배우는 친구들은 행렬을 안배울거에요 ㅠ_ㅠ)

그런데 행렬이란 것은 특이하게도 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 (되게 재밌을 것 같죠?)

저런 곱셈공식을 적용할 수가 없습니다.

만약에, 고1때 이렇게 곱셈공식을 튼튼하게 공부한 사람이라면,

행렬을 배울때도 전혀 어려움을 느끼지 않을거에요.

그런데 이런 '과정 속에 숨어 있는 기초'들을 모른다면, 어떻게 더 나아갈 수 있겠어요.

세번째로, 문제푸는 실력이 늘어납니다.

그냥 를 외운 사람들과,

저 윗과정을 한번이라도 해본 사람들은 실제 문제를 푸는 데에 있어서도 많이 다릅니다.

저렇게 치환의 경험을 한번이라도 해본사람은, 실제 치환문제를 만났을 때, '치환'이라는 단어를 떠올리는 속도가 다릅니다.

보통 수학 문제푸는 것이 어려운 이유는, 수학 문제가 '뭐를 하라고' 바로 제시하지 않기 때문입니다.

우리는 마치 탐정처럼, 주어진 재료(여태까지 배워왔던 개념)를 가지고 추리해나가야 하죠.

그런데 윗과정을 제대로 해본 사람의 경우,

'치환을 해야 이 문제를 풀 수 있구나'라는 눈이 점점 길러지게 됩니다. (물론, 많은 문제들을 동시에 같이 풀어야 눈이 점점 길러질 거에요)

그러므로 더 여러운 문제들도 쉽게 풀어낼 수 있는 거겠죠.

이것이 바로 사고력이 늘어난다는 것입니다.

가만히 앉아있다고 해서 사고력이 늘어나는 것이 아니라,

여러가지 경험들을 통해서 보는 눈을 기르는 거죠. (실제 문제들을 많이 접하는 것도 이런 경험들의 한 가지가 될 거구요.)

네번째로, 혼란이 안생깁니다.

공부하다가 어? 어?? 어??? 으앙! 이렇게 되는 분들이 참많아요. 특히 수학은.

제 블로그 방명록만 봐도, 이 개념과 저 개념의 차이는 뭔지, 혹은 저 개념을 이렇게 생각해도 되는건지 정말 혼란스럽죠.

근데 만약에 과정을 전부 다 꿰고 있고, 그 '과정에 담긴 의미'까지도 생각해본 사람이라면, 그런 혼란에는 잘 빠지지 않습니다.

저기 곱셈공식을 다시 생각해봅시다.

곱셈공식에서 가장 중요한 또 한가지 것은, 

곱셈공식 이 성립할 수 있는 근간은 바로 

분배법칙과 (곱셈에 대한) 교환법칙이고,

이러한 법칙들은, '그것이 숫자라면' 어떠한 경우에도 항상 성립합니다.

그런데 '문자 a 혹은 ab 혹은 abc 이런것들도 역시 숫자라는 것을 이해하고 있는 사람이라면'

곱셈공식에 대한 회의, 혹은 혼란이 생길수가 없습니다.

(곱셈공식은 상당히 쉬운편이기 때문에 그런 혼란을 잘안생길테지만,

적어도 보통사람들이 보기에 아주 이상한 질문들은 피할 수 있을거에요.)

이 부분에 대해서는 다음 포스팅에서 다시 설명하도록 하겠습니다.

그리고 마지막으로 말하자면,

수학이라는 것은 결국 '계산을 하는 것만이 목적이 아니라'

체계적인 논리를 통해 답을 얻어내는 학문입니다.

'문제 푸는데에는 논리고 뭐고 저런거 다 필요없지 않아요?'라고 물어보는 사람들도 있을텐데

점점 학년이 올라갈수록 문제들이 공식 그 자체가 아니라, 그 과정을 알고 있는지를 물어봅니다.

마치 이런거에요.

여러분들은 휴대폰을 아주 잘 사용하지 않습니까?

그런데 저희 어머니는 휴대폰을 정말 잘 못쓰세요.

휴대폰 뿐만아니라 컴퓨터도 잘 못하십니다.

컴퓨터나 휴대폰이나 어떤 거를 클릭하면 어떤 거를 하게 해준다. 요런식으로 논리로 무장되어 있는 기계죠. 사실상.

여러분은 문자 혹은 카톡으로 사진을 전송하는 방법을 아주잘알고 있을거에요.

그러나 저희 어머니는 핸드폰을 열고, 몇번을 누르고, 어떤 버튼을 클릭하고, 어떻게 한다.

이런식으로 사진 전송하는 방법을 외우고 계십니다.

가끔 저한테 다시 물어보시긴하지만, 우리 어머니도 사진을 보낼수는 잇죠.

그러나 여러분과 저희 어머니의 가장 큰 차이점은

자기가 하는 어떤 순간 순간의 과정이, 어떤 것을 의미하는지를 알고있느냐 하는 차이입니다.

예컨데 '메뉴'버튼이 어떤 기능을 하고, '문자 보내기 화면'에는 어떤 탭들이 있고 이것들은 어떤 기능을 하는지를 아는거죠.

그 과정들을 속속들이요.

그것을 안다면 충분히 다른 상황이 발생하면 훌륭하게 해낼 수 있을테지만,

저희 어머니는 안타깝게도 아니죠.

그저 이 차이일뿐입니다. 수학도마찬가지인거같아요. 특히 고등학교 수학에서는요.

주저리주저리 길게 썼는데, 잘 전달되었는지 모르겠어요.

그저 여러분들이 암기하지 말고 이해하란 말의 뜻에 조금 더 가까워져서

조금 더 행복하게 공부할 수 있었으면 하는 바람뿐입니다.

항상 그렇듯

뭔소린지 모르겠으면 댓글주세요

항상 그렇듯

다른 의견 있으셔도 댓글주세요.

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오늘부로 다시 블로그 활동 열심히해보려고 해요.

사실 강의 하나 더 쓸려고 했는데, 이 글 쓰느라 너무 길어졌네요 ㅋㅋㅋㅋ

오늘은 여기까지!