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교과서에서 알려주지 않는 이야기들을 들어보자!

 

<교육과정 넘어가기 시간>입니다.

<교넘시 1차> 왜 허수는 크기 비교를 하지 않을까?

<교넘시 2차> 조립제법을 이용한 인수분해 - 약수 분의 약수꼴이어야 하는 이유? - 유리근 정리

 

이번 3차 이야기는 사실 고등학생들이 몰라서 못한다기 보단, 해볼 생각을 안해보게 되는 것에 가깝습니다.

(2015 교육과정 기준) 고등수학(1학년 수학)과 확률과 통계, 그리고 수학1의 수열의 합 내용만 안다면 할 수 있겠습니다. (고 2정도면 할 수 있겠네요.)

 

확률과 통계 과목 중 통계 부분의 많은 이야기들이 그렇지만,

이항분포의 평균, 분산, 표준편차 역시 '결과가 이렇다더라~' 혹은 '이렇게 된다고 알려져있다.'라고 설명되어 있는데요.

보통 저렇게 적혀 있으면 '니네가 하기에는 힘들어...' 란 의미가 있지만

이항분포에서의 평균, 분산 계산은 사실 고2도 할 수 있어요.  (표준편차는 루트씌우면 끝이구)

 

 

그래서 오히려 포스팅할까 고민이 좀 됐는데..

(왜인지는 잘 모르지만 이걸 직접 계산해보라는 문제는 본 적이 없는듯)

왜냐면 학교에서 학생들 하는거보면 웬지 긁어오기만 하고 자기가 이해한 건 없는 것 같은 그런 친구들이 많아서.. 

이것도 아주 유용한 불펌자료가 되지 않을까 고민을 했으나..

어쨌든 읽고 생각하고 발표하는 것도 역시 공부거리가 될 테이므로...

 

 

올려보겠습니다.

 

 


 

우선 교과서에 나온 내용들 정리

 

 

확률변수 X가 이항분포를 따른다는 말 (XB(n,p))은 

P(X=x)=nCxpxq1x(p+q=1)

임을 이야기합니다.

 

 

그리고 이항분포에서의 평균, 분산은 각각

E(X)=np

V(X)=npq

임이 알려져있다고 합니다.

 

 

알려져있는데 그치지말고 우리가 계산해봅시다.

 

 

어떻게 하냐구요?

평균부터 시작해봅시다.

 

평균 계산은 기댓값 계산과 동일하지요? 기댓값 계산하는 방법을 떠올려봅시다.

우리가 흔히 많이 접하는 이산확률분포의 평균(기댓값) 계산 방법과 똑같아요.

수열의 합 기호를 이용한다면 아래와 같습니다. (사실 수열의 합 기호는 여러 개의 덧셈식을 짧게 나타내주는 표현의 용도에 불과하므로, 사실 수1을 다 공부하지 않았어도 계산할 수 있어요. 좀 식이 길어지겠지만)

 

E(X)=nk=0kP(X=k)

얘를 정말 계산해서 np가 됨을 보이면 돼요. 무엇과 합쳐서?

 

그렇죠. 이항분포의 확률값을 대입만해주면 됩니다.

P(X=x)=nCxpxq1x(p+q=1)

를 말이죠.

 


즉, 계산해서 보여야할 것은 이것이다.

nk=0knCkpkq1k=np

 

 

아니 어떻게 하는지 모르겠는데요?

힌트를 주자면

고1 경우의 수를 배울 때 왜 나오는지 모르겠는 공식을 이용합니다. 뭘까요?


 1rn일 때,

r×nCr=n×n1Cr1

 

 

여기의 r을 k로 바꿔서 ★식을 계산하는 데 이용해보세요.

그럼 무슨 일이 생길까요?

 

 

어?? 나도 다른 글쟁이들처럼 이 이상의 답은 안적어야겠다.

원래 적으려고 했는데.. 맨 처음 적었던 이유들로 인해 안적도록 하겠습니다. ㅎㅎ;;

(옛날엔 이렇게 답 안알려주고 빙빙돌려서 말하는 온라인 수학슨생들이 진짜 미웠는데..)

 

 

마지막에 마무리할때는

확률의 합이 항상 1이 된다는 사실(식으로는 아래)을 써먹으면 됩니다.

nx=0P(X=x)=1

 

 

화이팅^^

분산도 비슷하게 해보면 된답니다.