조립제법을 이용한 인수분해 - 약수 분의 약수꼴이어야 하는 이유? - 유리근 정리

교과서에서 알려주지 않는 이야기들을 들어보자!

<교육과정 넘어가기 시간>입니다.

지난시간 포스트는 복소수 단원이었죠?

<교넘시 1차> 왜 허수는 크기 비교를 하지 않을까?

이번 시간에는 조립제법(과 인수정리)을 이용한 인수분해를 할 때 왜 약수 분의 약수꼴이 그 후보들이 되는지를 알아보겠습니다.

역시 이미 조립제법에 대해서 안다고 생각하고 글을 쓰니까 참고하시길 바랍니다.

그래도 조금은 설명을 써놨으니 필요하신 분들은 쭉 읽어나가시면 될 것 같구요.

 '왜'에 해당하는 부분이 궁금하신 분들은 스크롤을 쭉 내려서 맨 아래 파트만 읽으시면 될 것 같습니다.

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유리수근의 후보를 몽땅 말해주는 유리근 정리.

예시와 함께 알아보자.

삼차식 이상은 쌩으로 인수분해 하기는 복잡하므로,

인수정리를 이용해서 일단 일차식 하나짜리로 된 인수를 찾게 되는데요.

그 다음에 찾은 일차식으로 처음의 다항식을 나눈 몫을 찾아서 최종적으로 인수분해를 완성하게 됩니다.

이 방법은 묘책이긴 하지만 아쉬운 점이 하나 있는데,

일차식 인수를 찾기 위해서

원래 다항식에 대입해서 0이 되게 하는 숫자를 찾아야 한다는 것이죠.

다르게 말하면

이것 저것 숫자를 원래 다항식에 대입해보고

그 값이 0이 되는지 아닌지 일일이 확인해봐야 한다는 소리입니다.

그 중에서 0이 되는 애들이 바로 인수가 될 테구요.

물론, 대부분의 고등학교 수학 문제에서는 0, 1, -1

좀 더 인심쓰면 2, -2를 대입하면 그 중에 하나는 0이 되게 만드는 해라는 게 공공연한 비밀이지만... ㅎㅎ

좀 더 식의 모양이 복잡해질 경우나

처음에 이것저것 대입해본 게 다 탈락하다보면

나중에는 뭘 대입해봐야 할지 감도 안잡히는 불상사도 일어날 수 있는데요.

바로 다음의 정리를 통해서 그런 불상사를 면할 수 있습니다.

<유리근 정리> 다항식 의 계수가 모두 정수일 때,  을 만족시키는 유리수가 있다면,  그 유리수는  꼴로 생겨야만 한다.

뭔소린지 모르겠으면 다음 문제로 적용해봅시다.

i) 첫 번째 예시

을 인수분해하려면 

물론 공공연한 비밀을 이미 알고 있으니 -2,-1,0,1,2 중 하나를 대입하면 될테지만.. ㅎㅎ

혹은 여러분이 더 경험이 쌓이면 나중에는 그냥 쳐다보는 것만으로도 무슨 수를 대입해야할지 감이 오기도 하지요.

그렇지만 우선은 위의 정리가 어떤 정린지 확인해보기로 했으므로

표 안의 내용을 보면서

무엇을 대입했을 때 값이 0이 될 수 있는지 찾아봅시다.

대입해서 0이 되는 숫자를 찾아야 하는데요.

물론 대입해서 0이 되는 숫자들이 꼭 정수들일 필요는 없습니다.

와 같이 비록 우리한테 익숙하지 않은 형태긴 하나

무리수나 허수인 숫자들일수도 있지요.

이 때도 물론 정수 근을 찾았을 때와 똑같이 

각각 

를 일차식짜리 인수로 두고

조립제법을 똑같이 사용해서 풀면 됩니다.

그렇지만 우리가 내심 바라는 건, 

무리수나 허수 꼴보다는 더 다루기 편한 것들

즉, 정수나 좀 더 인심 써줘서 유리수면 계산하는데 마음이 더 편해질 것도 같습니다.

(-2,-1,0,1,2도 사실은 정수 근이었죠?)

이 때 대입해서 0이 될 수 있는 유리수들의 후보가 어떤 애들인지 말해주는 게 바로 윗 정리인데요.

실제로 적용하기 위해서 우선 꼴의 유리수를 모두 써봅시다.

처음 다항식을 다시 보시면 

짜잔

최고차항이 삼차항이고 그 계수는 2입니다. 

분모에 올 수 있는 숫자들은 그럼 최고차항의 계수인 2의 약수인 1또는 2겠네요.

상수항은 6이고 그 약수들은 1,2,3,6이고, 이 숫자들이 바로 분자에 올 수 있는 숫자들입니다.

그럼 다 합쳐서 분수로 나타내어서 써 볼까요?

와우 엄청 많네요. 8가지 셋트나 됩니다.

실제로는 플러스 한개 마이너스 한 개 씩 있으니까 총 16개의 숫자겠네요.

그런데 실제로는 겹치는 것들을 제외하면 그렇게 많지는 않습니다.

약분을 해볼까요?

이제 겹치는걸 제외해서 일자로 써보면

이고,

플러스 마이너스를 나눠서 써보면

으로, 총 12개 숫자를 대입해보면 되겠네요.

그래서 12개를 다 대입해보면,, 결과는 -2를 대입했을 때 

가 되어

'

를 인수로 가지게 됩니다.

아니 오히려 복잡한 것 같은데요?

네.. 그래요. 

그래서 사실 실제 문제풀이에서는 공공연한 비밀이 더 쓸 데가 많답니다.

그렇지만 그 비밀은 수학적인 근거는 전혀 없고, '보통 시험 문제는 학생 편의를 위해 이렇게 나온다더라~'

하는 족보같은 느낌이지요.

반면에 이 방법은 수학적인 근거가 충분히 있습니다.

이 방법의 근거가 되는 정리인 유리근 정리의 의의는 무엇이냐 하면 (의 의의라.. 의가 3번..) 

를 0으로 만드는 유리수 근이 있다면, 무조건 저 위의 12개 중에 있다.

라는 말입니다. 

다시 말하자면, 유리수 중에서 그 나머지, 즉, 저 위의 12개 리스트 외의 유리수들은 

절대 근이 될 수 없다는 의미입니다.

다시 또 말하자면 

주어진 다항식을 0으로 만드는 x값의 후보들을 알려주는 정리라는 것이죠.

그래도 후보가 너무 많은데요?

아직도 불만이 많다면 다음 만화를 보시라. 

<만화>

(물론 추후에 업로드할 예정 ㅎㅎ)

ii) 두 번째 예시

정리가 유용하게 쓰여지는 다른 경우도 있습니다.

 

을 인수분해 해봅시다.

이 때 를 0으로 만드는 x값은 무엇일까요?

우리의 다섯 가지 숫자, -2,-1,0,1,2 를 대입해도 0이 되지 않는다는 걸 확인할 수 있습니다.

(직접 계산해 보시길..)

그럼 x값이 있는걸까요? 없는걸까요?

더 다른 숫자들을 시도해봐야할까요?

유리근 정리를 모른다면 이런 질문에 대답하기 곤란하지만 

안다면 다릅니다.

최고차항의 계수도 1이고 그 약수도 당연히 1이고

상수항도 1이니

결국 가 유리수 근이 될 수 있는 후보 리스트로 끝이죠.

근데 이미 대입해봐서 0이 안된다는 것을 확인했으니,

이제 더 이상 대입할 필요도, 대입할 숫자도 없습니다.

이 다항식은 그걸 0으로 만드는 x값이 유리수 중에는 없습니다.

이런 용도로도 정리가 쓰여질 수 있지요.

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유리근 정리를 증명해보자.

정리를 증명하기 전에 증명에 필요한 이야기를 몇개만 짚고 넘어가보겠습니다.

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약수와 배수

우선 첫 번째로, 약수와 배수의 의미를 생각해볼까요?

약수란, 쉽게 말해 나누어떨어지는 수를 말합니다. 

○가 △의 약수라면 △를 ○로 나누었을 때 나머지가 없이 나누어 떨어져야 한다는 것이죠.

이를 다시 말하면, △의 생김새가 △=○X☆ 모양으로 생겨야 한다는 소리입니다.

이 때 ☆은 몫이 되겠지요?

다시 말하자면, △=○X☆ 모양으로 나타낼 수 있는 ☆이란 숫자가 있다면

○를 △의 약수라고 한다는 말이지요.

배수는요? 반대 입장입니다.

 △=○X☆ 모양으로 나타낼 수 있는 ☆이란 숫자가 있다면 

 △를 ○의 배수라고 부릅니다.

이를 통해서 (○의 배수+○의 배수)도 ○의 배수임을 알 수 있는데요.

각각이 ○의 배수이므로

첫 번째 ○의 배수를 ○☆이라 하고 

두 번째 ○의 배수를 ○★이라고 표시할 수 있습니다.

이 때 ○☆+○★은 ○(☆+★)과 같으므로 역시 똥그라미에 어떤 숫자를 곱한 모양이 되고

이 역시 ○의 배수임을 확인 할 수 있습니다.

뭐의 배수니 뭐의 약수니 헷갈렸죠?

그래서 ii)배수와 약수를 표기하는 기호도 있답니다. 이렇게 씁니다.

○|△ = △는 ○의 배수, ○는 △의 약수

바를 기준으로 약수를 왼쪽 배수를 오른쪽에 씁니다.

혹은 바 왼쪽에는 나누는 수가, 오른쪽에는 나누어지는 수가 오지요.

이제 iii)마지막 얘기만 하면 약수 배수 이야기는 끝입니다.

곱꼴의 약수일 때 서로소이면 나머지의 약수다.

♡|♧□ 인데, ♡와 ♧랑은 서로소라면 ♡|□이다.

만약 어떤 수 ♡가 ♧ 곱하기 □의 약수인데

♡와 ♧가 서로소라면 ♡는 □의 약수여야 한다는 소리입니다. 

당연하게 느껴지나요?

숫자 4를 생각해봅시다. 숫자 4는 15랑 서로소입니다. 맞지요?

그런데 4가 15*□ 꼴의 약수라고 해봅시다.

그럼 □는 어떤 특징이 있나요? 그렇습니다. □는 4의 배수여야 하지요.

15*□이 4의 배수이려면 15*□ 안에 4가 있어야 할텐데, 15에는 당연히 없으므로

□ 안에 4가 있겠지요. (□를 인수분해 해보면 그 안에 4가 있겠지요)

이런것!

당연하게 느껴질 수도 있고, 안 당연하게 느껴질 수도 있을텐데요.

이럴 때 증명을 통해 여러분을 설득시키면 좋겠지만 안타깝게도 좀 더 선행 학습을 (대학교 과정입니다)

많이 해야 하므로 여기서는 증명은 쓰지 않겠습니다. 위의 숨겨놓은 예시 정도면 이해할 수 있을 것 같아요!

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이제

다시 유리근 정리의 증명으로 돌아옵시다.

<유리근 정리> 다항식 의 계수가 모두 정수일 때,  을 만족시키는 유리수가 있다면, 그 유리수는 꼴로 생겨야만 한다.

지금은 내용이 한국말로만 되어 있으니까 증명하기가 어렵네요.

한국말로 된 말을 수식으로 다 바꿔봅시다.

다항식 의 계수가 모두 정수일 때       

여기서란 말은 계수가 모두 정수임을 뜻합니다.

 을 만족시키는 유리수가 있다면,  

분수는 모두 약분을 할 수 있으므로란 조건을 넣었습니다. 

그 유리수는 꼴로 생겨야만 한다. 

분모인 는 최고차항의 계수인 을 나눌 수 있어야 하고,

분자인 는 상수항인 을 나눌 수 있어야겠지요. 그래야 약수가 될테니까요.

정리하면 이렇습니다.

<유리근 정리> 일 때, 그 유리수는 를 만족하는 유리수이다.

<본격적인 증명>

i) 보이기

에 대한 조건에 의해

이고,

양변에 을 곱하면

결국 

이런 결과가 나오는데요.

이 때 최고차항의 계수인 이 들어있는 항만 두고 다 이항한다면

의 결과가 나옵니다.

이라면 반드시 이어야 한다는 것이죠.

이 때 우변을 공통부분인 로 묶어서 인수분해하면

 꼴이 됩니다.

어라라? 이러면 어떻게 되는거죠? 네 그렇습니다.

좌변의 항은 의 배수가 되는 것이죠.

따라서 입니다.

이 때 아까 랑 랑 서로소라고 하기로 했던 것 기억나나요? 

그럼 랑 도 서로소일 것이고,

그럼 위에서 미리 알아본 대로 

인데 랑 도 서로소이니, 결론적으로 을 얻습니다.

ii)  보이기

위에서 를 보이기 위한 증명 과정과 똑같습니다.

다만 앞에서는 최고차항의 계수인 이 들어있는 항만 두고 다 이항했다면

상수항 가 들어있는 만 두고 모두 이항하면 되겠습니다.

직접 해보시기 바랍니다!

위와 똑같은 방법으로 하면

이런 결과가 다시 나올겁니다.

이 때 상수항인 이 들어있는 항만 두고 다 이항한다면

의 결과가 나옵니다.

이라면 반드시 이어야 한다는 것이죠.

이 때 우변을 공통부분인 로 묶어서 인수분해하면

 꼴이 됩니다.

따라서 입니다.

랑 도 서로소이므로

.

증명 끝!

그런고로 계수가 정수인 다항방정식이 만약에 유리수 근을 가진다면

그 유리수는 약분을 최대한 해서 분모 분자를 서로소로 만들 경우에는

분모는 다항식의 최고차항의 약수여야 하고

분자는 상수항의 약수여야 한다 라는 것을 확인했습니다. (여기까지가 유리근 정리)

그러므로 역으로 생각해서 

분모는 다항식의 최고차항의 약수인

분자는 상수항의 약수인

유리수들만 계수가 정수인 다항방정식의 유리근이 될 수 있겠구나.. 라고 생각할 수 있는 것이죠.

이것이 바로 우리가 고등학교 1학년때 인수분해를 배우면서 얼핏 지나가면서 듣는 이야기랍니다.

이렇게해서 유리근 정리가 어떤 것이며, 어떤 용도로 쓸 수 있고, 그걸 정당화하는 증명은 무엇인지 알아봤습니다.

참 유익한 시간이었죠?

필요하다면 대학 수학 과정까지 끌어와서 고등 수학을 조금 더 공부하는

<교육과정 넘어가기 시간>이었습니다.

다음에 또 만나요!!

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<교육과정 넘어가기 시간> 연재목록

1차 왜 허수는 크기 비교를 하지 않을까?

2차 유리근 정리