이항분포의 평균과 분산 직접 계산하기

교과서에서 알려주지 않는 이야기들을 들어보자!

 

<교육과정 넘어가기 시간>입니다.

<교넘시 1차> 왜 허수는 크기 비교를 하지 않을까?

<교넘시 2차> 조립제법을 이용한 인수분해 - 약수 분의 약수꼴이어야 하는 이유? - 유리근 정리

 

이번 3차 이야기는 사실 고등학생들이 몰라서 못한다기 보단, 해볼 생각을 안해보게 되는 것에 가깝습니다.

(2015 교육과정 기준) 고등수학(1학년 수학)과 확률과 통계, 그리고 수학1의 수열의 합 내용만 안다면 할 수 있겠습니다. (고 2정도면 할 수 있겠네요.)

 

확률과 통계 과목 중 통계 부분의 많은 이야기들이 그렇지만,

이항분포의 평균, 분산, 표준편차 역시 '결과가 이렇다더라~' 혹은 '이렇게 된다고 알려져있다.'라고 설명되어 있는데요.

보통 저렇게 적혀 있으면 '니네가 하기에는 힘들어...' 란 의미가 있지만

이항분포에서의 평균, 분산 계산은 사실 고2도 할 수 있어요.  (표준편차는 루트씌우면 끝이구)

 

 

그래서 오히려 포스팅할까 고민이 좀 됐는데..

(왜인지는 잘 모르지만 이걸 직접 계산해보라는 문제는 본 적이 없는듯)

왜냐면 학교에서 학생들 하는거보면 웬지 긁어오기만 하고 자기가 이해한 건 없는 것 같은 그런 친구들이 많아서.. 

이것도 아주 유용한 불펌자료가 되지 않을까 고민을 했으나..

어쨌든 읽고 생각하고 발표하는 것도 역시 공부거리가 될 테이므로...

 

 

올려보겠습니다.

 

 

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우선 교과서에 나온 내용들 정리

 

 

확률변수 X가 이항분포를 따른다는 말 $ \left (  X\sim B(n,p)\right )$은 

$$P(X=x)=_nC_x\;p^x\;q^{1-x}\quad(p+q=1) $$

임을 이야기합니다.

 

 

그리고 이항분포에서의 평균, 분산은 각각

$$E(X)=np$$

$$V(X)=npq$$

임이 알려져있다고 합니다.

 

 

알려져있는데 그치지말고 우리가 계산해봅시다.

 

 

어떻게 하냐구요?

평균부터 시작해봅시다.

 

평균 계산은 기댓값 계산과 동일하지요? 기댓값 계산하는 방법을 떠올려봅시다.

우리가 흔히 많이 접하는 이산확률분포의 평균(기댓값) 계산 방법과 똑같아요.

수열의 합 기호를 이용한다면 아래와 같습니다. (사실 수열의 합 기호는 여러 개의 덧셈식을 짧게 나타내주는 표현의 용도에 불과하므로, 사실 수1을 다 공부하지 않았어도 계산할 수 있어요. 좀 식이 길어지겠지만)

 

$$E(X)=\sum_{k=0}^{n} \,kP(X=k)$$

얘를 정말 계산해서 $np$가 됨을 보이면 돼요. 무엇과 합쳐서?

 

그렇죠. 이항분포의 확률값을 대입만해주면 됩니다.

$$P(X=x)=_nC_x\;p^x\;q^{1-x}\quad(p+q=1) $$

를 말이죠.

 

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즉, 계산해서 보여야할 것은 이것이다.

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n} \,k\,_nC_k\;p^k\;q^{1-k}=np \tag{★} \end{align} $$

 

 

아니 어떻게 하는지 모르겠는데요?

힌트를 주자면

고1 경우의 수를 배울 때 왜 나오는지 모르겠는 공식을 이용합니다. 뭘까요?

$1\leq r\leq n $일 때, $$r\times  _nC_r=n\times   _{n-1}C_{r-1}$$

 

 

여기의 r을 k로 바꿔서 ★식을 계산하는 데 이용해보세요.

그럼 무슨 일이 생길까요?

 

 

어?? 나도 다른 글쟁이들처럼 이 이상의 답은 안적어야겠다.

원래 적으려고 했는데.. 맨 처음 적었던 이유들로 인해 안적도록 하겠습니다. ㅎㅎ;;

(옛날엔 이렇게 답 안알려주고 빙빙돌려서 말하는 온라인 수학슨생들이 진짜 미웠는데..)

 

 

마지막에 마무리할때는

확률의 합이 항상 1이 된다는 사실(식으로는 아래)을 써먹으면 됩니다.

$$\sum_{x=0}^{n} P(X=x)=1$$

 

 

화이팅^^

분산도 비슷하게 해보면 된답니다.