방정식 - 연립 방정식 - 미지수가 2개인 일차방정식

여러분이 참 자랑스럽습니다.

벌써 연립방정식을 공부하고 계시는군요.

아주 아름다운 광경입니다.

 

들어가기에 앞서 한마디 하자면

연립방정식은 하는 방법은 쉽고

왜 그렇게 되는지는 어렵습니다.

 

물론 저는 왜 그렇게 되는지까지 설명할 것이므로

읽어보고 싶으신 분은 읽어보시되

약간 어려울 수 있으므로 굳이 이해해야겠다! 라는 마음가짐보다는

아~ 이렇게되는구나 하는 읽어보는 마음가짐으로 한번 읽어보시기 바랍니다.

이해는 나중에 하셔도 늦지않아요.

적절한 나이는 17살, 고1때라고 생각됩니다.

 

그치만 이 역시도,

중학교때는 너무 어리니까 아직 가르치면 안돼! 이러면서 얼렁뚱땅 넘어가구

고등학교떄는 너희 중학교때 다 배우고 들어왔지? 라고하면서 얼렁뚱땅 넘어가죠

결과적으로는 배우는 기간이 없습니다.

아주 웃기죠.

그럼 시작해봅시다.

 

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중학교 1학년 때 일차방정식을 배우셨을 거에요.

제가 방정식이 뭔지, 일차식이뭔지, 차수는 뭔지, 계수는뭔지 변수는뭔지 상수는뭔지 다 이야기해드렸었죠

혹시 기억이 안나시는 분은 오른쪽 카테고리창을 보시면

뇌통 - 중학수학 7-가 에 보시면 있으니 찾아가서 보고 오시기 바랍니다. 쁑쁑

 

 

이번에는 연립방정식입니다.

연립방정식의 뜻을 한자로 풀이하자면

 

聯立方程式

 

요거랍니다.

왜 뜬금없이 한자냐구요?

무언가의 이름에는 그 물건의 용도나 쓰임새, 특징등이 다 압축되어 있기 마련이랍니다.

 

쉽게 지우개를 보죠.

 

지우개는

(지우-) + (-개) 가 합쳐져서 (지우개)라는 하나의 단어로 만들어진 말입니다.

지우-는 지우다 할때의 그 무언가를 지운다는 뜻을 갖고 있는 실제 부분(을 어려운 말로 용언의 어간이라 합니다.) 지우- 이구요.

-개는 무언가를 할 때 쓰이는 도구라는 뜻의 접사입니다.

갑자기 뭔 개소리냐구요?

됐구요 아무튼 지우개는 '지우는 데 쓰이는 도구'란 뜻이 되죠.

 

무엇을 지우개라고 하는지 뻔히 아니까 이렇게 풀이해봤자 별로 도움되는 건 없지만

연립방정식같이 뭔지 모르는 것의 이름을 알아두면 참 좋죠.

 

사람의 이름에도 뜻이 담겨있답니다.

제이름은

밝을 병자에 밝을 준자를 쓰죠.

炳晙

입니다.

저희 할아버님께서 세상을 밝게하라는 뜻으로 지어주신 이름입니다.

그걸 들은 제 친구들은 빨리 탈모가 와서 대머리가 되어라. 란 뜻으로 지어준 예언의 이름이라고 하죠. 나쁜녀석들이죠.

 

아무튼간에 연립방정식을 드디어 봅시다.

 

 

(연이을 연) (설 립) 방정식

해서 연립방정식이랍니다.

 

연이을 연이 들어가는 단어는

대표적으로 연속이 있네요.

뭐가 연속적이다~ 라고 하면 끊어지지 않고 연달아 이어져있다는 뜻이죠.

연계라는 뜻도 있는데 초중학교의 교육과정이 연계된다 하면 초등학교 교육과정를 먼저 배우고 중학교 교육과정을 배워야 수월하다는 뜻이 됩니다.

 

그렇죠?

'연달아서 서있는 방정식' 이 연립방정식이 되겠네요.

 

연달아서 서 있다구요?

네 그렇습니다.

실제로 보면 연달아 서있는 모양이에요.

그것 참 궁금하군요!

네 궁금하죠?

그럼 이제 연립방정식이 뭔지 알아봅시다.

 

 

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여러분은 중학교 1학년을 성실하게 보낸 사람들이기 때문에 다음 문제를 정말 쉽게 풀 수 있을겁니다.

 

 

 

 

 

답은 뭐죠?

 

x=2 죠

정말쉽군요!

 

 

그럼 다음 문제를 풀어봅시다

 

 

 

 

답은 뭐죠

y=1이죠

 

정말 쉽군요!

장난하자는건가요?

아니죠 ㅋㅋㅋㅋㅋ

그럼 다음 문제를 풀어봅시다

 

 

아!

문제라고 하면 뭔가 재미없으니

방정식을 풀어봅시다

혹은

방정식의 해를 구해봅시다라고 해보죠

 

무슨뜻인지는 다 아시죠?

그니까 문자의 값이 뭐여야 등식이 성립하냐 이말이었죠 [대답한다면 훌륭한 중1을 거친 훌륭한 중2입니다]

 

 

 

아무튼 다음 방정식을 풀어봅시다

 

 

 

 

 

 

풀어보세요

 

 

 

 

 

 

 

 

미지수가 2개여서 놀라서 아무 이야기도 못한 친구들도 있을거구

 

혹은,

뭔가 이야기한 친구들이 있을겁니다.

 

아마 여러분의 답은 이 안에 있지 않았나요?

 

 

x가 1, y가 4

x가 2, y가 3

x가 3, y가 2

x가 4, y가 1

 

이렇게 네 가지 중 하나를 대답했지 않았나요?

 

 

 

네가지 중 하나를 대답했다면 멋진 친구입니다.

왜냐면 실제로 x가 그것, y가 그것이라면 등식을 만족하기 때문에 방정식의 해가 되거든요.

 

이렇게 미지수가 2개든 3개든, 방정식을 풀라는 소리는

그 등식을 만족하는 미지수의 값을 구해라! 란 뜻이 됩니다.

이 떄는 x값, y값 하나씩 생각해선 안되고 두개를 동시에 생각해줘야 하죠?

x가 1, y가 4 이런식으로요.

그렇기 때문에 해를 말할때도 항상 동시에 말해줘야 하구,

나타낼때는 (1,4) 이런식으로 순서쌍으로 주로 나타냅니다. [주로 x가 앞, y가 뒤가 되지요.]

 

네가지를 모두 말했다면 더 멋진 친구입니다.

'방정식을 풀어라!'란 말은 특별히 다른 언급이 없으면 방정식의 해를 '모두' 구해라! 란 말과 같습니다.

그렇기 때문에 가능한한 많은 해를 이야기해줘야 물어본 사람은 만족하게 되죠.

 

네가지 외에 다른 걸 말한 친구는 창의력이 있는 친구입니다.

x와 y가 자연수란 말이 있었나요? 없었지요.

 

그렇기 떄문에

x가 0, y가 5여도 식은 성립하거든요.

혹은

x가 -3, y가 8이어도 식은 성립하지요

 

더 나아가면

x가 3.676576756756576이고 y는 '5에서 x뺀만큼'인 1.323423243243424 여도 식은 성립하지요.

엥?

 

그렇기 떄문에

 

 

대답을 못하고 멍 때린 친구가 가장 최고의 친구입니다.

 

왜냐면

 

근본적으로

 

 

 

의 해는 무수히 많아요

 

그렇죠?

 

여러분이 무슨 숫자를 상상하든 x와 y가 서로 보완해가면서 결국 더해서 5를 만들수가 있지요.

 

그렇기 때문에 기본적으로

 

x+y=5를 풀어라.

 

라고 이야기한 놈이 듣고 싶은 대답은

 

'해가 너무나 많습니다'

 

입니다.

이럴줄은 몰랐쬬?

참 재미나군요.

 

 

 

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아까도 말했지만

 

x+y=5 를 풀 때는

 

x값, y값 모두에 영향을 받기 때문에

해를 나타낼 때

순서쌍으로 나타내주어야 한다고 했었죠.

 

그런데 저 방정식을 풀 때는 해가 무수히 많아서

따라서 우리가 써야할 순서쌍의 갯수도 무수히 많게 되겠지요.

이럴 때는 '해가 무수히 많습니다.'라고 써주는 게 답입니다.

무수히 많다는 소리는 수학에서 무한하다.와 같은 뜻입니다.

 

그런데 앞서 여러분이 생각한 것처럼

혹시 저 식에 (x와 y는 자연수입니다)

란 말이 친절하게 써있었다면 어떻게 될까요?

 

아까 언급했던 두 번째 친구

즉

 

x가 1, y가 4

x가 2, y가 3

x가 3, y가 2

x가 4, y가 1

 

이 네가지의 해를 말한 친구가 답을 말했다고 인정받을 수 있찌요

[방정식의 해를 구하라.란 소리는 방정식의 해를 '모두' 구하라. 란 소리이거든요.]

 

순서쌍으로 나타내자면

 

(1,4), (2,3), (3,2) ,(4,1)

 

이렇게 네가지의 순서쌍이

 

x+y=5 (단, x와 y는 자연수입니다.)

 

이 방정식의 해가 되는 거겠지요.

 

 

 

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디딤돌 예제로 익숙해지기

 

그렇기 때문에 디딤돌 교과서에서는

연립방정식을 시작하면서

이렇게 미지수가 자연수일때에 한해서 해를 구하란 문제를 여러번 냈습니다.

 

연립방정식을 바로 들어가긴 어려우니깐

한번 개념정도만 익혀보란 소리죠.

 

우리도 그렇게 해봅시다.

여태까지 얼마나 잘 배웠나 문제를 통해 알아볼까요?

사실 뭐 문제라기 보다는, 여러분들이 미지수가 2개인 방정식을 익숙하게 하려는 의도입니다.

 

그럼 맨처음으로, 미지수가 2개인 식을 세워야할 필요가 있을까요?

라고 혹시 의문점을 가져본 친구들을 위해서 다음 문제가 나갑니다.

 

 

 

필름 한 통을 현상하는 요금이 1500원

사진 1장을 인화하는 요금이 200원

 

각각 x통, y장 현상하고 인화했는데 그 요금이 12600원이라고 한다면

이를 갖고 식으로 나타낸다면?

 

필름 x통을 현상하는데 필요한 요금은 1500 * x ,

사진 y장을 인화하는데 필요한 요금은 200 * y가 되겠네요.

둘을 합하면? 1500x+200y 이것이 바로 총 쓴 요금이 되겠구

그것이 12600원과 같아야 되겠네요

 

그래서 1500x+200y=12600

이런 식이 성립됩니다.

 

근데 좀 거시기하지요?

왜냐면 앞에서도 봤듯이, 저 식을 만족하는 해, 즉 저 식을 만족하는 x,y 의 순서쌍은 하나가 아니구 여러개거든요.

 

그래서 이 1번 문제는, 문제로 내기보다는

이런 것을 이렇게 미지수 2개를 이용해서 식으로 만들 수 있니?를 물어본것이에요.

미지수 2개로 식을 만들어서 어따쓰는데요?

라고 물어본다면,

그거갖고 이제 연립방정식을 풀게될거란다. 란 대답을 들을 수 있을거에요.

우린 연립방정식을 하기 위해 지금 이 과정을 거치고 있는 것이란 점,

궁금한 것이 있어도 한 3강의 정도만 참고 따라오세요

모두 해결해드리겠습니다 ㅋㅋ

 

그럼 다음 문제를 볼까요?

 

 

 

이렇게 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 기본적으로 엄청나게 많았구,

x나 y가 자연수란 조건이 있으면 셀수 없을정도로 많진 않았지만 꼭 하나로 정해지는 것은 아니었죠. 그렇지요?

그런 사실을 그냥 이해만 하고 있으면됩니다.

 

그런데 이 2번 문제를 굳이 갖다 놓은 이유는

그러한 사실을 다시 한 번 생각해 봤으면 해서이고,

무엇보다도 미지수가 2개일때는 해를 순서쌍으로 (a,b) 이런식으로 나타낸다는 사실을 일깨워주고싶어서 입니다.

그러므로 (2,3)이 해가된다는 소리는

즉

 

x가 2, y가 3일때 등식이 성립하니? 좌변우변이 같니? 를 물어보는 것이죠.

어떻게 할까요? 그냥 대입해서 성립하면 땡이지요.

4년전의 제가 동그라미를 쳐논게 보이시죠?

4년전의 저도 아무 무리없이 했습니다 ^_^

 

 

 

그럼 확장해서, 이번엔 진짜로 일차방정식을 풀어봅시다.

다만 그냥 구하라고 하면 해가 무수히 많을테니까, x와 y가 자연수일때에만 한해서 풀어보라고 했습니다.

어떻게 구하냐구요?

어떻게 구하긴요, 일일이 다해봐야지요 ^_^

다른 방법이 없습니다.

3번 중 특히 3번을 볼까요?

 

 

3x+2y=10

자연수라고 했으니까 x가 뭔진 몰라도 1과 같거나 그보다 큰 자연수여야 할 겁니다. 그렇지요?

y도 1과 같거나 그보다 커야겠지요.

이런 문제를 풀때에는 x와 y를 동시에 생각해줘야 했었죠?

그 말을 다른 말로 하면, x가 뭔가 하나로 결정되면, 그것을 보완해서 결과가 10이 되도록 y값이 정해진다는 소리입니다.

그렇지요?

반대도 같습니다. y가 무언가일때, 3x+2y를 10을 만들고 싶으면 x를 적절하게 만들어줘야되지요.

그렇게 적절하게 만든 x도 역시 자연수이면 둘다 자연수가 되니 된다!

하면서 좋아할 수 있지요.

 

그럼 뭐부터 시작하는 게 좋을까요?

x부터 시작하는 게 좋을 것 같네요.

왜그렇죠?

x가 4일때를 생각해보세요

12가 되서 10보다 넘쳤죠?

y가 자연수니까 2y를 더한다고 한들, 12보다 더 커지면 커졌지 작아지게 할 방법은 없지요.

그렇기 때문에

x는 4보다 작아야만합니다.

그래서 x가 1,2,3 일 때를 알아보면 되지요.

 

y도 역시 6이 되면 12가 되서 넘쳐버리죠?

5가 되면 딱 10이 되서 x가 0이되야 되네요. 근데 x가 자연수라고 했으니까 0보단 커야되므로

y가 5가 되면안됩니다.

그보다 작아야되지요.

 

그니까 x부터 시작할꺼면 1,2,3 세개를 해봐야되고

y부터 시작하려면 1,2,3,4 네가지를 해봐야 되네요

4개하는것보단 3개하는게 덜 귀찮겠지요?

즉, x의 계수가 3으로 더 크니깐, 10보다 더 커지기 위해서 필요한 x값도 더 작습니다

그치요?

곰곰히 생각해보세요.

그니까 x로 시작하는게 좋습니다.

 

(근데 3번의 1번은 해가 무수히 많지요? 4년전의 저도 6개까지 구하다가 그만둔 것을 보실 수 있습니다.

하다 너무 많으면 '무수히 많다'라고 쓰면 된답니다)

 

그럼 이제 어느정도 미지수가 2개인 일차방정식이 와 닿으시나요?

그럼 아까 필름과 사진 요금 문제에서

x와 y의 순서쌍들을 모조리 구할 수 있을까요?

미지수가 2개니까 해가 무수히 많지 않냐구요?

과연 그럴까요? x와 y는 필름통과 사진장수입니다.

얘네는 결코 음수가 될수 없지요.

그리고 사진을 1.5장 인화할 수 도 없을거구요.

이만하면 감이 오시죠?

 

 

그럼 마지막으로 하나 던져놓고 갈테니

보면서 꺠달음을 얻으시기 바랍니다.

 

 

 

 

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아직 연립방정식이 뭔지는 눈꼽만큼도 안했어요 ㅋㅋㅋㅋ

아 눈꼽만큼은 했지요

연달아 서있는 방정식이라구요.

 

이 이름에 대한 풀이만 했을 뿐

x+y=5는 연립방정식이 아니라 미지수가 2개인 '일차방정식'일 뿐입니다.

그쵸?

 

x도 미지수, y도 미지수인데

둘다 일차였으니까 미지수가 2개인 일차방정식입니다.

 

 

다음 시간에 이어서는

 

수학의 세계에서의 아주 유명한 말 한가지와

연립방정식이 대체 뭐고, 어떻게 푸냐?

맨처음 말한 '연립방정식을 푸는 방법에 대한 이유에 대한 설명'을 해드리겠습니다.

 

기대하세용~

이봇과 함께라면 어렵지않습니다.