[경제수학] 수학적 귀납법은 어디에 써먹을까? - 베르누이 부등식으로 복리가 단리보다 이득인 이유 설명하기

예적금 계좌에 돈을 넣어놓으면 은행과 일종의 계약을 하는 셈이죠.

"내 돈 당장 안쓸 것 같으니 은행에 맡겨둘게요. 은행 니들이 쓰고 싶은대로 쓰세요.

그치만 내 돈 맘대로 쓰는거니까 나중에 내가 찾아갈때는 이자를 줘야해요?"

 

이 방식에는 단리식과 복리식이 있다고 흔히들 배웁니다.

계약 기간동안 이자가 예를들어 10번 지급될 때

원금에 대해서만 이자율을 계산해서 이자를 지급하는 방식을 단리식,

(원금+기존에 받은 이자)를 새로운 금액으로 보고 여기에 이자율을 계산해서 이자를 지급하는 걸 복리식이라고 하죠.

 

그럼 복리식같은 경우에는 지난 달에 받은 이자에 대해서도 이자가 또 붙으니까 단리식보다 최종 받는 돈(원리합계)은 더 많아질거고..

 

당연하죠?

 

이 당연한 걸 식으로 표현할 수 있는 능력도 꽤나 중요한 능력이 됩니다.

말로된 표현과 식으로 된 표현을 서로 왔다갔다 할 수 있는 상호 번역 능력도 꽤나 중요하고,

식의 계산을 통해 복리식이 단리식보다 더 많은 금액이 된다는 것을 확인하는 것도 의미있는 일이지요.

 

그럼 어떻게 하면 좋을까요?

 

경제수학을 학습한 학생이라면 교과서에서 단리식과 복리식 공식을 찾을 수 있을 것입니다.

실은 직접 유도할 수도 있을 것이고..

 

그럼 우리가 증명해야하는 식은 무엇이 될까요?

 

원금 $A$, 이자율 $r$, 이자 지급 횟수를 $n$이라 할 때, $$A(1+rn)\leq A(1+r)^n$$

 

위 식에서 양수인 원금 A를 양변에 나눈 식도 논리적으로 동일한 식(필요충분조건)이 될 테이므로

아래 식을 증명하면 될 터이고..

 

양수 $r$과 자연수 $n$에 대하여  $$(1+rn)\leq (1+r)^n$$

 

이 식은 어떻게 증명할까요?

그 전에 이 식이 이름도 있다는 것을 아시나요?

그렇습니다. 얘는 '베르누이 부등식'이라고도 합니다.

(베르누이 부등식이라고 할 때는 r의 범위가 지금 우리가 가정하는 것보다 더 넓긴 합니다.)

 

우리는 이자율 r이 얼마이든 상관없이,

또 이자 지급횟수 n이 얼마이든 상관없이 복리식이 더 단리식보다 큰 금액이란 것을 알고 싶은 것이므로.....

 

그렇죠 양수 r과 모든 자연수 n에 대해서 성립한다는 것을 보고 싶은 것이고...

모든 자연수 n에 대해서 성립한다...?

 

그렇죠 수학적 귀납법을 이용하면 될 것입니다. ㅎㅎ

여기부턴 여러분이 해보세요^0^