지수법칙을 공부하신 여러분 축하드립니다.
오늘은 식의 이용 - 문자식의 이용시간이에요. 즐겁게 시작해봅시다.
"문자를 사용하여 식으로 나타내면 편리하다"
초등학교 때의 기억을 떠올려봅시다.
8단원 '문제 푸는 방법' 이었나요?
학기 별로 항상 마지막 단원은 문제를 푸는 방법에 대해 익혀야 했던 걸로 기억합니다.
수학익힘책의 수학 문제들을 열심히 풀었었죠.
뭐 둘레에 나무를 몇개 심느니
달력이 찢어졌느니
물을 엎질렀느니
누가 누구보다 먼저 출발해서 언제 만나느니 하는 문제들이었죠
그 때를 생각해보면 항상
구하고자 하는 것을 '네모'로 놓고 문제를 풀지 않았나요?
그렇죠. 그래서 식을 풀어서 네모의 값을 구하면
와 답나왔다하고 좋아하고는 했었죠.
벌서 중학교 2학년생이니
이제 네모를 다른 문자로 바꿔서 표현하는 법도 조금씩 익숙해지셨을 겁니다. 그렇지요?
x, y, z이니
a, b, c이니
m, n 이니
등등 알파뱃이란 알파뱃은 몽땅
[나중에는 그리스어도 몽땅 쓴답니다]
모르는 미지수,
혹은 어떤 특정한 의미를 갖는 숫자에다가 이름을 붙여서 문자로 표현했었죠.
그렇죠?
그럼 오늘 수업은 끝입니다.
내용이 이게 끝이랍니다.
'문제를 풀 때는 구하고자 하고 싶은 것에 대한 식을 세우면 방정식을 푸는 등등의 방법을 이용하면 문제를 풀 수 있다.
이 식을 세울 때는 문자를 사용하여 식으로 나타내면 편리하다.'
끝이에요.
다만 중학교2학년이 되어서 추가되는 내용은
'무조건 구하고 싶은 것을 x로 놓는 것 뿐만 아니라
그에 관련된 것도 우리가 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다! 라는 겁니다.'
뭔소리냐구요?
예제를 보시죠.
변함없이 글씨는 형편 없습니다. 사실은 글씨를 아주 잘 씁니다.
왜이렇게 형편없냐면, 어차피 내가 보는 교과서, 글씨를 잘쓰고 못쓰는것이 중요한것이 아니라
내용을 이해하는 것이 더 중요한 것임을 이때부터 알았기 때문이지요 ㅎㅎ
아무튼, 탐구활동을 보자면
저 부분이 포인트입니다.
고리의 가장 바깥쪽의 둘레의 길이는 가장 안쪽의 둘레의 길이보다 몇 m가 더 길까?
-> 이 부분에서 문제를 인식해야합니다. 어떤 것을 물어보는 것이고 어떤 방향으로 나아갈 수 있을지 생각해보는 겁니다.
우리는 둘레의 길이를 구하는 법을 이미 알고 있습니다.
원모양의 둘레라면, 원의 둘레를 구하는 법을 이미 알고 있지요.
전체 지름에 원주율(파이)을 곱하면 원의 둘레가 곧장 나온다는 것을 알고 있지요.
방법을 알았으니 그렇다면 1m를 늘렸을때와 늘리기전의 둘레의 길이는 어떻게 차이가 날지 생각해봐야 할 듯 합니다.
그리고 다음부분이 중요합니다.
1. 고리의 가장 안쪽의 반지름의 길이를 
이렇게, 어떤 특정한 것을 우리가 이름을 부여해주는 것이 굉장히 중요합니다.
수학 문제를 푸는 데 가장 기본이 되지요.
문제풀이에 필요한 단서가 x, y, 같이 이미 문자로 주어져있다면 그대로 쓰면 되지만
주어져있지 않다면 '우리가 이름을 붙여줄 수 있다'라는 사실을 기억해두셔야 합니다.
이게 오늘의 포인트가 됩니다.
반지름의 길이를 보통 r이라고 하니까 r이라고 했지만 a로하든 b로 하든 여러분 마음대로지요.
그냥 한글로 '처음의 반지름의 길이'라고 해도 무방합니다. 다만 귀찮을 뿐이지요.
어찌됐건 저찌됐건 처음의 반지름의 길이를 r이라는 문자로 '지정'한다면,
그에 따라서 늘린 반지름의 길이를 (r+1)이라고 할 수 있을테니
문제를 풀 수 있게 되지요.
이것은 말로 표현했지만
여러번 문제들을 풀다 보면, (어떤 문제건 상관없지요) 어떤 문제든지 풀다보면
저절로 감으로 다가오는 그런 내용들입니다.
그치만 한번은 봐두는 것이 좋지요.
이렇게 지정하고, 차근차근 생각하고
주어진 내용이 무엇인가 분석하고
단계별로 방법을 정해 하는 것
이것이 사실상 수학을 공부하는데 있어서 배울 수 있는 가장 큰것이 아닐까 싶어요
이런 이야기들은 다음에 한번더 할 시간이 있을것 같습니다.
아무튼 중요한건 '문자를 사용하여 식으로 나타내면 편리하다. 에서 끝이 아니라 문자를 사용하면 길이 보인다.'
이게 포인트지요.
이게 뭘것 같습니까?
방금까지 이야기한 문자로 나타내기의 바로 다음장입니다
그런데 내용들이 매우 뜬금없습니다.
취지는 좋은데, 가르쳐준것은 꼴랑 '문자로 나타내면 좋다'면서 이런걸 하라고 하다니요!
정말 못된 디딤돌 놈들이 아닐 수 없습니다.
그렇지만 여러분들은 저와 함게하니 해보십시다.
차근차근 쉽게 갑시다. 배우기만 하면 워낙 쉬워요.
수학에서 의미있는 이야기들을 문자로 표현하기.
숫자들 중에서도, 어떤 특징을 가지고 있는 아이들은 따로 이름붙일 수 있습니다.
예를들면 자연수, 정수, 유리수 이런 수 체계에서부터
짝수, 홀수와 같은 것들,
3의 배수, 4의 배수 이런 것들로 따로 분류할 수 있죠.
그렇다면 이것들을 한글로 '짝수', '홀수'라고 하지 말고
이것들을 수학적으로 어떻게 나타낼 수 있을지 생각해보는 것입니다.
왜 수학적으로 나타내냐구요?
'토성의 원 모양 고리의 반지름에서 1m를 늘린 새로운 고리의 둘레'라고 하면 문제를 풀 수 없지만
'2π(r+1)' 이라고 하면 문제를 풀 수 있듯이
수학적으로 제대로 정의, 수학 계산을 할 수 있게끔 하기 위해서
한글이 아니라 숫자와 문자를 사용해서 나타낸다는 소립니다.
뭔소린지 잘 모르시겠죠?
그냥 우선 배워봅시다.
배수와 약수 이야기
배수와 약수 이야기는 초등학교떄부터 해왔죠?
중학교 1학년때도 최소공배수와 최대공약수를 했었던 기억이나네요.
그거 두개를 구할때는
두개 써놓고 ㄴ자를 그려라.
그다음에 제일 작은 소인수로 나눠라
했던 기억이 나네요.
뭐 제가 알려드린 방법이 혹시나 궁금하시다면 보고 오시면 되겠습니다.
중학수학 7-가 : 2. 자연수의 성질 - 2) 최대공약수와 최소공배수 바로가기
아무튼 그게 중요한 것은 아니고,배수와 약수가 수학적으로 뭔소린지 이제 생각해보자는 겁니다.
중학교 2학년이 되었으니까요
그리고 수학적으로 어떻게 나타낼 수 있을지도 생각해봅시다.
3의 배수란 무엇입니까?
라고 물어본다면 여러분들은 질문을 듣고 가만히 있다가 연필을 꺼내서 이렇게 쓸거에요.
'3, 6, 9, 12, 15, 18, 21' 요런것들이요
그렇죠. 틀린말은 아니군요.
'배수'란 말그대로 3을 몇배해서 만든 수들을 3의 배수라고 하지요.
그렇다면 3의 ⅓배를 한 
뭔가 좀 꺼려지는군요..
예 그렇습니다.
정의에 따르면, 배수란 몇배해서 만든 수이긴 하되, 그 몇배하는 값이 (정수)배가 되어야 배수라고 합니다.
어떤수를 정수배한것이 어떤수의 배수죠.
이런식으로 3의 1배, 2배, 3배, 4배 한것들은 배수가 될 수 있지요.
그런데 (정수)배라고 했으니
0을 곱하거나 음의 정수를 곱해도 배수입니다.
호, 그것참 신기하군요
0도 3의배수이고, -3도 3의 배수가 되는군요.
그렇습니다.
그래서 3의 배수중에는 양수인배수, 0, 음수인배수 이렇게 세가지로 나눠지게 됩니다.
그렇죠? 그렇습니다.
그럼 그걸 다 나열해볼까요?
쭈루루루루룩 엄청나게 많은 수가 있겠죠.
이걸 어떻게 다 표현한답디까?
그래서 우리가 '문자로 나타내기'를 배운거랍니다.
배수의 정의란 3의 (정수)배인 수라고 했으니 3 x (정수)이기만 하면 되지요?
이 정수값이 뭐냐에 따라서 그 배수가 뭔지가 결정되겠지요.
이렇게 다 똑같은 모양이면 문자를 사용해서 하나로 나타낼 수 있습니다.
바로 이렇게 말입니다.
이런 식으로 나타낼 수 있습니다.
저번에도 말했지만 이렇게 임의의 수를 나타내는 문자로는 n을 '자주' 씁니다.
임의의란 뜻은 '자기 맘대로'란 뜻입니다.
그러니까 n에다가 어떤 값이든지 대입해줄 수 있따는 거죠
그치만 괄호를 쳐서 (n은 정수)라고 써놨으니 정수인 값들만 대입해줘야 겠지요.
그리고 '임의의'란 말은 생략해줄 수 있습니다.
이렇게만 써줘도 n은 (임의의) 정수이구나.
아무거나 대입할 수 있겠구나. 라고 생각해서 아무거나 대입해보면
모두 3의 배수임을 알 수 있지요.
굳이 n이라고 해서 임의의 수란 것은 아니고, 여러분 맘대로 아무 글자나 쓸수도 있습니다.
예를들어 다음과같이요
삼지창같이 생겼죠?
'프시'라고 하는 그리스 문자입니다.
여러분이 마음대로 아무거나해줘도 저렇게 (프시는 정수)라고 써주면
프시는 임의의 정수가 될 수 있겠군! 이라고 생각하고 3의 배수임을 아시면 됩니다.
일반적으로 '아무 이야기가 없으면' 문자는 임의의 숫자가 될 수 있다고 생각하시면 되요.
다음과같죠
문자 h가 있죠.
그럼 이 h는 실제로 어떤 숫자값을 가집니까?
아무도 모릅니다. 왜냐면 아무말도 없거든요.
그렇기 때문에 반대로 생각하면 h는 어떤 값도 될 수 있다. 라고 생각할 수 있고
이것이 바로 h는 '임의의'값을 가진다. 라고 생각할 수 있어요
으악 너무 어려워요?
그냥 그런가보다 하세요 그럼
'시험 문제에는 안나오니까요'
(시험이 중요한 건 아니지만요)
포인트는 한번씩 봐두는게 좋다. 입니다
아무튼, 3의 정수배를 한것이 3의 배수인데
그것들을 다 나열하기엔 손이 너무나 아프니까
다 똑같이 생겼다는 것을 이용해서 대표적인 것을 문자로 나타내서 써줬습니다.
이렇게 다 비슷비슷한 구조로 나온 것을 대표적인 것으로 두는 것을 '일반화'했다고 합니다.
일상생활에서도 일반화란 말을 쓰지요?
예를들어 친구 대섭이가 첫째 주 월요일도 아이스크림을 먹고 둘째 주 월요일도 아이스크림을 먹고 셋째 주 월요일도 아이스크림을 먹었다면
다음 주 월요일에도 아이스크림을 먹을 것이라고 짐작할 수 있지요.
그런 것을 바로 일반화라고 합니다.
또 해볼까요?
영미도 아침에 일어나서 세수를하고
주원이도 아침에 일어나서 세수를하고
지창이도 아침에 일어나서 세수를한다면
사람은 아침에 일어나서 세수를 한다고 일반화 시킬수 있지요.
바로 그런겁니다.
3의 1배, 3의 2배, 3의 3배, 3의 4배 이렇게 다 쓰기 귀찮으니까
3의 n배 (n은 정수)라고 써주면 땡입니다.
그거에요!
바로그겁니다!
그럼 배수에 대해서 알맞추 공부했습니다.
이제 약수를 해볼까요?
약수는 근데 좀 더 있다가 하도록 합시다
아직 할이야기가 좀 더 남아있거든요.
'나머지가 있는 숫자들도 일반화할 수 있다'
3의 배수가
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 이라면
이 3의 배수들은 3으로 나누었을때 어떻게 될까요?
당연히 나누어떨어지겠지요.
그렇다면 3으로 나눠서 나머지가 1씩 남는수들은 뭐라고 할 수 있을까요?
3으로 나누었을때 1남는 수니까, 결국에는 3의 배수보다 1큰수라고 말하면 되지 않을까요?
네 맞습니다
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 이런 수들이 나머지가 1인 숫자들입니다.
와우!
그럼 3n 이 3의 배수니까
3의 배수보다 1큰수는 3n+1 (n은 정수) 가 될수있을까요?
되지요 되고말고요
그럼 정리하면 이렇습니다
3으로 나누어떨어지는 수 (3의 배수) = 3n
3으로 나누어서 나머지가 1인 수 = 3n+1
3으로 나누어서 나머지가 2인 수 = 3n+2
그렇죠?
이렇게 3n에다가 껀덕지가 더 붙어있으면
나누어떨어지지 않는구나
란 사실을 알 수 있습니다.
아주 훌륭해요!
그래서 짝수와 홀수도 이런식으로 나타내기
짝수가 무엇이냐 묻는다면
여러분들은 또
2, 4, 6, 8, 10, 12 이렇게 말하겠죠.
하지만 짝수란 다른 것이 아니라 '2로 나누어떨어지는 수'를 짝수라고 합니다.
저게 정의입니다.
홀수란 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15지만
'2로 나누어떨어지지 않는 수'입니다.
이게 정의지요.
그렇다면 결국에는 '2의 배수'가 짝수가 되는군요.
네 맞습니다.
그럼 짝수는 ? 2n 이겠네요
동의하시죠?
홀수는? 2로 나눴을때 나머지가 있는수, 2로 나눠서 나머지가 있으면 그 나머지는 반드시 1일수밖에 없죠?
그래서 홀수는 2n+1 입니다.
음 그렇군요
호호
고등학교와서도 몇번 볼 것들이니 봐두시길 바랍니다.
'그래서 갤국 디딤돌 교과서에 나온 이야기들을 몽땅 할 수 있겠군요!
차근차근 해봅시다.
두 자리의 자연수가 뭔진 모르겠는데 A이고
그걸 서로 바꾼 수를 B라고 합디다.
그냥 그렇다네요.
그때 다음의 물음에 답하랩니다..
그렇게 원래 두자리수 A와 바꾼수 B의 합이 어떤 수의 배수냡니다.
배수란 어떤 숫자의 (정수)배 한것이 배수이지요?
근데 한글로 이렇게만 나타내면 우린 더이상 할 게없습니다.
그렇다면 방금 배운대로 '문자로 나타내봅시다'
그럼 길이 보입니다.
어떤 숫자의 정수배라고 하면 어떤숫자 x 정수 요런식으로 나타내어지면
배수가 된다는 겁니다.
그렇다면 A+B 가 어떻게 되는지 알아봐야겠지요
그런데 A는 두자리 자연수고
B는 서로 자리를 바꾼 두자리 자연수랩니다.
이것도 역시 이렇게만 쓰면 우린 더이상 할 게 없습니다.
여기서 주어진것을 토대로 식을 세울 수 있어야해요. A와 B가 구체적으로 뭔지 알아보자는겁니다.
두자리 자연수는 '1학년때 10진법배우면서도 했지만' 십의자리와 일의자리로 나뉘어져 있는수죠?
십의자리숫자는 그냥 숫자가아니라 십단위를 나타내주는수죠?
그렇기 때문에
A가 무슨 숫자인지는 모르지만
십의자리숫자를 x, 일의자리 숫자를 y라고 할수 있지요.
여기서 x와 y가 정확히 무슨 숫자냐에 따라서 A의 값이 결정되는 거구요.
십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 하면
A = 10x + y 라고 나타내줄 수 있습니다. 그렇지요?
그럼 B는요?
B = 10y + x 가 되겠지요.
둘이 더하면요? A+B = 11x+11y
오우
그럼 여러분들은 기뻐해야됩니다.
요렇게 바뀌니까요
x와 y가 정수니께루
x+y도 정수가 되는건 당연한 사실이죠?
그럼 11(x+y)는 뭡니까? 11에 정수를 곱했죠?
그럼 11에 정수배한거니까 어쨋든 저쩃든 11의 배수겠군요?
끝났네요!
x와 y값이 아무거나 되도 되니까 (A가 뭔지 정확히 모르니까요)
x+y 도 임의의 정수가 된다는 것을 마지막으로 한번 생각해볼 수 있습니다.
꼭 임의의 정수배가 아니어도 그냥 정수배이기만 하면 배수란 건 햇갈리지 않도록해요.
11 x 3 도 11의 배수니까요.
하나했습니다 에헤라디야
두번재해봅시다
n , n+1, n+2가
정확히 뭔숫자들인지는 모르겠는데 (n값에 따라 다를테니까요)
연속된 세 자연수랩니다.
그렇군요.
그럼 저거 세개를 더해서 3의배수가 됐다?
그림 상으로 보면 n+2에서 하나의 껀덕지를 n으로 줘서 다 n+1로 만들었군요.
그럼 n+1의 3배니까 결국 3의 n+1배이고, 그건 3의 배수라고 얘기했으면 하나봅니다.
우린 근데 제대로 배웠으니까 얘기해봅시다.
n값을 정확히 모르지만 어쨋든 저쩃든 세개를 더해볼 수 있지요.
더하면 어떻게 되지요?
3n+3이됩니다.
이는 역시 묶어서 3 x 정수 로 바꿀수있습니다. 에헤라디야
3 (n+1) 이되지요.
역시 3의 배수가되겠군요
에헤라디야
[이에 따라서 신기하게 연속된 세 자연수를 더하면 3의 배수가 되네요.
4,5,6 1,2,3 6,7,8, 11,12,13 더해보세요. 진짜됩니다. 놀랍군요.]
자매품으로 연속된 두 자연수를 더하면 2의 배수다 도있습니다.
한번 해보십시요
두번째 도 했습니다. 에헤라디야
배수가 뭔지 알고나니까 그냥 껌이군요.
근데 '배수가 뭔지 안알려줘요'
나쁜 교과서가 아닐수없습니다
뭔지 안알려주고 하래요
맨날 이런식입니다 나쁜 디딤돌
아무튼 세번째도 해봅시다.
마지막입니다
홀수와 짝수의 곱이 짝수가 됨을 설명하여라!
홀수는 엄청많죠? 1,3,5,7,9,11,13,15 심지어는 -1,-3,-5 이런것도 다 홀수입니다.
짝수도 엄청많죠? 2,4,6,8,10,12,14,16 등등등 얘도 역시 -2,-4,-6 이런것도 다 짝수입니다. 심지어는 '0'도 짝수입니다. 나머지가 없으니까요.
이 많은것들을 다 해보지말고,
홀수 대표, 짝수 대표를 정해서 해봐라
란게 디딤돌이 가르쳐주고 싶은 교훈입니다.
대표를 정할때는 역시 2,4,6,8,10,12 이런것들을 모두 포함할 수 있게
문자를 사용해 일반화 시킨 것을 대표로 정한다
이것도 디딤돌이 가르쳐주고 싶은 교훈이지요.
그렇지요?
그럼 역시 문자로 해봅시다
홀수는 뭐였쬬? 2n+1
짝수는 뭐였죠 2n
아! 선생님
그럼 저거 두개 그냥 곱해서 짝수가 되는지 확인해보면 되겠군요
지만 안되용 ㅎㅎ
'왜 안돼요? ㅇㅅㅇ'
'서로 전혀 연관 없는건데 문자가 똑같잖아요'
으악 너무어려워요 무슨소리에요
여러분! 조금만 참고 견딥시다
이걸 알면 전세계 중학생중에서 제일 잘하는 중학생이 됩니다.
왜냐면 딴애들은 이런생각 절대안하거든요
왜냐구요? 아무도 생각해보라고 안했거든요
혼자 가만히 있는데 이런생각하면 약간 미친놈이고
그게 바로 접니다. 그런 놈이 커서 이걸 쓰고있죠
그니까 여러분은 얼마나행복해요ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
아무튼 여러분은 '고등학교 와서도 아무도 가르쳐주지 않지만 고등학교 선생님들은 중학생때 다 배워왔으면 좋겠다고 생각하고 중학교 선생님들은 굳이 가르칠 필요없이 고등학교 가면 배우겠지란 생각을 하는 부분을 배우고있습니다.'
그러니까 힘내봅시다
홀수랑 짝수가 각각
2n+1
2n 꼴로 나타내지는 건 맞는데
여기서 n은 임의의 정수란 뜻으로 쓰이는 문자였죠.
그렇지요?
그래서 정확히 말하면 (n은 정수)라고 항상 써줘야되죠.
그렇군요.
근데 왜 두개를 곱하면 안되냐면
2n+1 과 2n이라고 하면
둘은 그냥 1차이나는 관계가 되지요?
사실 그냥 '홀수 대표', '짝수 대표'는 서로 아무 연관이 없어야되는데
같은 문자를 사용한 바람에 1씩 차이나는 관계가 되어버렸어요
그렇죠?
n은 임의의 숫자가 될 수 있으니까 정수 아무거나 대입해보면 되는데
1, 2, 3, 4, 5, 6, 이런식으로 대입을 아무리 열심히 해봐도
둘은
3,2
5,4
7,6
9,8
이렇게 1차이나는 관계가 되죠.
문제에서 물어보고 싶은건 뭔데요?
1차이나는 홀수와 짝수의 곱이 짝수가 됨을 설명하여라. 인가요?
아니죠?
그냥 아무 홀수나, 아무 짝수를 곱하면 짝수가 된다는걸 나에게 보여줘!라고 하는 말이죠.
바로 그겁니다.
그렇기 때문에
홀수는 2m+1
짝수는 2n 이런식으로 문자를 서로 달리 써줘야되요.
감이 슬슬 오실까요?
이 감이 여러분 두뇌에게 천년만년 주는 재산이 됩니다.
재산을 획득했어요 벌써
호호호
여러분은 이제 세계최고의 중학교 2학년입니다.
곱해봅시다그럼
곱해서 된다라고 나오면 그걸 디딤돌 교과서 편집장앞에 들이밀자구요.
(2m+1)(2n) = 4mn+2n
으앙 이제 어쩌죠?
어쩌긴요, 짝수가 됨을 보이래잖아요
짝수가 뭐죠? 2로 나누어떨어지는수, 즉 2의배수
2의 배수는 어떻게 나타냈죠? 2x(정수)
2로 적절히 묶기만 하면 되겟네요
2(2mn+n) 요렇게 묶을 수 있지 않아요?
인수분해도 모르는 여러분한테 이런거 하라니 너무 가혹하죠?
그래서 나쁜 디딤돌이에요
아무튼 저렇게 묶는 방법은 나중에 배워요 걱정마시고
우선 저렇게 묶을수는 있겠죠?
2mn+n 도 결국 정수겠지요?
m이 정수, n이 정수니까요
그럼 결국 2x(정수) 꼴이죠?
그럼 2의 배수죠?
그럼 2로 나누어떨어지죠?
그럼 짝수죠?
그래서 아무 홀수나 아무 짝수나 곱하면 짝수가 된답니다.
여러분도 이제 증명을 할 수 있게 된거죠
저도 사실 중학교 2학년한테 너무 가혹하다는 생각이듭니다만
너무 어렵다면 한번 읽어만 보세요
이 느낌이 굉장한 재산이되니까요
항상 수고가 많으십니다.
그치만 여러분은 아까 말한대로
세계 최고 중학교 2학년생이 되었네요
그렇군요. 다음시간엔 등식의 변형을 들고 찾아오겠습니다. 화이팅!
p.s. 약수 얘기는 언제하냐구요?
정수 x 정수 = 어떤정수
이면
이렇게 곱해져있는 정수들을 어떤 정수의 약수라고 한답니다
끝!
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