제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-2) 제곱근을 나타내는 기호

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제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1) 제곱근의 뜻

제곱근 기호를 알아보자.

 지난시간에 

 의 근, 즉 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 부르고

 a가 양수면 -> 제곱근은 두 개

 a가 0이면 -> 제곱근은 '0' 한 개

 a가 음수면 -> 제곱근은 없음. 혹은 생각하지 않는다

 이렇게 나눠진다는 것을 공부했었습니다.

제곱근을 따질때는 a가 양수나 0인 경우를 생각하는 게 의미가 있겠죠? a가 음수면 제곱근이 없을테니까요.

없는 걸 가지고 뭐라뭐라 말하는 건 우스운 일이잖아요? 마치 우리가 이성친구를 얘기하는 것 같이 말입니다. ㅠㅠ

아무튼 양수 아무거나, 음.. 9를 가지고 생각해볼까요?

 9는 양수이므로 제곱근이 두 가지가 있고, 그 둘 중 하나는 양수고 나머지 하나는 음수입니다.

 그럼 얘네 둘을 '양의 제곱근', '음의 제곱근'이라고 구분지어 불러도 될 것 같네요. 동의하시나요?

즉

 9의 '양의 제곱근'은 3이 되고

 9의 '음의 제곱근'은 -3이 됩니다. 

 9의 제곱근이 3과 -3이란 건 누구나 다 아는 사실이지만,

 조금 더 '양수'인 '제곱근', '음수'인 '제곱근'이란 의미를 살리기 위해 '양의 제곱근', '음의 제곱근'과 같이 이름을 붙여 불러보았습니다.

 지난 시간 마지막 숙제로 2의 제곱근을 찾아보라고 했었는데 다들 찾는 데 성공하셨나요?

 성공 못했다면 이 강의 뒷부분에서 저와 함께 찾아봅시다.

 미리 결론만 알려드리자면 2도 양수니까 제곱근이 두 개가 있습니다. 양수 하나, 음수 하나

 얘네도 역시 '2의 양의 제곱근', '2의 음의 제곱근'이라고 부를 수 있겠습니다.

 '2의 제곱근'이라고 말하면 '2의 양의 제곱근', '2의 음의 제곱근' 이 두 가지를 한 번에 부르는 이름인 것이 되겠죠.

 그런데 부를 때마다 '뭐시기의 양의 제곱근', '뭐시기의 음의 제곱근'이라고 부르면

 쓸 때는 팔이 아프고

 말할 때는 입이 아프고

 읽을 때는 눈이 아픕니다.

 물론 머리도 아프겠죠.

 그래서 '제곱근'을 나타내는 기호를 만들었는데, root(뿌리=근)를 뜻하는 r을 따서 숫자위에 뚜껑을 씌우기로 했답니다. 아래처럼 말입니다.

 같이 보실까요?

각 기호의 앞의 부호는 말 그대로 이 숫자가 양수인지, 음수인지를 나타냅니다. 

이 더하기 빼기, 혹은 플러스 마이너스 기호는 이미 아는 것이니까 더 볼 필요가 없죠.

우리가 새로 보는 기호는 9위에 지붕같은 생긴 것인데, 이것이 9의 '제곱근' 중 하나임을 나타내주는 표시입니다.

이 를  '제곱근 기호'라는 뜻에서 '근호' 또는 '루트 (기호)'라고 부릅니다. 영어로는 Radical Sign이라고 하죠.

이 때 우리는 9의 제곱근들이 실제로 어떤 숫자인지 아니까,

'근호' 혹은 '루트 기호'를 써서 나타낸 표현 대신 

직접 우리가 아는 숫자로 표현할 수 있습니다. 

 

라는건 제곱해서 9가 되는 어떤 양수인 숫자인데 결국 이라는 소리입니다. 도 그렇구요.

그런데 우리가 +3 과 같은 방식으로 양수를 표현하지 않듯이 (오히려 안쓰는게 자연스럽죠?)

'양의 제곱근'도 플러스를 생략해도 됩니다. 보통 우리는 부호가 없는 숫자를 보면 양수라고 생각하니까요.

그래서 이렇게 아래처럼 플러스를 생략해서 쓰기로 했습니다.

그래서 '9의 양의 제곱근', '9의 음의 제곱근' 대신  요렇게 쓰면 간편할 것 같습니다.

그런데 아직 말로 부르는건 안줄었습니다. 

쓰기로는 간편하게쓰는데, 얘네를 '9의 양의 제곱근', '9의 음의 제곱근'이라고 읽다보면 숨차겠죠?

그래서 더 짧게 부르는 방법을 개발했는데 를 '제곱근 9' 혹은 '루트 9'라고 읽습니다.

사실 수많은 사람들이 '루트 9'라고 읽지 '제곱근 9'라고는 잘 읽지 않습니다. '제곱근 9'라는 표현은 잊어버리셔도 됩니다. (근데 시험 문제에는 나옵니다.. 다음시간에 다뤄볼게요.)

는 양수니까 양수인걸 강조하고 싶으면 '양의 제곱근 9' 혹은 '플러스 루트 9'라고 읽으시면 됩니다.

는요? '음의 제곱근 9', '마이너스 루트 9'라고 읽으시면 됩니다.

여지껏 한 걸 정리해볼까요?

표기	읽는법	뜻	우리가 아는 숫자로 나타내면
	(플러스) 루트9	9의 양의 제곱근
	마이너스 루트9	9의 음의 제곱근

저번 시간 연습문제를 풀면서 얘기했었는데

어차피 9의 제곱근은 두 개니까 두개를 나눠서 각각 두 번 쓰는 것도 귀찮아지면 

플러스 마이너스를 묶어서

와 같이 한번에 묶어서 씁니다.

얘는 플러스 마이너스 루트9 라고 읽으시면 됩니다. 보통 더 줄여서 쁠마루트9 라고 읽습니다. ㅎㅎ

여기서 그럼 질문 하나 해볼까요?

너무 쉬운 질문이긴 한데, 얘네 둘을 직접 제곱하면 무슨 숫자가 되는걸까요?

 당연히 9가 되겠지요?

 왜죠? 루트9 , 마이너스 루트9의 뜻이 뭐였나요?

 각각 제곱해서 9가 되는 숫자 중 양수를 , 마이너스를 라고 하기로 했으니깐

 진짜로 직접 제곱하면 9가 되어야 하는게 당연하죠.

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 한편, 9와 같은 양수가 아니라 0일 때는 경우가 조금 다른데요.

 0의 제곱근은 0 하나 뿐입니다. 얘는 양수도 아니고 음수도 아니죠. 

 따라서 0은 양의 제곱근(양수인 제곱근)도 음의 제곱근(음수인 제곱근)도 없습니다.

 그러므로 이 때는 부호를 상관하지 않고 

                                    이라고 합시다.

이 때, 0에 부호가 붙어봤자 도로 0이 되죠?

 와 같이 말입니다.

따라서 

루트 0 역시 부호를 붙여봤자 도로 0이 되겠네요.

 

따라서 

이 되겠습니다.

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지금까지 제곱근 기호, 혹은 근호, 혹은 루트를 배웠습니다. 아이고 고놈 참 이름도 많네요.

다시 한번 복습해봅시다.

는 a의 양의 제곱근이면서 루트 a라고 부르면 됐었죠?

 의미를 풀어쓰면 제곱해서 a가 되는 (양수인) 숫자라는 뜻입니다. 

 (물론 a가 0이라면 는 양수는 아니고 그저 0이 되겠죠.)

 자매품으로는 가 있지요.

그럼 얘네를 진짜 제곱하면요? 당연히 루트 안의 알맹이가 나오는게 아니겠어요? 

(위에서 루트 9를 갖고 했던 것이랑 당연히 똑같겠지요?)

아래 식처럼 말입니다.

식의 생김새를 보고 공식처럼 외우려고 하지말고 뜻을 생각해보면 쉽습니다.

제곱해서 a가 되는 숫자를 직접 제곱했으니 실제로 a가 나오는거겠죠.

그럼 연습문제 하나씩 풀어보십시다.

사실 이미 제가 풀었습니다 ^^

쉽죠?

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근호는 왜 필요한걸까?

아니 그래서 이 난리법석을 도대체 왜 하는 겁니까?

누가 3을 제곱해서 9가 되는걸 모른다구요 ;;

그냥 라고 쓰지말고 3이라고 얘기하면 되는거 아닙니까?

굳이 무슨무슨 제곱근이니, 루트 기호니 이런거를 써야 하나요?

엄청 쓸데없는 짓 같은데요.

여러분도 이렇게 생각하셨나요?

그럼 우리 미뤄뒀었던 루트 2를 찾는 여정을 떠나봅시다.

봤던 문제죠? 지난시간 연습문제였어요.

도형에서도 이와 비슷한 문제를 만들 수가 있습니다.

아래 그림의 정사각형의 한 변의 길이를 구하시오.

모눈종이의 한 변의 길이가 1이라고 하면 위의 그림에서 색칠된 정사각형의 넓이는 2가 됩니다.

전체 넓이는 4인데 그 절반만큼이니까요.

그럼 정사각형의 한 변의 길이가 바로 우리가 찾는 숫자가 되지요.

길이가 얼마만큼이어야 제곱해서 넓이가 2가 될까??

함께 찾아보십시다.

제곱해서 2가 되는 숫자는 뭐일까요?

우선 2는 아닙니다. 2의 제곱은 4니까요.

3의 제곱도 9니까 2랑은 엄청난 차이가 납니다. 숫자가 커질수록 제곱도 커지니 숫자를 더 키우면 안될 것 같습니다.

그럼 1보다는 작을까요? 클까요?

저번 시간에 배웠지만,

1보다 작은 숫자라면 제곱하면 더 작아지니까 2가 될 일이 없습니다.

1보다 작은 숫자가 2가 되려면 원래보다 더 커져야 되는데 커지질 않고 더 작아지면 2가 될 턱이 없겠죠.

그럼 1과 2 사이의 어떤 숫자일텐데.. 

그럼 분수로 나타내볼까요?

몇 개 골라서 제곱해봅시다. 방법이 없는듯하군요.

2보다 커져버려서 2분의 3은 안되는군요. 다른 걸 해봅시다.

얘는 2보다 모자라는군요. 다른 걸 해봅시다.

오 2랑 엄청 가까운데요? 또 다른걸 해봅시다.

와 순환소수인데 순환마디 길이가 엄청나네요.

제가 계산을 뚝딱뚝딱해내는 것 같지만 사실 계산기의 도움을 받았습니다 ㅎㅎ

아무튼 도 그 제곱이 2를 넘어서 실패긴 실팹니다.

이걸 꼭 해야되나요? 언제 찾을지 걱정스러운데요.

제곱해서 2가 되는 숫자가 있긴 있는거 맞죠?

네! 있어요!

제곱해서 2가 되는 숫자가 있는데 

사실은 이 숫자는 분수로 표현될 수 없답니다. ㅎㅎ

분수 모양인 숫자 중에서 열심히 찾아봤자 제곱해서 2가 될 수는 없단 소리죠. ㅎㅎ

그러니까 위에 하던 짓은 모두 헛수고였답니다 ㅎㅎ

그럼 어떤 수로 나타낼 수 있다는거죠?

네, 소수로 나타낼 수 있답니다. 근데 소수 중에서도 끝이 없는 무한소수라고 해요.

중학교 1학년때 배웠던 내용들 기억나나요?

분수 모양인 수를 소수로 나타내면 분모가 2나 5들의 곱으로만 이루어져있을 경우 유한소수

다른 경우라면 순환소수가 되었었죠.

그런데 루트 2의 경우 분수로 나타낼 수 있는 순환소수도 아니고,

순환마디가 없이 계속해서 쭈우우욱 이어지는 이상한 소수로 나타내어진답니다.

이를 두고 유리수가 아닌 수라고 해서 무리수라고 하는데, 더 자세히는 다음시간에 배울거에요.

무슨 소린지 잘 모르겠어요.

사실 모르는게 당연합니다. 다음 시간에 배울 내용들을 살짝 소개한거거든요 ㅎㅎ

너무 걱정 마시고 무슨 소린지 잘 모르겠다면 그냥 다음 사진을 보세요.

왜 루트 기호가 필요한지 바로 알 수 있을거에요.

제곱해서 2가 되는 숫자를 계산기를 두들겨서 알아본 결과를 사진으로 준비했습니다.

바로 밑에 있는데, 무시무시해서 숨겨놨습니다. 모두들 심호흡하고 아래를 클릭하세요!

??? 이게 뭡니까?

제곱해서 2가 되는 숫자에요 저게.

요 사각형의 한변의 길이가 저 사진에 나온 숫자라는 거죠.

실제 있는 수를 소수로 쭈욱 나타낸 것이랍니다.

사실 뒷자리 숫자들이 더 있는데요. 쭈우우욱 (무한소수니까요). 사진으로 가져오려고 중간에서 짜른거에요.

왜 루트 기호가 필요한지 아시겠죠?

2의 제곱근은 절대 짧게 쓸 수 없어요.

도통 무슨 수인지 파악도 안되는 긴 자리의 소수니까요. 저도 저 숫자들 다 안외워요. 아니 애초에 외울수가 없죠.

그러니까 저게 뭔지 궁금해하기보다는 그냥 라고 써버립시다.

저 1보다 크고 2보다 작은 긴 긴 소수를,

 = 1.4어쩌구저쩌구저쩌구…

이렇게 써버리잔 말입니다. 이럼 행복하겠죠?

만 그럴까요?

우리가 아는 숫자로 바로바로 바꿀 수 없는 숫자들은 모두 그렇답니다.

위와 같은 경우들에는 우리가 알던 자연수로 바꿀 수 있지요.

반면 다른 숫자들이 루트 안에 있는 경우, 저렇게 간단한 숫자로 끝나지 않지요.

등등의 경우 말이죠.

모두들 루트 2처럼 무시무시한 자리의 소수랍니다.

이런 경우들에도 직접적인 숫자로 쓰기보다는 근호를 사용하여 나타낼 수 밖에 없겠습니다.

루트 3 등등이 실제로 어떤 숫자인지 구체적인 값이 궁금한 사람들은 울프람알파 라는 계산기 홈페이지를 이용해서 값을 찾아보세요

홈페이지에 sqrt(숫자) 라고 치면 값이 나온답니다. sqrt(3), sqrt(5) 이런식으로요.

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어려우셨나요?

오늘은 제곱근 기호의 모양과 뜻, 읽는법과 함께

제곱근 기호가 왜 필요한지 루트 2의 예시를 들면서 배워봤습니다.

누구한테는 엄청나게 어려울수도 있고

누구한테는 엄청나게 쉽게 받아들일 수 있는 내용일 수도 있습니다.

그렇지만 아직 모든 걸 배운 것이 아니니 차근차근 함께 끝까지 나가봅시다.

아직 배우지 않은 미스터리한 것들이 많으니까요. 그것까지 공부하고나면 다들 이해가 조금 더 잘 될거에요.

다음시간에 만나요!

다음 강의:

제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-3) 루트 벗기기, 제곱이 되는지 확인하기, 루트는 양수다.