분수와 소수 - 분수의 소수 표현

자, 곧바로 중학교 2학년 수학 강의를 시작하겠습니다.

다들 중학교 1학년 생활들은 어떻게 지내셨는지 궁금합니다.

중학교 1학년은 솔직히 초등학생티를 아직 많이 벗지 못해서 1년을 되돌아보면

내가 그렇게 어렸었나 하는 생각이 드실겁니다.

하지만 그건 1년지날때마다 똑같다는거ㅋㅋ

 

중학교 2학년이 되어서 이글을 보든

아니면 뭐 요즘에는 초등학생들도 중학교공부를 하고

심지어는 미적분도 하는 이상한 사람들도 있으니

보시는 분은 천차만별이겠지요

아무튼 잘부탁드리고 열심히 해보십시다

 

 

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중학교 1학년때 처음으로 음수개념에 대해서 배웠고, 자연수와 0, 음의 정수를 합쳐서 정수라고 부른다는 사실을 익혔지요.

 

그리고 유리수들도 배워서,

유리수란

 

요렇게 정수분의 정수로 나타낼 수 있는 수들을 모두 유리수라고 한다는 사실을 배웠습니다.

 

분모가 1이되면 전체 분수의 값은 분자의 값과 같으니

그냥 일반적인 2,3,4,-1,0 과같은 정수도 유리수에 포함된다는건 다들 아시겠죠?

 

예, 그리고 초등학교때부터 배웠던 분수들도 유리수에 포함된다는 사실을 배웠죠.

 

복습끝입니다

 

 

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초등학교 때부터 분수와 소수를 배우고, 그 덧셈뺄셈곱셈나눗셈, 즉 사칙연산 하는 방법을 배웠습니다.

 

예를 들면, 소수끼리 더할때는 자릿수를 맞춰서 더하면 되고

소수끼리 곱하면 그냥 곱한다음에 소숫점을 맞춰서 찍어주면 되었죠

 

분수끼리 더할때는 분수란 것은 무언가를 얼마로 나눈것을 뜻하니까

분모를 갖게 통분해줘서 더할 수 있었구

 

분자와 분모를 약분하고 등등등 여러가지 이야기들을 배우셨을겁니다.

저는 지금 다 늙어서 잘 기억이 나지 않지만 소수를 분수로 바꾸는 방법은 이미 알고들 계시지 않나요?

 

0.034를 소수로바꿔봅시다.

 

 

참 쉽죠? 0.034란 말그대로 34를 천으로 나눠준것입니다.

처음에 34로 시작해서 소숫점을 몇칸 움직여야 0.034가 되나 보시면 알 수 있어요

 

그럼 분수를 소수로 바꾸는 방법도 배우셨겠죠?

 

 

 

바꿔보십시다.

 

0.7

 

너무쉽군요?

 

다음 문제입니다

 

 

 

 

소수로 바꾸면?

 

 

 

 

 

ㅠㅠ... 으앙 모르겠죠?

정상입니다. 아래로 더 내려오세요

 

 

 

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유리수란 정수분의 정수란걸 알고 계시죠?

분수도 유리수 중 하나였구요

 

그렇다면 여기서 분수는 나눗셈이다.

라고 이야기해도 이의 없으십니까?

 

중학교 1학년때 말했듯이

덧셈의 반대는 뺄셈이고

곱셈의 반대는 나눗셈이었잖아요?

 

실제로 덧셈의 정의를 그 수만큼 더하는 것

뺄셈의 정의를 그 수만큼 빼는것(을 덧셈의 역과정이라고 하고,)

곱셈의 정의를 그 횟수만큼 더하는 것 (2x3 = 2+2+2죠.)

나눗셈의 정의를 그 횟수만큼 빼는 것 (2/3 = 2에 3이 몇번들어가니?)

 

서로 역과정이란 사실을 알 수 있습니다. 

 

아무튼 그러니까 저 위의 칠분의 삼도

결국엔 삼을 칠로 나누란 소리와 같습니다.

 

즉, 칠분의 삼은 삼을 칠로나눈 몫이라는 사실이죠.

그럼 직접 나눠본다면 몫을 소수단위로 구할 수 있지 않을까요?

 

 

 

직접 해보십시다.

3을 쓰고, 나눗셈기호를 그리고, 7을 옆에 쓰고

3에 못들어가니까 0을 쓰고 30이라고 바꾸고,, ,등등등

혹은 계산기를 뚜들기면 값이 나올지도 모르겠군요

 

그럼 값이 얼마가 나오는지 아세요?

 

 

 

혹시 초등학교떄부터 심심할때 나눗셈을 해본 사람들이라면

요런꼴로 나오게 된다는 걸 쉽게 아실 수도 있을거에요

보시다시피 소수가 끝없이 이어지게되죠?

 

이렇게 끝이 없이 쭉 쓰여져나가는 소수를 무한소수

0.3, 0.5, 2.34 와 같이 우리가 평상시에 쉽게 보던 소수를 유한소수라고 합니다.

 

유한집합, 무한집합을 떠올리면 쉽겠죠?

 

네 그래요.

 

 

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분모를 보면 유한소수로 나타낼 수 있는지 알 수 있다

 

라고 디딤돌 교과서에 큼지막하게 적혀있는데

저것이 바로 이번 시간의 중요한 이야기 중 하나입니다.

 

그걸 하기 위해서 자릿수 개념을 살펴봅시다.

우리는 현재 십진법을 사용해서 숫자를 나타냅니다.

 

1부터 세나가면서 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 이런식으로 세나가다가

하나의 자릿수가 10이되면 다음자릿수에 1을 올려주게 되죠

무슨 소린지 아시죠?

 

덧셈할때도 10이 넘어가면 1을 위에 써주고 그것까지 같이 계산하잖아요.

 

네 바로 그거와 같이 우리는 십진법을 사용하고 잇습니다.

십진법이 뭔소리냐하면, 자릿수가 1커질때마다 크기는 10배씩 커진다는 소리입니다.

그렇죠?

반대로 말하면, 자릿수가 1씩 작아질때마다 크기는 10배씩 줄어든다는 소리지요.

 

그럼 이제 소수가 뭔지 슬슬 감이 오시나요?

 

0.0054 와 같은 소수는

 

실제의 54를 10000으로 나눈것과도 같습니다.

자릿수가 그만큼 줄어들었기 때문이죠.

그렇죠?

 

즉, 다시말하면 우리가 볼 수 있는 유한 소수는

모두 10의 친척들로 나누어서 만들어진 수라는 뜻이죠

그렇죠?

10의 친척들, 그러니까 10을 여러번 곱해서 만들어진 수가 아니면

다른 것으로 나누었다고 하면 유한소수가 될 수 없죠. 무한소수가 된다는 뜻이죠.

 

그렇기 때문에 분모를 보면 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

분모에 10의 친척들이 들어오면 유한소수, 아니면 무한소수가 되죠.

 

그런데, 1학년때 소인수 분해라는 것을 배웠습니다.

소수인 인수(여기서의 소수는 그 소수가 아니죠?)의 곱으로 나누는 것을 소인수분해라고 합니다.

소인수분해 뭔지 다들 아시리라 믿고 넘어갑니다.

 

10의 친척들을 소인수 분해하면 어떻게 될까요?

 

 

요렇게, 10 자체가 2와 5의 곱이므로

10을 아무리 곱해봤자 2와 5를 여러번 곱하는 것과 똑같아집니다.

그렇기 때문에 10의 친척들, 즉 10의 거듭제곱꼴 역시 소인수로 2와 5만을 갖습니다.

 

그렇다면 다음 소수를 분수로 바꿔보도록 해요.

 

 

 

이걸 보면 알 수 있듯이, 분모에 어차피 2와 5밖에 없으므로

약분을 해도 역시 2와 5만 남아있을수밖에 없어요

그렇죠?

 

그리고 반대로 분모에 2와 5가있으면 언제든지 분모를 10의 거듭제곱꼴로 바꿀수있어요

위의 20분의 7에서 분모분자에 각각 5를 곱해주면 다시 100으로 바꿔서 소수로 나타낼 수 있잖아요?

 

그래서 다음과 같은 말이 성립합니다.

 

정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2또는 5뿐이면 이 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.

 

왜냐면, 유한소수가 되기 위해선 분모가 10의 거듭제곱꼴이어야 하는데,

10의 거듭제곱꼴은 소인수분해를 하면 2와 5의 거듭제곱꼴이 된다.

그렇기 때문에 분모의 소인수가 2또는 5뿐이면 원하는 만큼 2와 5를 적절히 곱해서 10의 친척들로 바꿀 수 있다.

 

란 뜻입니다.

 

그런데 만약에 분모에 3이 들어있다. 약분을 모조리 했음에도 불구하고 분모에 3이 들어있다는 것은

무슨 수를 써도 분모를 10의 친척들로 못바꾼단 말과 같습니다.

그럼 유한소수로 나타낼 수 없죠

그렇다면? 무한소수가 되겠네요. 저런!

 

그렇습니다.

오늘의 강의는 ?

 

여기서 끝입니다.

첫시간이라 간단하죠?