근삿값 - 근삿값과 오차

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여러분 안녕하세요 이봇입니다

그동안 이래저래 특히, 아이디 해킹으로 인해 한동안 연재가 중단된 점 죄송합니다 ㅠㅠ

이제부터 다시 꾸준히 써보려고 하니 화이팅해주세요!

시작합니다!

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수학은 어디서부터 시작되었을까요?

모르긴 몰라도 원시인들이나 씨족사회 뭐 그런 아주 먼 과거로 거슬러가봐도

부족의 사람 수를 세거나, 먹을 것의 갯수를 세거나 하는 것들은

참 자연스러운 일들이었을 거에요

거기서부터 시작해서 수를 더하고 빼기 시작하고

심지어는 곱하고 나눌수도 있게 되었죠

그렇죠?

제가 하고싶은 말은, 수학이란 것은 일상 생활속에서 시작되었다는 거에요

그냥 완전 현실과 무관한 독립적인 것이 아니라

현실에서 재료를 따와서 수학을 만들었고,

그것을 다시 알맞게 적용하면 현실에서 사용할 수 있다는 뜻이죠

그렇지 않나요?

슈퍼마켓만 가도 자연스럽게 계산을 하고 있으니까요

아무튼, 그래서 오늘은 현실에 접목시킨 수학의 대표

'근삿값'에 대해 배워보도록 하겠습니다.

여러분은 몸무게가 얼마인가요?

저는 아마 한 65kg 쯤 되지 않나 싶어요

그때그때 잴때마다 다른데 정확히 말하면 한 63?

더 정확히 말하면 63.32? 그쯤되지 않을까싶네요

이보다 더 정확히 말할 수 있을까요?

제 몸무게는 63.32513828376372839231273723525323823923939273263253253263723523523234153723723kg 이라고 할 수 있을까요?

할 수는 있겠죠.

근데 그만큼 잴 수가 있을까요?

보통 전자저울 위에 올라서면 63kg 까지밖에 안나오잖아요.

그리고 어차피 저렇게 길어봤자 별로 의미도 없으니까

대충 어느자리에서 반올림하거나 버리거나 올림해 버리죠

올림, 반올림, 내림하는 방법은 초등학교때 배워서 다들 알고 계시죠?

그럼 63kg이라고 하는 몸무게가

제 정확한 몸무게라고 할 수 있을까요?

그건 아니겠죠? 제 몸무게는 63.3251382~어쩌구저쩌구저쩌구저쩌구어쩌구저쩌구이니까요.

사실 그리고 완벽한 몸무게는 잴 수도 없어요

그럴 수가 없죠

소수점 얼마자리까지 가야 정확하다고 할 수 있을까요?

몇만자리? 몇억자리? 몇십억자리?

그만큼 재도 약간의 차이는 있지 않을까요?

저울이 63.32~kg를 그냥 63kg로 보여주듯이

몇십만자리까지 잰 몸무게도 약간의 오차가 있을거에요 그렇죠?

인간의 한계인거죠.

그래서 63.325138 kg을 반올림해서

63kg 라고 한 값을

'근삿값'이라고 합니다.

정확한 값은 아니지만 대충은 비슷하다. 란 뜻으로

근삿값이라고 하죠. 근사란 뜻이 거기에 가깝다, 비슷하다 란 뜻이니까요.

제 몸무게에 가까운 값. 이 바로 근삿값이라고 할 수 있겠네요.

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측정의 문제와 오차, 참값, 근삿값

방금전에 말한 것처럼,

저울은 1kg단위까지밖에 나타내주지 않기 때문에

실제의 값과 약간은 오차가 나타날 수 밖에 없습니다. 

그렇죠?

이와같이 저울, 자, 인간의 눈

뭐로든간에 측정한 값을 '측정값'이라고 하는데

이 측정값은 실제의 값과는 오차가 있을수밖에 없는 '근삿값'입니다. 그렇죠?

그리고 정말로 정확한 실제의 양을 '참값'이라고 하구요.

여태까지 배운 수학이 그냥 엄청 정확하게 딱딱 떨어지는 수학이었다면

현실에 적용시켜보면 '완벽히' 맞아떨어지지는 않는다는 것을 알 수 있습니다.

왜냐면 참값을 측정할 수가 없기때문이죠

그냥 그런가보다 하시면 됩니다 ㅋㅋㅋ

이 측정의 문제를 더 알아볼까요?

눈금이 1cm 마다 하나씩 그어져있는 자가 주어졌다고 생각을 해봐요

심심해서 주위의 연필의 길이를 재 볼 수 있겠죠?

연필의 길이가 딱 10cm 면 얼마나좋겠어요?

그런데 대부분은 약간 애매한 길이일거에요

예를들면 9,72cm 같은...

그럼 1cm마다 눈금이 그어져 있는 자로는 어떻게 재야될까요?

9cm와 10cm 사이에 있는것은 확실한데

정확히 몇cm인지는 알수가 없고 눈대중으로밖에 못보게 되죠.

9.72cm면 어느쪽에 가깝겠어요?

9cm? 10cm?

10cm에 더 가깝단 걸 알 수 있죠?

그래서 사람이라면 누구나 이 연필은 '10cm야'라고 말할겁니다.

정확히 말하자면 "이 연필의 길이는 9cm와 10cm 사이이긴 한데 10cm쪽에 조금 더 가까우니까 난 소수 첫번째자리에서 반올림해서 10cm라고 재었어."

가 되겠죠.

만약에 이 사람한테 1mm 눈금 자가 주어졌다고 생각을 해볼까요?

더 자세하게 잴 수 있으니까 이사람은 신이나겠죠

10mm가 1cm이므로 1mm는 0.1cm입니다.

그렇다면 9cm와 10cm 사이가 아니라

9.7cm와 9.8cm 사이에 있다는 사실을 알게 되겠죠?

그럼 또 고민을 해야됩니다.

그다음에 이렇게 말하겠죠 "이 연필의 길이는 9.7cm와 9.8cm 사이에 있는데 9.7cm에 더 가까운, 즉 절반인 9.75를 중심으로 9.7cm에 더 가까우니까 소수점 둘째자리에서 반올림해서 9.7cm라고 재었어"

라고요.

주어진 눈금상황에서는 정확히 이야기 할 수 없으니까

그보다 아래의 눈금으로 내려가서 눈대중으로 잰후, 어디에 가까운지 반올림하는 방법으로

'근삿값'을 잴 수 있는거죠.

그런데 이렇게 근삿값을 재면 참값과는 약간 다르게 됩니다.

9.72cm인것을 9.7cm라고 했으니 실제와는 0.02cm 차이나게되는 거죠.

이러한 차이를 '오차'라고 합니다. 과학시간이나 일상생활에서 많이 쓰던 용어죠?

수학에서는 오차를 다음과 같이 정의합니다.

근삿값에서 참값을 뺀 것을 오차라고 하는데

방금 잰 연필의 오차를 구해볼까요?

9.7cm가 근삿값이고, 참값은 9.72cm이니

9.7 - 9.72 = - 0.02

-0.02가 오차가 되겠네요.

이렇게 오차의 정의에 따르자면 오차는 양수가 될 수도, 음수가 될 수도 있답니다.

그렇지만 근삿값이 더 정확할수록, 즉 실제 참값에 비슷해질 수록

근삿값에서 참값을 뺀 오차는 점점 0에 가까워지겠죠?

그것을 다른 말로 하면, (오차가 0에 가까워진다)를 오차의 절댓값이 작아진다.라고 하고

오차의 절댓값이 작을수록 참값에 가까운 근삿값이다. 라고 말할 수 있게 되겠네요.

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근삿값은 정확하지는 않지만, 참값과 비슷하기 때문에 근삿값을 알면 참값의 범위정도는 알 수 있다.

근삿값은 어떻게 구했나요?

눈금있는 자, 눈금있는 저울, 뭐든간에 어떤 측정도구를 가지고 측정한다음

참값과 최대한 비슷하게 잰다음 반올림한 값을 참값에 가까운 값, 근삿값이라고 했었죠.

아까 연필에서와 같이 9.7cm라고 하면,

이것은 참값은 아니지만 연필이 대충 그 비슷한 길이이다. 란 것은 알 수 있잖아요?

9.7cm가 근삿값이라고 했는데 갑자기 연필의 진짜 길이, 즉 참값이 사실 100cm였다거나 0.13cm였다거나 그럴 수는 없으니까요.

이렇게, 근삿값은 참값이 어느 정도인지 대충 말해줍니다.

다시 말하자면, 참값의 범위가 어디부터 어디까지인지는 말해줄 수 있다는 거죠.

그렇다면 어떻게 알 수 있을까요?

근삿값은 반올림한 값이기 때문에

반대로 생각하면 됩니다.

9.7cm가 소수 둘째자리에서 반올림한 값이므로

다시 역으로 생각해서 반올림해서 9.7cm가 될 수 있는 값 중 하나가 참값이 되겠죠?

이러한 참값의 범위를 생각해보면

요렇게 된다는 사실을 알 수 있어요.

그렇죠?

실제로는 9.72cm 이지만

그건 우리가 이미 아니까 9.72cm라고 말할 수 있는거고

근삿값이 9.7cm라면 저 범위안에 있다는 것은 '확실하다'라고 말할 수 있겠네요.

이렇게, 근삿값은 오차가 있는 값이기는 하지만

그 오차가 엄청 큰것이 아니라 어느 정도 범위안에 있다는 사실을 알 수 있죠.

연필의 경우를 보면 오차의 절댓값이 0.05 이하로 되게 되는데, 그 이유는 눈금이 0.1cm 짜리이기 때문에

그 아래에서 반올림해야 해서 0.05가 오차의 절댓값중 가장 큰 값이 된거죠. 이해가 가시나요?

그렇게 근삿값을 구했을 때, 오차의 절댓값이 어떤 값 이하라고 말할 수 있는(0.05cm) 값을 오차의 한계 라고합니다.

오차가 이거보다 클수는 없다!라고 말해주는 값이죠.

반올림은 5 이상에서 하나 올리고, 5미만이면 내리는 값이니까 저렇게 되는 사실을 아시겠죠?

소수 둘째자리에서 반올림해서 9.7cm가 된거였구요.

그렇다면, 오차의 한계는 항상

측정 눈금 아랫자리에 5를 붙인 것이라는 사실을 받아들이실 수 있을까요?

근삿값이 예를들어 10.33이라면

셋째자리에서 반올림한것이니까 오차의 한계는 0.005가 될거에요.

이 사실을 생각해보면 결국에는

요렇게 된다는 사실을 알 수 있어요.

근삿값 끝자리 단위가 바로 눈금 단위이니까, 그 아래에서 반올림했을테니까요.

그렇죠?

네, 그렇게 근삿값, 참값이 뭔지 알고 오차의한계를 구할 수 있으면 오늘은 성공입니다.

다음시간은 이렇게 얻은 근삿값을 계산하는 방법을 배워보도록 하겠습니다!