식의 계산 - 지수법칙

한 번 배운 것으로 10년을 사골까지 우려먹는 지수법칙입니다.

앞의 식의 계산은 기본적인 master가 되어야 하구요

지수법칙은 master와 함께 "지수법칙이 뭐야?" 하면 "응, 이런거야." 라고 얘기할 정도가 되면은

'고등학교가서까지 성공할 수 있습니다.'

그렇다고 어렵냐?

그건아니죠

우리가 여러번 봐왔던 거듭제곱 이야기일 뿐입니다.

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거듭제곱이 뭐였나요?

같은 것을 여러 번 더한 것을 그 수만큼 곱했다고 나타내듯이

같은 것을 여러 번 곱한 것을 그 수만큼 제곱했다고 나타낸다는 것이

거듭제곱입니다.

그렇죠?

예를들어

a⁴= a*a*a*a 와 같죠.

네 그렇습니다.

그럼 다음 계산을 해볼까요?

저런, 어떻게 될까요?

각각이 뭔지를 생각해주시면 됩니다.

a의 네제곱은 a를 네번곱한것

a의 다섯제곱은 a를 다섯번곱한것

그렇다면 a의 네제곱에 a의 다섯제곱을 곱하면

와 같이 될꺼구요

다 곱셈이니까 어차피 괄호가 필요없죠?[는 곱셈에 대한 결합법칙이죠]

그럼 결국 a를 아홉번곱한것과 같겠군요?

아! 이렇게 되겠군요.

그럼 벌써 하나 배웠습니다.

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지수법칙 첫번째, 곱할 때는 지수끼리 더한다.

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m,n 이 왜 자연수여야 하는지는 아시겠죠?

예를들면 0번곱한다, 3분의 1번곱한다 와같은 이야기들은 없으니까요

[그치만 사실은 고등학교들어가면 저런것을 새롭게 '정의'내려서 생각합니다. 그걸 위해서 지금 열심히 하라는거죠]

그냥 단순히 "곱할떄는 지수끼리 더한다." "곱할떄는 지수끼리 더한다." "곱할떄는 지수끼리 더한다." 라고 외우는 것이 아니라

곱할때는 어차피 각각 그만큼씩 곱한것을 서로 또 곱한다는 소리니까

결국 다 곱하면 둘을 합친만큼 곱해주어야 한다

그러므로 지수끼리 더한다

와 같이 그 이유를 설명하는 바른 학생이 됩시다.

곱했으면

이제 나눠도 봐야죠?

좀 머리 굴리기 좋아하는 학생이면 답을 벌써 다 알겁니다.

어떻게 풀까요? 그럼

해봅시다

요렇게 바꿀 수 있구요

같은 a가 엄청나게 많으니까 약분해줄 수 있겠죠?

네 바로 그거에요

오호 그렇습니다.

그럼 음.. 반대로 나눠지는거의 차수가 더 높으면 어떻게 될까요?

똑같은 방법대로 하면 되겠죠.

나누랬으니까 나누면 되는거아니에요?

이렇게 되겠군요. 음음

그냥 하란대로 해보시면 됩니다.

뭐 눈여겨볼것은 나눠지는것의 차수가 더 많으면

그 차이만큼 분모에 a가 남게되니까

a³ 의 ³은 5-2 라는 사실정도?

그렇습니다

그럼 마지막으로 해보죠

장난치냐구요?

나눗셈의 뜻이 뭡니까

바로

나누어지는수에 나누는수가 몇번 들어가냐?

나누어지는수는 나누는수로 몇묶음 나눌 수 있냐?

나누어지는수는 나누는수의 몇배냐?

나누어지는수는 나누는수를 몇번 더해서 만들 수 있냐?

나누어지는수에 나누는수를 몇번 빼면 0이되냐?

와 같습니다.

그니까 같은수를 같은수로 나누면 1이죠 그냥

생각할 필요도없습니다

65535번 곱한것을 65535번 나눈것과 같죠.

그리고 아까처럼 분수로 생각해도

'어차피 약분이 똑같이 될테니 1이되겠죠?

그럼 나눗셈은

3가지 형태로 나누어서 배워봤습니다.

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지수법칙 두번째, 나눌때는 세가지로 나누어서 생각한다.

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꽤 복잡하죠?

이 복잡함이 싫어서 이것저것 새롭게 정의내리면

사실은 나눌떄는 "지수끼리 뺸다"하나로 만들 수 있어요

언제요? 고2때요ㅎㅎ

'그렇게 하고싶으면 고2가 되어라.'

3년이나 남았네요

지금은요? 그냥 나누라는대로 나눠야죠 뭐

지수법칙 중 알짜는 이거 두개고

나머지 두개도 배워봅시다

그렇다고 안중요한것은 아닙니다.

초특급중요해요

요건?

거듭제곱의 의미를 생각해보자면

a를 3번곱한것 전체를 2번곱하란 뜻이군요

음

좀 감이오시나요?

하나 더해볼까요?

생각해보세요

이제 감이 슬슬 오실까요?

다음꺼는요?

생각해보세요

오호?

다섯번씩 곱한걸 네번곱하는 거니까

지수법칙 첫번째에 의해서

5씩 4번 더하게 되겠네요

그럼? 5x4가 되겠군요

그렇다면 맨처음

요것만 보고도 계산을 곧바로 할 수 있지 않을까요?

그러한 과정을 안다면, 바로바로 써줘도 문제는 없겠죠.

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지수법칙 세번째, 괄호의 제곱은 안팎으로 곱한다.

안팎으로 곱한다고? 순서를 거꾸로해서 밖안으로 곱해도 값은 같겠군.

역시 m과 n이 자연수일때

보너스) 밖과 안의 지수를 바꿔도 값은 같다. 즉, 두 개의 자리를 바꿔도 값은 같다.

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그렇군요!

마지막입니다 이번에는

이건 또뭐래요?

a와 b를 곱한걸 4번곱하랍니다.

해보죠

아이고 복잡해라

abababab가 답이네요.

좀 정리할 수는 없을까요?

abababab의 뜻을 그대로 읽어봅시다

a에 b를 곱하고 거기에 a를 곱하고 거기에 b를 곱하고 거기에 a를 곱하고 거기에 b를 곱하고 헥헥

이 때 번뜩이는 것이 있습니다.

곱셈은 자리바꿔도 성립한다. 즉, 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다!

라는 생각이 들고

조금 팔힘이 남아돈다면 이렇게 표현할 수 있을거에요

뭔뻘짓을 한거냐구요?

말그대로 ba를 ab로 바꿔서 a끼리 몰아넣고 b끼리 몰아넣었어요

이짓을 왜했냐구요?

그냥 '곱셈에 대한 교환법칙때문에 요렇게 된다'란 걸 보여주고싶어서요

어차피 다 알죠?

결국엔 a를 네번곱하고, b를 네번곱하는거니까

저렇게 되죠

네네 뻘짓을좀 해봤슴다 ㅎㅎ

그럼 (ab)의 네제곱이 어떻게 되는지 아시겠죠?

오호!

이것도 지수법칙이 될수 있을거같군요

근데 잠깐

분수도 한번 해볼까요?

분수를 세번 곱해라!

이게 원래 뜻입니다

그럼 해보자구요

아까와 왠지 똑같을성싶네요근데

오호

분모 분자는 결국에 각각 곱하는거니까

분수를 제곱하면 분수를 여러번 곱하는거고,

그럼 분모분자를 각각 여러번 곱하게 되니

결국엔 저렇게 되겠군요,.

복잡한 괄호를 제곱하는 방법들이었습니다.

괄호안에 하나가아니라 여러개가 와있을때였쬬

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지수법칙 네번째, 괄호의 제곱은 각각 제곱과 같다.

그렇군요.

더있냐구요?

없어요

지수법칙은 이게 끝입니다!

끝!!!!!!!!!! 야호

지수법칙은 세가지가 중요합니다.

1. 왜 그렇게 되는지 이유를 아는것 [진짜 말그대로 곱해보면서 깨달은것이죠]

2. 법칙에 따라 계산을 잘 할 수 있는것 [은 여러번 해보면 됩니다. 교과서나 문제집있지요?]

3. 고등학교떄까지 이유도 잊지말고, 법칙도 잊지 않기 [여러번 하다보면 이유를 까먹는데 그럼 안돼용]

호호.

지수법칙 첫번째부터 네번째까지 뭐가있는지

굵은글씨로 크게했던거 말로 해볼까요?

하나 둘 셋!

지수법칙 첫번째는 뭐였죠?

왜그랬죠?

지수법칙 두번째는 뭐였죠?

어떤 식으로 나눴었죠?

그때마다 어떻게 해야했죠?

그건 왜그랬죠?

지수법칙 세번째는 뭐였죠?

왜그랬죠?

보너스! 보너스는 뭐였죠?

지수법칙 네번째는 뭐였죠?

각각 뭐라구요?

[몇번째인지가 중요한 것은 아니에요. 뭔 내용인지, 뭔 이유인지 알고 내가 잘 쓸수 있어야합니다.]

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지수법칙 첫번째, 곱할 때는 지수끼리 더한다.

지수법칙 두번째, 나눌때는 세가지로 나누어서 생각한다.

뭐 어떤 식으로 나눴었죠?

지수법칙 세번째, 괄호의 제곱은 안팎으로 곱한다.

보너스 ) 밖과 안의 지수를 바꿔도 값은 같다. 두 개의 자리를 바꿔도 값은 같다.

지수법칙 네번째, 괄호의 제곱은 각각 제곱과 같다.

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그럼 안녕!

--1월 21일 추가분--

한가지 알아둘만한 사실이 있습니다.

음수의 제곱이죠!

-1이 제일 간단한 음수니까 한번해볼까요?

-1을 1번, 2번, 3번, 4번, 5번 곱해봅시다.

여러분,

중학교 1학년때

마이너스와 마이너스가 만나면 플러스가 된다는 걸 배우셨죠?

그 말이 바로 (-1)x(-1) = +1 이소리입니다.

거기에 -1을 또 곱하면 다시 마이너스가되고

거기에 또곱하면 다시 플러스가 되죠

이뜻은 결국

"음수를 홀수번 제곱하면 음수, 음수를 짝수번 제곱하면 양수"

가 된다 라는 사실로 생각할 수 있습니다.

그렇죠?

(-2)의 제곱, 세제곱, 네제곱은 각각

4, -8, 16

이렇게됩니다

그렇죠?

끝!