자연수의 성질 - 소인수분해 - 거듭제곱과 소인수분해, 수학에서 영어가 나오는 이유

자 드디어 소인수 분해를 할 차례가 됐습니다.
그런데 아직도 남은 것이 하나 더있었군요 ㅠㅠ
거듭제곱이에요.

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거듭제곱이란?

같은 수를 여러번 곱할 때 간단히 나타내는 방법

여러분 곱셈이 뭐였죠? 그래요. 같은 수를 여러번 더할 때 간단히 나타내기 위해 만든 것이었죠.
보세요.

2+2+2+2+2 = 10 [덧셈]
2X5 [2를 5번 더한다] = 10 [곱셈]

이와 마찬가지로, 같은 수를 여러번 곱할 때 간단히 나타내기 위해 거듭 제곱이란 것을 써요.

보세요.

와우 참 쉽죠?
그럼 2 말고 다른 숫자, a로 나타내보는 건 어떨까요

초등학교 때까진 안그랬는데 중학교 수학을 시작하면서 이상한 영어들이 나오기 시작해요.
[이건 수학뿐만 아니라 과학에서도 그러기 시작합니다. 다 기호가 편하고 좋으니까 이런 거죠.]

왜 그런 걸까요?
바로 ① 간단히 나타내려고, ② 대부분의 사람들이 그렇게 알고 있어서 ③ 특정수가 아닌 모든 수를 나타내기 위해서
[세가지로 나누었지만 사실 기호를 쓰는 이유는 다 똑같습니다. 어떤 경우마다 어떤 기호를 쓰는 것이 아니라 제가 알아보기 쉽게끔 정리해둔거죠.]
하나씩 알아볼게요.

① 간단히 나타내려고
이건 기호가 쓰이는 이유와 같죠.
매번 말로 풀어 쓰면 쓰기 힘들뿐만 아니라 읽는 사람들도 복잡해지죠?
예를 한번 들어볼게요.

우리가 배운 집합중 문제 하나를 기호와 영어[사실 이것도 기호]를 아무것도 쓰지 않고 내보겠습니다.

집합1에는 1, 2, 3, 4, 5 라는 원소들이 속해있고 집합2에는 2,3,4,5,6이라는 원소들이 속해있다.
이때 집합1과 집합2의 교집합을 구하시오.

문제를 새로 쓰기 귀찮아서 대충냈는데 이정도만 보셔도 알겠죠?
A라고 부르면 쉬울걸 집합1이라고 부르고 있어요.
또 A∩B라고 나타내면 될걸 집합1과 집합2의 교집합을 구하라고 나타냈죠.
이게 짧은 문제라서 괜찮지만 조금만 길어지고 복잡해지면 뭐가 뭔지 하나도 몰라서 햇갈리고 말거에요.

[옛날에는 더하기 기호도 없었다고 해요. 그렇다면 덧셈도 없고 다 없이 숫자만 있었을텐데 사람들은 계산을 도대체 어떻게 했을까요?]

② 대부분의 사람들이 그렇게 알고 있어서

이것도 기호의 쓰이는 이유와 마찬가지죠. 왜냐면 수학속의 영어도 어차피 기호니까요.
보통 영어 대문자는 집합으로 많이 써요. A, B, C 등이 이거죠.
그리고 자연수나 정수 등을 나타내는 영어도 따로있어요.
자연수는 Natural number의 앞글자를 따서 N
정수는 das Zahl (독일어로 '수'라는 뜻)의 Z

뭐 이런 식이죠.
앞의 수학자들이 이건 이렇게 쓰자고 동의 했기 때문에 영어로 나타내는거에요.
그런데 초등학교 때는 이런거 알려주면 애들이 허접해서 모른다고 생각하니까 영어를 안가르쳐주는거구요.
미지수[값이 정해져 있지 않은 수, 우리가 모르는 수] 는 보통 x, y ,z 로 나타내지만,
초등학교 때는 이렇게 쓰지 말고 우리의 □를 쓰라고 하잖아요? 모르는 것은 □로 나타내라고 하죠.

이건 초등학교 교육의 문제입니다.
그냥 처음부터 이런 걸 설명하고 이렇게 쓰라고 교육했다면 중학교 들어와서 햇갈릴 필요가 없어요.
그런데 초등학생들이라고 개무시를 하니까 중학생되어서 짜증만 나는거죠.

아무튼 간단하게 정리하자면

집합은 A B C 등의 대문자
원소는 a b c 등의 소문자
미지수는 x y z 등
상수[값이 정해져 있지만 모르는 수] a b c d ‥‥

이정도만 알아두시면 될거에요. 미지수와 상수가 무엇인지는 방정식을 배울때 다시 알려드릴게요.

③

그런데 사실 아래서 a를 쓰는 이유는 이거에요.
일, 반, 화.

2의 거듭제곱은 2의 거듭제곱일뿐 3의 거듭제곱이 될 수 없죠.
3의 거듭제곱도 3의 거듭제곱일 뿐 2의 거듭제곱이나 4의 거듭제곱이 안될테구요.
그렇다면 a를 쓰면 어떨까요?

a는 어떤 수든지 넣을수 있음을 뜻해요

a의 거듭제곱.
여기의 a에 2를 넣는다면 2의 거듭제곱이되고
3을 넣는다면 3의 거듭제곱이 되죠.

아무튼 제가 말을 진짜 못해서 어렵게 설명했는데
그냥 대충 흘려들으세요.
계속계속 공부하다보면 이런 형태를 많이 보시게 되는데요.
그러다보면 알아서 이해가 되고 생각되는거니까 제가 대충 설명해봤어요

그리고 처음엔 적응안되고 짜증나는데 나중에 적응되면 매우 좋은 방법임을 아실 꺼에요.

아 그리고 제곱을 나타내는 방법은 a^n[밑^지수] 이렇게 나타내기도 해요.
[왜 그런지는 잘 모르겠는데 컴퓨터로는 주로 이렇게 나타내더라구요.]

티스토리 뭐 그런 수식쓰는 그런거 없나요?
한글같은거 켜서 복사해야되나 ㅠㅠ

아무튼 a의 거듭제곱은 저렇게 a를 2번, 3번 곱한것들을 말하구요
이때 a같이 아래의 큰수, 즉 곱하는 숫자를 밑.
위의 작은수, 곱하는 횟수를 지수라고 해요.

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 와우 끝났어요! 이제 소인수분해를 할차례군요. 어서 소인수분해를 하고 싶죠? 달려가봅시다

소인수 분해란?

소인수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 한다.

무슨뜻인지 잘 모르시겠죠. 저도 그래요. 괜히 말만 어렵게 써놓으니까요.
그럼 봅시다. 소인수가 뭐였죠? 소수인 인수였어요.

근데 인수는 또 뭐였죠? 어떤 수를 곱해서 나타낼 수 있는 수였죠.

예를들어 6 = 2 x 3 에서 2와 3처럼요.

그런데 어라? 2와 3은 소수였네요.
2와 3은 소수인 인수 즉 소인수였어요.

그래요. 숫자 6을 소인수들인 2와 3의 곱으로 나타내는 것. [반드시 곱으로 나타내야됩니다. 인수란 것이 곱해서 나타내는 거니까요]

이것이 바로 소인수분해에요.

와 쉽네요. 그럼 해보죠.

① 4를 소인수분해하면?

4는 뭐와 뭐의 곱일까요. 1x4 ? 2x2 ? 1x2x2?
그런데 소인수분해는 소수인 인수로만 분해하는 거였죠?
그래서 4나 1은 소수가 아니니까 소인수가 아니에요.

즉 2x2가 답입니다. 그런데 2x2 는 2의 (2)제곱이었잖아요. 와후! 간편하게 나타낼수있겠네요.

② 24를 소인수분해하면?
24는 좀 큰수라서 뭐와 뭐의 곱으로 나타낼 수 있을지 좀 막막하네요 [쉽게 하는 방법을 아래서 설명할게요]
그런데 잘 생각해보고 뭐와 뭐의 곱인지 해보다보면 알 수 있어요.
바로 24 = 2x2x2x3

즉, 24 = 2의 3제곱x3

와 끝이네요. 짱쉽죠?

쉽게 소인수 분해하는 방법

작은 수이거나 많이 해본 수는 그냥 나오기만 하면 바로 나오는데
좀 126 같이 좀 큰 수는 정말 막막하죠.

그래서 그나마 좀 더 쉽게 하는 방법이 있습니다. 보세요

[사실 이건 저희 초등학교 선생님이 가르쳐주신겁니다. 그 선생님은 솔직히 초등학생들한텐 쉽게 가르쳐주셔도 되는데 이런걸 알려줘서 여태까지 유용하게 써먹고있죠. 이건 나중에 최대공약수와 최소공배수 배울때도 매우 유용해요.]


바로 수를 제일 작은 소인수부터 나눠나가는 겁니다.

126의 가장 작은 소인수는 뭘까요? 2네요.
그럼 63이 나오는데, 63의 가장 작은 소인수는 뭘까요? 3[소인수]x21[얜 소인수가아님]이니까 3이네요.
21이 남는데, 21의 가장 작은 소인수는요? 다시 3이죠?
그럼 7이 마지막으로 남네요. 그런데 7은 소수니까 소인수네요.

다시말해서

126 = 2x3x3x7 
　　= 2x3의 제곱x7

그러니까 저렇게 밑으로 나누는 방법을 쓰시고,
가장 나중에 왼쪽에 있는 수들하고 맨 아래 있는 수들이 바로 소인수들이에요.
그것들을 곱해서 나타내면 소인수분해죠.

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자 벌써 소인수분해까지 왔네요. 알아서 문제들 풀어보시고 다음시간, 최대공약수와 최소공배수때 만나요.
최대공약수와 최소공배수는 소인수분해하고도 밀접한 관련이 있는데 [그래서 아까 선생님이 알려주셨따는 것이 최대공약수와 최소공배수 구할때도 유용한거죠]
다음시간에 알아보도록 해요.
그럼 그때까지 바이바이!