식의 계산 - 식의 곱셈과 나눗셈

식의 계산 세번째 시간입니다.

앞의 두가지들은 오늘 하는 것의 근간이 되니 부족하다고 느끼시는 분은 보고 오시기 바랍니다.

아니면 안보셔도 되구요

일단 내리면서 파악하셔도 됩니다

식의 계산 - 식의 덧셈과 뺄셈, 연산법칙을 이용해 계산하기, 이차식 계산하기 

식의 계산 - 지수법칙 

'앞의 두가지가 오늘 하는 것의 근간이 된다면'

이 말은 다시 표현하자면

앞의 두가지만 할줄 알면 오늘 하는 것은 쉽다.

란 뜻입니다.

그럼 시작해볼까요?

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식의 곱셈과 나눗셈

단항식의 곱셈부터 출발해 봅시다.

단항식이 뭔지는 입에 닳도록 설명했으니 아실 겁니다.

항이 하나짜리인 다항식을 단항식이라고 했죠.

그러니까 [한 덩어리]라고 생각하시면 되겠습니다.

그것끼리 곱하라고 하면, 거기에 문자까지 있다면 어떻게 해야 될까요?

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.

매번 느끼는 거지만 도입 부분은 디딤돌 교과서가 참 좋습니다.

홍보는 아니고 ㅋㅋ 그렇다는겁니다.

그럼 디딤돌에서 제공하는 활동을 해보시죠

[제가 미리 해놨습니다. 중2때요]

자, 같이 해봅시다.

가로의 길이가 x, 세로의길이가 y인 유리타일 20개로 되어있는 건물이 있습니다.

문자로 되어 있더라도 각각의 넓이의 총합 = 전체 넓이라는 사실은 변함이없겠죠

각각의 넓이는 x*y 이고

전체 넓이는 (4x)*(5y) 가 되겠군요.

흠, 감이 오시나요?

그럼 위 1과 2의 결과를 보고 단항식의 곱셈을 하는 방법을 발표해보세요.

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 생각해보라고 하면되지 발표해보라고 하다니 참 거창하군요.

실제로 미국에서는 요즘들어 수학 과목에서, 단지 수학적 지식만이 아닌 자신이 알고 있는 내용을 커뮤니케이션 하는 능력을 개발하는 것을 집중적으로 교육하고 있다고들 하는데, 무엇이 더 수학교육에 바람직한 일인지는 생각해 볼 일입니다.

우선 한국사람들처럼 많이 아는 것이 더 좋을 수도 있겠죠.

아무튼간에나

발표해보랬으니까 모니터를 보면서 혼자 발표해보세요 ㅋㅋㅋ

퍼뜩 기억에 생각나는 말이 있을겁니다.

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다

바로 위에서 본 이야기죠?

예 그렇습니다.

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.

혹은

상수는 상수끼리, 문자는 각각의 문자끼리 곱한다.

라고 이야기 해주시면 되겠습니다.

왜 그럴까요?

역시 이것도 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하기 때문입니다.

x, y, z, a, b,c 와 같은 문자들은 매번 강조하지만

지들이 아무리 날고 기어봤자 결국 '숫자'에 불과합니다.

x라는 문자라고 해서 특별한 의미가 있는 것이 아니라, 하나의 숫자를 그저 x라고 표현할 뿐이죠. 그렇지 않나요?

그렇기 때문에 두려워 할 필요가 전혀 없습니다.

곱셈에서는 순서를 얼마든지 바꿔도 되는 곱셈에 대한 교환법칙을 적용하면

4*x*5*y 를 얼마든지 4*5*x*y로 바꿔서 20xy로 계산할 수 있다는 겁니다.

못 미더우시면 실제로 x와 y를 하나의 숫자로 생각하고 대입해서 계산해보세요.

그게 되지요? 그렇다면 x와 y의 숫자를 조금씩 바꾼다음에 또 생각해보세요

역시 될겁니다.

그렇죠? x와 y가 진짜 값이 뭐가 되든간에 그렇게 바꿔서 계산하는 것이 성립할 것입니다.

네 그렇습니다.

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단항식의 나눗셈입니다.

매번 했지만

뺄셈은 덧셈의 역과정이고

나눗셈은 곱셈의 역과정이라고 설명드렸지요?

특히, 뺄셈은 음수를 더하는 것으로 바꿔 생각할 수 있고

나눗셈은 역수를 곱하는 것으로 바꿔 생각할 수 있었지요.

혹은 분수꼴로 바꿔서 생각할 수 있었지요. 그게 역수를 곱한다는 말과 동일합니다.

분수 자체가 나눈다는 것을 표현한 것이었으니까요.

이해 되시죠?

아무튼, 그렇다면 단항식의 나눗셈은 어떻게 할까요?

역시

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 나눈다.

가 되겠습니다.

한번 해볼까요?

이렇게 나눗셈은 역수를 곱하는 것으로 언제든지 바꿔서 생각할 수 있습니다.

왜냐구요? 저렇게 분수로 바꾼다는 표현 자체가 나눈다는 표현이거든요.

서로 다른 것이 아닙니다.

혹은

분수 자체가 나눗셈의 표현이다. 라는 말을 생각하고

바로 분수로 바꿔버릴 수도 있습니다.

'결론은 다 똑같습니다.' 그렇지요?

모두다 2a분의 32ab라는 분수 형태로 바뀌게 됩니다.

모두

라는 결론에 도달하게 됩니다.

이렇게 되었으면 뭔가가 하고 싶지요?

초등학교 때 선생님들이 "기약 분수로 나타내!"

라고 했던 말들이 생각나네요.

다시 말해서, 약분이 될 수 있을때까지 약분하라는 겁니다.

a b 가 아무리 날고 기어봤자 역시 숫자이므로,

분자와 분모에 동시에 a가 곱해져 있으면 이 역시 약분할 수 있겠지요.

바로 그렇기 때문에

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 나눗셈할 수 있다는 것이죠.

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다항식의 곱셈

디딤돌 교과서는 단원 내에서 하나의 항목을 넘어갈때마다 탐구활동이 있고, 그 위에 내용을 요약하는 한 줄 짜리 말들이 있습니다.

제가 거기서 배껴다 쓴것이 여러가지죠

그런데 이번엔 뭐라고 써있는지 아십니까?

분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다

어디서 많이 들어본 이야기죠?

저런, 식의 계산 첫번째 이야기에서 했던 말이네요.

그런데 이미 다 공부를 하고나서 세번째 시간에 이 말을 쓴다는 것은 무슨 뜻일까요?

"첫번째 시간에서는 그럼 대체 어떻게 배우라는 건가요?"

입니다.

참, 진도라는 것을 지키기 위해서

배워야 할 것을 배우지 않고 넘어가게 되고 한참 후에 공부하게 되니

그 전에는 방법을 외울 수 밖에 없게 됩니다.

참 아이러니한 수학이죠.

아무튼, 여러분은 저와 함께하고 계시니 첫번째 시간부터 이 훌륭하고도 어려운 얘기를 듣고 오신 분들이라고 생각되요

그니까 제가 더욱 믿음직스럽죠?

ㅋㅋㅋㅋ위에꺼는 대체로 헛소리입니다.

아무튼

첫번째 시간에 분배법칙을 이용하여 괄호를 푸는 방법에 대해서 어느 정도 감을 익혔습니다.

요지는

단항식 X 다항식일 때도 역시 분배법칙을 사용하여 계산할 수 있다는 겁니다.

문자가 아무리 날고 기어봤자 숫자이고, 그렇다면 수의 세계에서의 계산 법칙을 역시 만족할 테니까요.

단어 선택이 어려웠을까요?

문자는 어차피 숫자고, 그러므로 분배법칙이 숫자들한테 성립하면, 문자가 끼어있어도 역시 성립한다. 이 이야기였습니다. 그렇죠?

그럼 그냥 술술 해버리시면 됩니다.

하나 해볼까요?

괄호에 3a가 곱해져 있는 꼴이네요.

어떻게하느냐구요? 그냥 분배법칙을 이용해서 각각 곱해준다음, 괄호안의 기호인 더하기를 이용해서 연결해주시면 됩니다.

이렇게 되죠.

누가 왜 이렇게 되니? 라고 물어본다면

그냥 분배법칙을 이용한건데요? 라고 이야기해주시면 됩니다.

그렇군요. 별 얘기 아니었습니다.

그럼 다음 이야기를 보시죠.

제가 앙증맞게 줄쳐논게 보이실 겁니다.

줄친 내용이 특히 중요해서는 아니구요. 이미 아는 얘기시고, 제가 하고싶은 말은 다음 문장입니다.

전개와 전개식이죠.

괄호의 곱셈은 언제나 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀 수 있는데

특별히

이렇게, 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀은 다항식으로 나타내는 것을 '전개'한다고 이야기합니다.

그냥 3a(x+y) 를 분배법칙을 이용하여 3ax+3ay로 바꿔 나타내는 것을 전개한다고 이야기한다는 소리입니다.

그렇게 전개된 식 (3ax+3ay) 을 전개식이라고 이야기하죠.

와우 그럼 다 해버렸습니다.

그럼 바로 다항식을 단항식으로 나눌때 하는 방법을 알아보도록 해봅시다.

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다항식 단항식으로 나누기.

항의 개념을 받아들일 때는, 하나의 '덩어리'라고 받아들이는 것이 참 속편한 이야기입니다.

실제로도 그런 의미로 쓰이구요.

아무튼, 나눠보십시다.

아 그전에 이거 한번 해볼까요?

장난하냐구요?

아니요 ㅋㅋ

해보십시다.

분수의 덧셈은 어떻게 했었죠?

분수란 얼만큼씩, 즉 분모만큼씩 나눈 것을 표현한 것이었으므로

더할때는 분모를 통분해서 더해야 했습니다.

분모만 같다면 그냥 분자끼리의 덧셈을 해주면 끝이었죠.

초등학교떄 한건데 다들 기억나시죠?

해봅시다.

요렇게, 바꿔서 더하면 되지요?

요렇게, 분모만 같다면 하나의 분수로 합쳐서 분수의 계산을 할 수 있었습니다.

하고싶은 얘기가 도대체 뭐냐구요?

분모만 같으면, 하나의 분수로 합칠수도, 여러개의 분수로 나눌수도 있다는 겁니다.

요렇게, 분모만 같으면 합칠수도, 나눌수도 있다는 거죠.

이렇게 하나의 등식을 보고서 역방향을 생각하는 것도 참 중요합니다.

저렇게 합칠수 있다면, 나눌수도 있다! 라는 이런 마음가짐,

나중에 중3때 인수분해를 공부할텐데 이런 마음가짐을 갖고 있으면 한결 수월해집니다.

아무튼간에, 합칠수도, 나눌수도 있습니다.

그럼 진짜로 다항식을 단항식으로 나누는 것을 해봅시다.

여기서 잠깐!

괄호는 왜쳤을까요?

역시 초등학교 때 했던 것을 생각해보시면,

괄호가 없는 계산은 곱셈과 나눗셈을 먼저하고 그 외 계산을 했어야 됐죠

그건 수학의 규칙입니다.

그렇기 때문에 괄호가 없으면 (9xy-15y) 전체를 나누는게 아니라 -15y 만 3y로 나누라는 표현이 되버립니다.

그러니까 전체를 나눠줘라! 하는 표현으로 괄호를 쳐준 것이죠.

아무튼간에, 나눗셈이니까 역수를 곱하는 것으로 바꿔서 생각해봅시다.

요렇게 되었군요.

그럼 저기서도 y와 3이 약분될 가능성이 보이십니까?

그렇지요

그런데 위에 덩어리가 너무 크군요.

그렇다면 아까 배운 것을 생각해서 나눠주면 아주 한결 수월하겠네요!

이렇게 바꿔주면 약분하기 수월해질 것 같지요?

네 그렇죠. 

그럼 약분해서 나타내주시면 됩니다.

그게 땡입니다!

이렇게 나누는 방법은 뭐 '전개'한다거나 그런 표현은 없고

그냥 나눠준다고 생각하시면 됩니다.

전개라는 것이 좀 특별한 이야기라서 따로 이름이 있는것이죠.

그럼 답은뭘까요?

그렇군요.

이렇게 이 과정을 반복하다보면

나중에는 자연스럽게 '어떻게 될지 알아서'

굳이 분수를 두개, 세개로 나누지 않아도 자연스럽게 계산할 수 있는 능력이 '길러집니다.'

기를 필요는 없고, 하다보면 길러지니 안심하고 나눠가면서 계산하세요.

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분수 표현의 한가지 팁

분수에 대해서 유명한 이야기가 하나 있습니다.

"분모 분자의 마이너스는 분수 앞으로 튀어나올 수 있다."

이것은 -3을 2로 나누라는 표현의 분수입니다.

계산해 볼까요?

직접 나눠봅시다.

그렇지요?

이는 다시 분수로 표현하면

이렇게 된답니다.

결과적으로 분자의 마이너스가 앞으로 튀어나온 것과 같지요.

요렇게 된다는 사실을 아실 수 있습니다.

아까처럼 여러개의 분수를 하나로 합치거나 하나의 분수를 여러개로 나누거나 할때는 항상 부호에 주의해야 합니다.

특히 그리고 뺄셈은 '마이너스 붙인 수를 더한다'로 바꿀 수 있다는 사실도 생각해 두시면 좋지요.

그럼 아까 위의 분수를 나눌때 두가지 방법이 다 되는데 한번 봐두시길 바랍니다.

다 같은 소리라는 것을 깨달을 수 있지요.

한번쯤 봐두도록 합시다.

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하나 더 보너스!

음수를 음수로 나눌때는 결과적으로 양수가 된다는 거 아시죠?

그럼

이것과 같아서 -1이 약분되면서 안녕! 하고 사라진답니다

오늘 얘기 정말로 끝!

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참 이것저것 하시느라 수고 많으셨습니다.

오늘 이렇게 계산해서 나타내는건 손만 좀 귀찮지 그닥 어렵지는 않지요?

분수를 쪼갤수도있고 합칠수도 있으며, 분모분자의 마이너스는 어디에 있던지 상관없음을 기억해두도록 합시다.

오늘 배운 것은 '수학 세계에서 정말 중요하다!'는 것은 아니지만

'수학 세계에서 정말 중요한'것들을 배우는 근간이 되지요.

무슨 이야기인지는 중3이 되면 아시게 됩니다.

그 때는 좀 더 식을 지금보다 말랑말랑하게 다뤄야해서

딱딱하게 생각하면 어렵지요

그치만 괜찮습니다

왜냐구요? 제가 함께할거거든요 ^^

오늘도 수고하셨습니다!