식의 계산 - 식의 덧셈과 뺄셈, 연산법칙을 이용해 계산하기, 이차식 계산하기

식의 계산 - 식의 덧셈과 뺄셈, 연산법칙을 이용해 계산하기, 이차식 계산하기

입니다.

뭐가 되게 많죠? 많습니다. ㅋㅋ 하지만 힘내자구요.

식의 계산이라,

어라, 이건 중학교 1학년때도 한 것 같은데

또 나왔네요

그럼 무엇이 다를까요?

디딤돌에 뭐라 써있는지 봅시다.

여러 문자로 된 식도 더하고 뺄 수 있다.

이차식의 덧셈과 뺄셈도 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 한다.

이 두가지입니다.

별 다를 것은 없고, 음 이차식을 배운다는 점, 식의 계산에서 문자가 좀 많아진다는 점

이정도를 특징이라 할 수 있겠네요.

식이 무엇인지는 중학교 1학년때 배웠습니다.

잘 기억이 나지 않는분들은 아래 링크를 통해 들어가서 보고 오세요

복습은 항상 중요합니다.

일차식 - 식을 이루는 구성요소들 바로가기

자, 이제 식이 뭔지, 계수차수등등은 뭔지 일차식이 뭔지 다 알고 오셨죠?

그럼 출발합니다

사실은, 중학교 1학년때는 문자가 하나만 있는 식을 다루는데

제가 몰래 강의에다가 문자를 여러개 적어놨었어요

왜냐면 문자가 여러개 있다고 해서 뭐가 바뀌는 건 아니니까요

그냥 우리가 쓰는 문자가 한개, 두개, 세개 이렇게 갯수만 늘어날뿐이지

우리가 어떤 숫자를 문자의 형태로 지정해줬다는 점에는 변함이 없어요.

그게 무슨 소리냐구요?

바로 문제부터 들어가 봅시다.

다음 식을 간단히 하시오.

간단히 하라는 말은 무엇일까요?

지금 위의 다항식의 항이 굉장히 많은데, 사실은 3x, x, 2y, -y 같이 합칠 수 있는 동류항들로 구성되어 있는 것을 보실 수 있어요.

그러니까 간단히 하라는 말은, 동류항끼리 계산해서 항의 갯수를 줄여라. 라는 말과 같습니다.

문자가 x와 y가 동시에 나왔다고 흥분하지 마시고

그냥 어떤 문자가 x, y란 이름으로 나왔구나. 그냥 숫자일 뿐이구나. 라는 생각으로

항상 동류항끼리 계산하시는 것이 중요합니다.

x 만 보자면, 3x + x 요렇게 x가 들어있는 항이 두개인거가 보이시죠?

그렇다면 3x는 3*x, 즉 x에 3을 곱했다. 혹은 x를 3번 더했다. 와 같은 의미니까

3x + x 는 x가3개 있던거에 x를 하나 더했다는 의미와 같습니다.

그렇다면 그것은 x가 4개가 되겠죠. 그래서 4x가 됩니다.

4x중에서도 +4x가 되겠지요.

이런 식으로 같은 항끼리 모아서 각각 따로따로 계산해주면 됩니다.

그럼 다음과 같겠지요

이렇게 동류항끼리 모아서 계산해준다음

각각의 경우를 더해주시면 됩니다.

사실 이렇게 등식을 3개나 쓰는건 조금은 웃기는 풀이입니다. 정석적인 풀이는 다음과 같은데

덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다는 것에서 기원합니다.

덧셈에 대한 교환법칙이요?

그건 뭐에요 갑자기 어려워지네요

교환법칙이란, 어떤 한 연산에 대해서 자리바꿔도 값이 똑같다라는 법칙입니다.

연산이란 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기와 같은 계산규칙들을 연산이라고 합니다.

아무튼, 덧셈에 대한 교환법칙은 다시 말해서

덧셈을 할때는 앞뒤것의 자리를 바꿔도 된다. 입니다. 다음과 같죠

이게 성립한다는 것은 당연하지요?

1+3 = 3 + 1

과 같으니까요.

당연한 이야기입니다.

그럼 이 것들을 어따 써먹냐구요?

우리가 여러개의 문자를 다룰 때에는 동류항끼리 계산해서 나타내주어야 합니다.

그런데 처음 주어진 문제를 보면

3x+2y+3+x-y-5 와 같이 동류항끼리 떨어져있게 되었죠.

어차피 계산 순서야 상관없으니까

3x+x=4x

2y-y=y

3-5=-2 이렇게 각각 따로 계산해서

나중에 더해주는 방법을 썼는데

이

'계산 순서야 상관없으니까 요렇게 한다'를 조금더 자세히 나타내면 이와 같습니다.

더하기에 대해서 순서를 바꿔도 상관 없으니까

각각의 순서를 바꿔서 동류항끼리 만날 수 있게 해서 더한다. 입니다.

이게 가장 '학문적인 풀이'이죠.

근데 수학은

"뜻이 통하면 다 통합니다."

저런 사실을 미리 알고 있다면,

굳이 저렇게 쓸 필요 없이

방금 한것처럼 동류항끼리 계산해서 쇽쇽쇽 하면됩니다.

그니까 x가 보이면 x가 보이는 것끼리

y가 보이면 y가 보이는 것끼리

문자가 없는 상수항들끼리

각각 계산해서 더해주시면 그냥 끝나버립니다.

좋습니다.

그럼 다음 문제를 볼까요?

다음 식을 간단히 하시오.

방금 전과 문제는 똑같은데 괄호만 쳐져 있네요.

참 흥미롭습니다.

괄호가 쳐져있으면 x와 y끼리 만나게를 못하겠네요.

그럼 어떻게 해야할까요?

이 때 또 사용하는 것이 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다는 것입니다.

결합법칙은 또 뭐냐구요? 어려워 죽겠다구요?

쉽게 말하자면, 결합법칙은 어떤 연산에 대해서 괄호가 소용이 없다는 뜻입니다.

다음을 보시죠.

같은 연산을 두 번 이상 할때

무엇을 먼저 하든 (어디에 괄호를 치든) 값은 항상 같다. 라는 것이 결합법칙입니다.

그러므로 결국엔 괄호가 의미가 없다라는 말과 똑같아지죠.

같은 연산을 할 때만이죠. 여기서는 세개 다 더하기로 이루어져있으니까 뭘 먼저 하든 상관 없다는 뜻입니다.

조금 어려운 접근일까요?

그냥 한번 읽어 두시는 것이 좋겠습니다.

아무튼 그렇기 때문에

의 원론적인 의미는 이렇습니다.

어떤 숫자 x와 y가 있는데

x에 3배를 한 것과 y의 2배를 한것 (3x+2y) 을 구하고

x에서 y를 뺀것 (x-y) 을 구한다음에

그 두개의 값을 각각 더해라

그런데, 우리는 이미 더하기에서는 괄호가 소용없다는 걸 알고있죠.

(3x+2y) 와 (x-y)가 더하기로 연결되어 있기 때문에

그냥 괄호를 풀어버립시다.

그럼 다음과 같겠죠

그럼 아까 전과 같은 방법으로 풀 수 있습니다.

그런데 사실 이것도 나중까지 쓰는 방법은 아닙니다.

마지막까지 쓰는 것은 '분배법칙'이죠.

아니 법칙이 왜이렇게 많이나오냐구요?

왜긴요 지금 식의 덧셈과 뺄셈에 대해 공부하고 있잖아요

연산을 공부하고 있으니 거기에 대한 이야기가 많이 나올수밖에 없죠.

분배법칙은 뭐였습니까?

딱딱한 말로 정리하자면 이렇습니다

'서로 다른 두개의 연산이 괄호를 통해 만났을때, 각각 나누어서 계산한다음 괄호안의 연산을 해준 것과, 괄호 안을 계산한다음 괄호 밖의 연산을 해준 것의 값이 같다."

뭔 개소리냐구요?

분배법칙 왜요 다들 잘 알잖아요

요렇게,

위에것은 괄호안을 먼저 계산한 것이구

아래것은 괄호에 곱하기를 분배해주면서 계산한 것이죠

이 둘이 똑같다는 것이 바로 분배법칙입니다.

그럼 뜬금없이 이 얘기를 왜했을까요?

괄호가 있기 때문입니다. 그렇죠

방금 전 했던 것을 봅시다.

이것들은 앞에 아무것도 안곱해져 있는데 뭔 분배법칙이냐구요?

글쎄요 여러분

a가 두개있는것이 2a라면

a가 한개있는것은 뭡니까? 1a죠. 근데 1a는 a와 같지 않나요?

곱셈에서 1이 곱해져있는 것은 생략해서 나타낼 수 있습니다.

그럼 반대로, 아무것도 없더라도 1이 곱해져있는 것으로 생각할 수 있죠.

어떤 수에 1을 아무리 곱해봤자 그 값은 같을테니까요.

그렇죠?

그럼 다음과 같습니다.

요런 식이라는 것을 알 수 있구요

+1에 대해서 분배법칙을 적용하면

어떻게 될까요?

그냥 괄호가 사라지는 것과 똑같지 않을까요?

바로 그겁니다

ㅋㅋㅋㅋ

"아니 왜 똑같은 이야기를 가지고 계속 빙빙돌려서 사람 햇갈리게 만듭니까?"

"바로 다음 뺼셈이 나오는데 이 얘기를 안하면 여러분은 그 방법을 그냥 외울 수 밖에 없습니다."

분배법칙 이야기를 더 해보죠.

괄호 전체에 곱해져있는 숫자가 양수가 아니라 음수라면 어떻게 될까요?

그때도 분명히 분배법칙은 성립할테니까 똑같이 해주면 되겠죠.

예시를봅시다

참 잘하셨어요

그럼 다음 식은 어떻게 괄호를 풀어 나타낼 수 있을까요?

괄호안을 계산할 수도 있지만

분배법칙에 의해서 괄호를 풀어줄 수도 있겠죠

요렇게 됩니다

그렇지요?

그럼 뺄셈도 쉽게 할 수 있습니다.

문제를 풀어보죠

다음 식을 간단히 하시오

이것도 앞에 1들이 곱해져있다고 보면 어떨까요?

그래도 되겠지요?

그럼 다음과 같습니다

근데 여기서 (a-b)에 곱해져 있는 것은 무엇입니까?

1이라구요?

아닙니다. -1입니다.

이렇게 항을 계산할 떄는 그 연산마저 한꺼번에 보는 습관이 필요합니다.

그래서 다음과 같이 계산합니다.

요렇게 -1이 곱해져있다고 생각하고

플러스는 뭐 언제든지 자기가 직접 써줄 수 있으니까요 [중학교 1학년때 공부를 했으니까 아실겁니다]

요렇게 계산하는 것이 바른 풀이입니다.

왜 그냥 1이 곱해져 있다고 생각하면 안되냐구요?

이걸 잘 살펴보십시오

우리는 마이너스가 붙어있는 괄호를 풀기 위해 애를 썼는데

그냥 1이 곱해져 있다고만 생각하면 마이너스는 절대로 없어지지 않습니다.

아이쿠 그렇군요.

마이너스가 붙어있는 괄호는 마이너스 일이 곱해져있다고 생각하고

계산해주면 됩니다.

여기서도 중요한 것은 뺀다는 것은 언제든지 음수를 더한다는 사실로 바꿔줄 수 있다는 것이죠

음수의 정의에 의해서도 그렇게 되었었죠. 중학교 1학년때 배운 사실입니다.

요렇게 풀어준다는 것이죠.

흠흠 어렵군요

학교 수업시간에 여러번 해보면 슬슬 감이 오기 시작하니까

걱정하지 마세용~

그리고 디딤돌에는 다음 두줄이 있는데 이거야 뭐 다들 아시죠

일반적으로, 괄호가 있는 식은 소괄호 중괄호 대괄호의 순서로 괄호를 풀어 계산한다.

초등학교떄도 배운 이야기군요.

소괄호는 ()

중괄호는 {}

대괄호는 []입니다.

중괄호랑 대괄호랑 햇갈리지 마세요

대괄호는 너무 큰 나머지 꼭지가 없습니다.

모든 걸 포함하는 괄호지요.

대괄호보다 큰 괄호는 없을까요?

갑자기 궁금하네요

그치만 중고등학교를 합쳐서 대괄호보다 큰 괄호를 쓸일이 많지가 않습니다.

분배법칙이나 결합법칙을 써서 괄호를 그냥 풀어버리면 되니까

거기까지 쓸 일이 없죠.

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이차식은 뭐얌?

다항식은 무엇인지 아실껍니다.

여러개의 항으로 이루어진 식을 다항식이라고 했었죠.

그런데 이런 항들에는 각각의 차수가 있습니다. 그렇죠?

차수란, 문자를 몇번 곱했냐, 혹은 변수를 몇번 곱했냐와 같은 말이었습니다.

이것도 역시 중1때, 그리고 제 강의에서도 이야기했었던 것이죠.

일차식을 배웠다면 아시겠지만 다항식을 이루는 각 항 중에서 차수가 가장 높은 항의 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 합니다.

그러니까

제일 큰 차수가 2인 식을 2차식이라고 하는거죠.

차수가 가장 높은 항은 줄여서 최고차항이라고도 많이 부릅니다.

고등학교때 자주 쓰는 표현이니 익혀두세요.

이차식의 덧셈 뺄셈은 어떻게 할까요?

아까 전에는 문자가 여러개인 일차식만 계산하고 있었었네요.

답은 "똑같다"입니다.

이 정도만 기억하시면 될 것 같습니다.

x² 과 x 는 다른 문자처럼, 동류항을 생각해서 계산한다.

x² 은 x를 두번 곱했다는 의미지만

그 값이 정확히 뭔지 모르기때문에

각각 다른 문자처럼 생각해서 그냥 일차식 계산하듯이 해주시면 됩니다.

아주 간단하죠

문제 하나 던져놓고 강의를 마치겠습니다.

다음 식을 간단히 하시오.

그리고 혹시나 해서 말씀 드리는데

이거 두개는 다릅니다.

왼쪽꺼는 x만 제곱한거고

오른쪽꺼는 2x를 제곱한겁니다

왼쪽꺼는 x제곱에 2를 곱한것이죠.

오른쪽꺼는 2x*2x 해서 계산하면 4x²이 됩니다.

그럼 강의를 여기서 마치겠습니다

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 배우느라 수고하셨습니다!

하지만 오늘의 좀 힘듦이

내일의 든든한 힘이 되어줄거에요.

화이팅!