근삿값 - 근삿값의 표현

근삿값 시간이 돌아왔습니다

듣고 시작하시죠

<홍서범 - 김삿갓>

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이번 시간에는 근삿값을 표현하는 방법을 배워보도록 하겠습니다.

근삿값이 뭐고 참값이뭔지는 이전 강좌에서 소개하고 있으니 살펴보시기 바랍니다

근삿값 - 근삿값과 오차 바로가기

그럼 준비되셨나요?

그럼 유효숫자부터 시작하겠습니다.

뭐라구요?

유효숫자요?

네 유효숫자요

유효숫자는 무슨 귀신 씨나락까먹는소리랍디까

숫자면 숫자지 뭐가 유효숫자냐구요?

근삿값이 뭐였죠?

참값과 가까운 값, 참값에 비슷하게 반올림한 값 

이 근삿값이었죠

그래서 오차가 생겼습니다.

그렇지만 근삿값은 참값에 최대한 가까이 하도록 반올림한것이었기 때문에

근삿값을 알면 참값은 정확히 모르더라도 참값의 범위는 알 수 있었죠

그런 오차의 최대값을 오차의 한계라고 했었습니다.

기억나시죠?

다시 말하면, 근삿값은 반올림해서 만든값이라 정확하지는 않지만

'대충은 비슷하다.'

예를들어 169.72351cm라는 키를 재어서 169.7cm라고 했다면

대충 169cm 근처라는 사실은 확실히 믿을만하죠

그렇죠?

그렇게 확실히 믿을만한 자릿수의 숫자들을 '유효숫자'라고 합니다.

그런 유효숫자를 다음과 같이 정의한답니다.

반올림을 하여 얻은 근삿값에서 반올림하지 않는 자리의 숫자를 유효숫자라고 한다.

95.35를 소수첫재짜리에서 반올림하면 95 입니다. 첫재짜리에서부터 반올림했으므로 소수가 아닌 그 이상의, 일의자리숫자부터는 유효숫자가 되어서

근삿값 95의 유효숫자는 9와 5입니다.

에베레스트 산의 높이가 최소단위 100m짜리 자로 재었더니 8800m였다면

100m가 최소단위이므로 그 아래의 50m 단위에서 반올림했을겁니다.

그렇기 때문에 유효숫자는 백의 자리의 숫자이구요

그래서 유효숫자는 8,8이 됩니다.

요렇게, 유효숫자를 구하기 위해선

최소단위 혹은 어디서 반올림했는지를 알아야합니다. 그렇기 때문에 유효숫자를 구하라고 할때는 항상 최소단위나 어느 자리에서 반올림했는지를 알려줍니다.

그냥 근삿값 327이라고 하면

당연히 소수첫째자리에서 반올림했을꺼니까 유효숫자는 3,2,7이란 사실을 알 수 있겠쬬

그렇지만 뒤에 0이 붙은 숫자들은 최소단위가 뭔지 잘 알수가 없어요

47500 과 같은 수는

최소단위가 10인지 1인지 100인지 어디에서 반올림했을지 알 수 없기때문에

이럴떄는 직접 써줘야됩니다.

47500 [최소단위 100] 요런식으로요

예 그렇습니다

그래서 유효숫자들은 반올림하지 않은 자리의 숫자들, 즉 반올림한 자리 그 윗자리 숫자들을 유효숫자라고 정의합니다.

왜 정의냐고 큼지막하게 써줬냐구요?

이걸보세요 645를 일의자리에서 반올림하면

650이 됩니다.

그럼 유효숫자는 6과 5이죠.

그런데 실제 참값은 645에요. 엥?

유효숫자는 분명히 믿을만한 숫자라고 했는데

실제값은 '유효숫자인 5'가 아니고 '4'래네요.

엥?

어차피 맨마지막자리에서 반올림했다는 사실을 모두가 알고있으므로

6과 5라고 하면 근삿값 650에 대한 참값의 범위는

645 ≤ (참값)＜ 650 으로 쉽게 알수 있어요

그렇기 때문에 원래는 4지만 5로 되더라도, 그것은 믿을만하다. 라고 이야기하고

그래서 그것까지 유효숫자라고 합니다.

아시겠죠?

그럼 반대로 유효숫자를 알면 어디에서 반올림했는지도 알수 있겠네요

십의 자리까지 유효숫자라면, 일의 자리에서 반올림한거겠쬬?

네 맞아요!

바로그거에요

참쉽죠?

그렇습니다.

그럼 원래의 이야기로 돌아가볼까요?

뒤에 0이 붙은 녀석들은 어디서 반올림했는지 알 수 없으니까

어디서 반올림했는지 항상 써줘야 한다고 했었쬬?

65000 [10의 자리에서 반올림]

과 같이요

그럼 유효숫자는 6, 5, 0이되겠죠?

0도 유효숫자가 될 수 있다는 사실. 한번 알아두도록 합시다.

그런데 이렇게 쓰기에는 매우번거롭습니다.

그래서 근삿값을 나타낼 때, 유효숫자를 분명히 알 수 있도록 표현해야 할 필요가 생기기도 하죠.

그냥 6500이라고만 하면 어디서반올림했는지, 다시 말하면 어디까지가 유효숫자인지 알 수 없으니까요.

그래서 유효숫자를 사용해서 근삿값을 나타낸답니다.

어떻게 나타내냐구요?

유효숫자를 몽땅 모아서 일의자리까지만 있는 소수로 만든답니다.

예를들어볼까요?

57200

유효숫자 : 5, 7, 2 

이런 유효숫자를 소수로 만듭니다. 5.72 가 되겠죠?

이 유효숫자에 10의 친척들을 곱해서 다시 원래의 근삿값과 같은 크기로 나타냅니다.

다시말하면, 5.72에 얼마를 곱해야 오만칠천이백이 되냐는거에요

만을 곱해야겠죠?

5.72 x 10000 

요런 식으로 나타낸답니다.

그럼 앞의 소수가 나타내는 것은 유효숫자를 뜻하고,

뒤의 십의 친척들은 어느 자리 숫자인지를 알려줍니다.

이를 교과서적으로 정리하면 이래요

일반적으로, 근삿값의 유효숫자는 유효숫자들로 된 부분을 정수 부분이 한 자리인 수 a (1≤a<10)를 써서

인 꼴로 나타낸다.

부연 설명을 하자면, n이란 것은 수학에서 임의의 숫자라는 의미로 자주 씁니다.

임의의 숫자가 뭐냐구요? 그냥 상황에 맞게 그때그때 알맞게 적어주면 된다는 소립니다.

임의의는 자기맘대로라고 해석하면 되겠습니다.

거듭제곱꼴에서 숫자위의 쓰는것을 지수라고 하죠? 지수가 n인데 지수는 항상 양수가 되야되니까 양의 정수라고 써줬습니다.

그리고 아까 말했듯이 유효숫자는 일의 자리수에서 시작되는 소수로 써야되니까 1≤a<10 이라는 조건을 써줬네요.

그렇습니다.

이것이 바로 근삿값의 표현입니다.

유효숫자와 어떤 자리수인지를 알려주는 표현이되겠죠.

해볼까요?

0.05470 

이것의 유효숫자는 뭘까요?

5,4,7,0 입니다. 맨뒤의 0이 포함이죠.

왜냐구요? 소수에서는 뒤에 0을 표현할 필요가 없는데 굳이 표현했다는 것은

저기까지가 정확한 숫자라고 일부러 써준겁니다.

다시말하면, 유효숫자니까 0을 일부러 써준겁니다.

그래서 뒤의 5,4,7,0이 유효숫자이구요

앞의 0.0 은 그냥 자릿수를 나타내주는거지 의미를 갖고 있는 숫자가 아니기 때문에 유효숫자라고 하지 않습니다.

그럼 곱꼴로 바꾸어보면

요렇게 나타낼 수 있겠네요.

WOW! 참쉽죠?

그럼 여기서 오차의 한계는요? 

어디서 반올림한거죠?

소수 여섯번째자리에서 반올림했으니까

소수 다섯번째 자리가 단위가 되겠고, 오차의 한계는 그거의 (0.0001의) 절반인 0.00005가 되겠네요.

WOW!

덧셈과 뺄셈까지 하려고했는데

다 하면 머리아프니까 다음시간에 하기로 해요 와후

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