2. 자연수의 성질 - 2)최대공약수와 최소공배수

우선 어제 배운것들을 다시 생각해볼까요?
어제는 거듭제곱과 소인수분해를 배웠죠

여러 번 곱셈을 한 것을 간단히 나타낸 것이 거듭제곱이고,
이 때 곱셈을 하는 수를 아래에 큰 수로 쓰고 밑이라고 하고,
곱셈을 하는 횟수를 위에 작은 수로 쓰고 지수라고 했죠.

소인수 분해는 뭐였죠?
어떤 수를 그 수의 소인수들의 곱으로 나타내는 것이죠.

예를 들면 30의 소인수는 2, 3, 5니까
소인수분해하면 30 = 2X3X5가되는거죠.

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소인수분해를 배우긴 배웠는데 별로 쓸모가 없어보여요.
소인수들의 곱으로 나타내는 게 그렇게 대단한가요? 그냥 하면 되는거지.
하지만 그게 다 쓸모가 있기 때문이에요. 그 중 하나가 바로 오늘 배울 건데요.
오늘은 어제 배운 소인수 분해를 이용해서 최대공약수와 최소공배수를 구해볼 거에요.

최대공약수의 정의와 구하는 방법

약수가 뭐였는지는 기억나시죠?
아, 사실 제가 까먹어서 안쓰는 거 아니에요. 전전강의인가? 암튼 거기 나와있으니까 봐주세요^^

대충 설명하자면 나누어떨어지게 할수 있는 수라고 할수있죠?

그렇다면 공약수는 뭘까요. 네 그래요, 어떤 수들에 모두 약수가 될 수 있는 걸 뜻하죠.
예를 들어 6하고 30이 있다면 공약수는 2, 3, 6 이 되겠네요.

그럼 최대공약수는 뭘까요?
공약수중 가장 큰 것을 말해요. [어떤 사람들은 햇갈려서 최대공배수랑 최소공약수라고 하는데 이런 게 있을리가 없죠 왜 없는진 잘 생각해보세요 우하하]

구하는 방법은 뭘까요. 아까 소인수분해로 구할 수 있다고 했죠? 그리고 전 강의에서 맨 끝에서도 살짝 얘기한 거구요.

단도직입적으로 말하자면,

공통된 소인수들의 곱이 바로 최대공약수이다.

무슨 뜻이냐면요.
각각의 수들을 소인수분해해서 공통으로 나타내는 소인수들의 곱이 바로 최대공약수라는 거에요.
예를 들어볼까요?

84와 120을 봅시다
84 = 2X2X3X7
120 = 2X2X2X3X5

둘 모두에게 공통으로 들어있는 소인수는 2^2 (2의 제곱이죠?), 3이네요.
그러므로 최대공약수는 2^2X3= 2X2X3 = 12네요.

[해보시면 정말 최대공약수란 걸 알 수 있어요]

그런데 왜 그럴까요?
생각을 해보죠, 우선 최대공약수 말고 공약수를 생각해보기로해요.
둘다 소인수 분해를 했을 때 두 수 모두에 공통으로 들어 있는 소인수가 공약수란 건 쉽게 동의하실 수 있을 거에요.

예를들어서 6과 10을 볼게요.

6 = 2X3
10 = 2X5 죠?

그럼 공약수는 2고요. 아시겠나요? 공통으로 들어 있는 소인수만이 공약수가 될 수 있어요.
그래서 6의 약수인 6(2X3)은 10의 약수가 되지 않으므로 공약수가 될 수 없어요.
[6=2x3인데, 10에는 3이 없죠?]

그러면 최대 공약수는 어떻게 구할까요 그러면.
공통된 소인수들이 바로 공약수인데, 그 중 가장 큰 것을 구하라면 모두 곱하면 되겠쬬?
네 그래요. 그래서

공통된 소인수들을 모두 곱한 것이 최대공약수 이다.

임을 알수 있는 거에요. 참쉽죠?
[왜 그런지 쉽게 이해가 안 되실 수도 있어요. 갑자기 새로운 걸 알게되면 혼란스럽기는 누구나 마찬가지죠. 그럴 때는 그냥 밑에 글로 쭉쭉 넘기기보다 여기서 멈추고 교과서같은것을 들여다보면서 이해될때까지 생각해보는게 좋아요.]

그런데 지난 강의에서 제가 어떤 선생님한테 배운 방법이 최대공약수 구할때도 유용하다고 했죠?
한 번 볼게요.

하는 법을 설명드릴게요.
우선 최대공약수를 구하고자 하는 수들을 한줄에 쭉 쓰세요. [여기선 84와 120이죠]
그리고 저 나누기 꺼꾸로한것을 그리세요.
그 다음에 가장 작은 공통소인수들로 하나씩 나눠가는거에요. 84와 120에 모두 속해있는 소인수중 가장 작은 것은 무엇이죠?
2네요. 2로 나눕시다.

그럼 42와 60이 생기네요 또 2로 나눌수있쬬? 2로 나눕시다.
21과 30은 2로는 못나누고 3으로 나누네요.
7과 10이 남앗는데 서로 공약수가 없는 수죠? 그냥 냅둡시다.

이제 왼쪽에 있는 수들을 곱해주기만 하면됩니다. [빨간 수들이요]
그럼 12가 나오네요. 아까 처음에 구한값과 같죠? 만세!

이래서 제가 그 선생님이 짱이라고 한겁니다.
그때 초등학생때는 그냥 일일이 구해서 비교해서 최대공약수를 구하는 법을 배웠을 거에요.
왜 그런걸 배워야하는지는 모르겠지만 그때 저는 저렇게 배워서 술술했죠.
[물론 교과과정대로 충실히 하는것도 중요하지만 좋은 방법이 잇다면 배워서 쓰는게 좋을 것 같아요. 하지만 그 전에 왜 그렇게 하는지는 꼭 파악해 두어야겠죠. 그냥 외우기만 하면 정말 좋지 않은거니까요.]

그럼 왜그러냐고요?
간단해요. 아까도 말했지만  최대공약수들은 두 수의 공통된 소인수들의 곱이에요.
그러니까 공통된 소인수들이 없을때까지 나누면 왼쪽에 있는 수들은 모두 공통된 소인수겠죠?
그것들을 곱하니까 최대공약수가 나오는거고요.
뭔가 방법이 좀 달라보이지만 결국 같은 거였네요.
우헤헤.

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서로소란?

그런데 아까 7과 10처럼 서로 공약수가 1밖에 없는 수들을 서로소라고 해요.
제대로 된 정의는 최대공약수가 1인 수들을 서로소라고 하죠.

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최소공배수의 정의와 구하는 방법

최대공약수를 배웠으니까 최소공배수를 해야겠죠.
너무 많이했는데 쉬고싶다구요? [사실 제가 그래요 ㅠㅠ]
그래도 최대공약수 구하는법을 알았으면 최소공배수는 더 빨리 할 수 있으니까 한번 보세요.

최소 공배수는 뭘까요/
그래요 가장 작은 공배수죠.

공배수를 가장 쉽게 구하는 방법은 뭘까요?
네 맞았어요 그냥 두 수를 곱하면 되요.

2랑 3을 곱하면 6. 어라 최소공배수네요.
그럼 최소공배수는 그냥 서로 곱하면 땡일까요? 헤헤 틀렸어요. 이걸 보세요.

6과 12. 두 수의 곱인 72가 최소공배수인가요? 아니죠. 12가 최소공배수에요.
그냥 두 수를 곱하면 최소공배수를 구할 수 없어요.

그럼 어떻게 할까요?
네 맞았어요. 우리가 앞에서 배운 소인수분해를 또 활용합시다

구하는 방법은요.

최대공약수 X 서로 공통되지 않은 소인수들

으아 말이 참 어렵네요. 그냥 이걸 보세요.

56과 140이 주어진 수고, 280이 최소공배수에요.
280을 어떻게 구했나요?

56과 140의 최대공약수, 즉 2x2x7 에다가 남은 소인수들을 곱했더니 최소공배수가나오네요.
으악 좀 복잡하긴 하네요. 하지만 어쩔 수 없어요 왜냐하면 최소공배수는 이렇게 구해야하니까요.

다시말해서 두 수를 소인수분해하고
공통으로 들어있는 것은 하나로 생각해서 곱하고, 서로 들어있지 않은 것은 각각 넣어서 곱해준다는 거죠.

그렇다면 이건 또 왜그런걸까요?
알아봅시다.

우선 가장 간단한 것부터 알아보죠.
공배수란 두 수의 공통된 배수이죠?
근데 거꾸로 말하면 두 수는 공배수의 약수들이 되는거구요.

맞죠? 그러니까 예를들어 2와 3의 공배수인 12의 약수를 구해볼게요.
12의 약수 = 1, 2, 3, 4, 6 , 12

2와 3이 자신들의 공배수인 12의 약수라는 것을 확인 하셨죠?
그러니까 공배수는 자신으로 나누어 떨어져야 되요. [공배수 ÷ 자신을 하면 나머지가 남지 않는 다는 거죠.]
그런데 그러려면 어떻게 했어야 했죠? [최대공약수 구하던걸 생각해보세요.]
공통된 소인수가 있었으면 약수도 되고 뭐 그랬죠?

그러니까 서로 공통된 소인수들의 곱과 자신만이 가지고 있는 것들[개성이라고 할께요 편하게]을 곱하면 최소공배수가 나오는거에요.
[아 설명을 정말 못하네요. 머리 싸매고 생각해서 더 나은게 생각나면 수정할게요.]

아무튼 정리하자면, A와 B의 공배수를 구할때,
공배수는 A로도 나눠져야되고 B로도 나눠져야되요.
그러니까 A의 소인수들도 몽땅 들어있어야되고
B의 소인수들도 몽땅 들어있어야해요.

그런데 겹친다고해서 뭐 큰 상관은 없죠.
그러니까 서로 자기만 가지고 있는거랑 둘이 같이 가지고 있는것들이랑[이게 결과적으로최대공약수죠] 곱하면 최소공배수가 되는거에요.

우리 선생님이 가르쳐주신 그 방법은 여기서도 쓸 수 있을까요?
네 쓸 수 있어요. 그런데 3개 이상되면 쪼금 문제가 생기는데, 지금 마땅히 예가 생각나지 않아요.
이것도 생각나면 추가할게요.

어떻게 했는지 금방 감이 잡히시죠?
아까 최대공약수 구하는 것과 똑같은데 아래에 있는것들도 곱해준다는 것만 달라요.
[이걸 이용하면 오히려 더 쉽게 이해할 수 있겠네요.
왼쪽에 있는 것이 공통된 소인수들, 즉 최대공약수고 아래 있는 것들이 두 수의 개성이죠. 그것들을 곱하면 최소공배수가 되는거구요]

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아 끝났네요.
제가 지금 정신이 없어서 설명이 개같습니다.
이해해주시구요. 나중에 멀쩡할때 다시 수정하도록 노력할게요.
그리고 최대공약수와 최소공배수 문제를 하면 톱니바퀴 문제가 정말 많이 나오죠.
그런데 그것들도 사실 별거는 없어요.
톱니바퀴들은 서로 맞물려 돌아가니까 만약에 똑같은 톱니끼리 다시 만나려면 돌아간 톱니수가 서로 같아야되요.
뭐 다들 똑똑하시니까 뭔 얘긴지 잘 이해하셨을 거에요.

그 버스기다리는 문제 있쬬? [20분마다 오고 30분마다 오는데 같이오는건 결국 최소공배수인 60분때잖아요. 그 머지 몇일마다 장서거나 청소하는 문제도 똑같구요]
그걸 그냥 톱니라고 생각하시구 풀면 끝이에요.

다음시간엔 실생활의 문제를 해결하는 방법을 배울게요.
[사실 이건 자연수의 성질 뭐이런데서 나올게 아니긴한데 중1이라서 그런지 디딤돌회사에서 친절하게 써줬나봐요
저는 그대로는 안하구 제 생각을 많이 섞어서 할꺼니까 다음강의는 편하게 하시면 되겠네요.
(사실 제일 중요한거긴하죠)]