다항방정식의 해의 최대의 갯수 - n차방정식은 해가 n개이다 - 인수정리로 증명하기

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항등식에서 미정계수법이 가능한 이유 - 수치대입법, 계수비교법 - 증명

에서 발췌한 글입니다.

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인수정리로 다항방정식의 해의 최대 갯수를 알 수 있다!

다항식의 해의 최대 갯수라니 말이 너무 길어서 벌써부터 어렵군요.

하지만 여러분들 중에는 이미 비슷한 얘기를 들어보신 분들이 있을지도 모릅니다.

'1차방정식은 해가 한 개고,

2차방정식은 해가 두 개고

3차방정식은 해가 세 개고 ...'

들어보신분들 있죠? 물론 실근(실수인 해)의 개수는 더 적을 수 있지만 허수인 근까지 포함한다면 해의 개수가 차수와 똑같아지게 된답니다.

실제로도 이 이야기와 같이 다항식으로 만든 방정식, 즉 다항방정식의 해의 갯수는 그 다항식의 차수와 같답니다.

이를 증명하기는 고등학생 수준에서는 어려운일인데, 그 대신 항등식 단원에서 배우는 인수정리를 이용하여

'1차방정식은 해가 최대 한 개고,

2차방정식은 해가 최대 두 개고,

3차방정식은 해가 최대 세 개고 ...' 까지는 증명할 수 있답니다.

위와 비교해서 뭐가 달라졌는지 보이시나요?

위의 말에 따르면 3차방정식의 해는 반드시 (중근이 없다면) 세 개여야 하지만,

아래의 말로 확인할 수 있는 것은 3차방정식의 해는 0개일 수도, 1개일 수도, 2개일 수도, 3개일 수도 있으나 3개를 넘지는 않는다는 뜻입니다.

따옴표로 된 두 주장 중 아래의 주장이 좀 더 디테일하지 않은 주장이라고 할 수 있겠지요?

아무튼, 우리가 인수정리를 통해 증명하고 싶은 아래의 명제를

일반화해서 이야기하면 다음과 같이 이야기할 수 있겠지요.

다항방정식의 차수가 n이면 그 방정식의 해의 갯수는 최대 n개이다.

n에는 우리가 생각할 수 있는 자연수들이 다 들어갈 수 있으니 하나씩 넣어서 생각해보면 되겠지요?

그럼 무슨말인지 알았으니 인수정리를 통해 이를 확인해보도록 해봅시다.

n은 어려우니 3차방정식의 경우를 따져볼까요? 그럼 n에 3을 넣으면 위 문장은 이렇게 바뀌겠지요.

3차방정식의 해의 갯수는 최대 3개이다. (=다항방정식의 차수가 3이면 그 방정식의 해의 갯수는 최대 n개이다.)

증명 ) 

을 하기 앞서 '3차방정식의 해의 갯수는 최대 3개이다.'라는 문장을 생각해봅시다.

우리는 3차방정식에 대입해서 0이되는 숫자가 최대 3개라는 소리를 말하고 싶으므로 이 문장에

'3차방정식의 (서로 다른) 해의 갯수는 최대 3개이다.'

라는 말이 생략되어 있었다고 볼 수 있겠지요? 

그런데 위 문장을 좀더 증명하기 편한 꼴로 바꾸기위해 다음과 같이 바꿔봅시다.

'3차방정식의 (서로 다른) 해의 갯수가 4개 이상이라면 그건 말도 안된다.'라는 문장을 보면

표현은 다르지만 말하고자 하는 바는 완전히 같지요? 

그래서 두 문장 중 밑의 문장을 증명해보도록 하겠습니다.

그럼 진짜 말이 안되는지 확인해보기 위해서 3차방정식의 해의 갯수가 4개 이상이라고 가정해봅시다.

그 중에서도 더 편하게 생각하기 위해서 딱 4개라고 가정해볼까요?

그 친구들의 이름을 편의상 라고 합시다.

그리고 네 개중에 같은 숫자는 하나도 없다고 해야겠지요? 그렇다고 합시다.

그런데 생각해보니 3차방정식도 이름이 있어야겠군요! 계수들을 a,b,c,d로 나타내서 식을 써줄수도 있겠지만 계수가 중요한 건 아니니 그냥 쉽게 라고 해버립시다.

이렇게 이름지으면, 이 의 해가 되는 것이고

방정식의 해가 뭘 뜻하는 지를 생각해본다면 에 를 각각 대입했을 때의 값이 0이 되어야 한다는 것을 깨달을 수 있습니다.(사실 이런 걸 두고 방정식의 해라고 하지요.) 

그럼 

가 성립할 것입니다.

이 때 인수정리를 활용해봅시다.

인수정리 : 다항식  에 대하여, 이라면 는 로 나누어 떨어진다.

위와 같은 인수정리에 의하여 는 

으로 나누어 떨어져야 합니다. 그럼 는 어떤 모양으로 인수분해될 수 있을까요?

와 같은 모양으로 인수분해 될 거에요.

그런데 이렇게 되면 는 그때부턴 3차방정식이라고 말할 수 없겠지요?

인수분해해서 1차식꼴이 네개나 붙는다면, 그건 적어도 4차식일테니까요.

그럼 결국 다항방정식이 서로 다른 해가 4개라면, 그 방정식은 적어도 4차 이상이다.

라는걸 밝힌 셈이니 3차일리는 절대 없겠군요.

이로써 증명은 끝입니다.

아직 1차,2차,4차,5차,6차,7차,... 등등에 대해서는 증명하지 않았지만

위와 똑같은 방법으로 모두 증명이 가능하니까 생략해도 되겠지요.

증명끝!)