방정식 - 연립방정식의 의미와 생김새

안녕하세요 이봇입니다.

지난 시간까지 '미지수가 2개인 일차방정식'을 공부했었죠.

제가 다시 읽어봐도 주저리주저리한 글이 많아서 잘 와닿았을지 모르겠어요

아무리 생각해도 이렇게 지면을 통해서 내용을 전달하는 것은

직접 앞에서 강의를 하는 것보다 훨씬 어려운 것 같아요.

딱 손으로 가리키면서, 분필로 써가면서 하면 느낌이 팍팍 올텐데 말이에요 ㅠㅠ

아무튼 한계를 극복해보고 열심히 해봅시다!

지난시간까지 배운 '미지수가 2개인 일차방정식'에서 배워야 할 점은 다음과 같았어요.

방정식에 미지수가 2개 이상 존재해도 된다.

그런데 2개이상 되버리면 해가 딱 하나가 아니게 된다. [x와 y값에 따라 엄청 많은 해가 나온다.]

x값도 생각하고, y값도 생각해줘야 하므로 해를 순서쌍의 형식으로 나타낸다.

x, y 가 혹시 정수란 이야기가 있으면 해도 정수범위에서만 생각하면 되니까 몇개로 딱 주어진다.

정수란 얘기가 없으면 x+y = 5 의 해는

(3,2)도 되지만 (3.01,1.99) 도 되고 (3.02,1.98) 도 될테니 엄청 많다.

이를 총체적으로 정리하면 식이 하나인데 미지수가 2개이면 해가 엄청 많다.

그 것을 직접 그래프로 나타내면 직선 모양이 된다.

그래서 미지수가 2개인 일차방정식을, 그 직선의 방정식이라고 이름 붙였다.

미지수가 2개인 일차방정식은 각각 두개의 직선으로 나타낼 수 있다.

그런데 그 직선 위의 점의 좌표 (x,y)를 직선의 방정식에 대입하면 등식이 성립한다.

한 직선도 해가 엄청많고, 다른 한 직선도 해가 엄청많은데

두 식을 모두 만족하는 점은 두 직선이 겹쳐있는 그 점 하나 뿐이다.

그렇게, 두 식을 모두 만족하는 것을 찾는것이

바로 연립방정식이다.

그래요. 이게 연립방정식입니다.

직선으로 설명했지만 더 자세히는 이렇게 말할 수 있죠.

어제 굵은 글씨로 했던 이야기들을 해볼까요.

식이 하나인데 미지수가 2개면 해는 엄청 많다.

그렇죠?

왜냐면 x값을 아무거나 정해도 y값을 대충 조절하면 그 순서쌍은 해가 될 수 있으니까요.

거기에 식이 하나 추가되면, 해가 짠! 하고 고정된다.

이미 눈으로 확인해 보셨죠?

하나의 직선을 이루는 점들은 무수히 많았지만,

두개의 직선을 동시에 만족하는 점은 교점 하나뿐이었어요.

이를 확장하면 이렇게 됩니다.

한 가지 식은 한 개의 정보를 갖는다.

그러므로 x,y 같이 미지수가 2개면, 한개의 정보밖에 없어서 (x,y)를 딱! 하고 고정시키지 못한다.

식이 2개이면, 미지수 2개를 결정지을 수 있다.

그런 것이 바로 연립방정식이다.

한 가지 식은 한 개의 정보를 갖는다. 가 뭔 소린지 잘 감이 안오실수도 잇겠습니다.

앞으로 연립방정식의 풀이 방법에 대해서 공부할껀데, 대입법 가감법 등치법 등등이 있습니다.

아주 간략하게 소개하자면 연립방정식을 풀 때는 미지수의 숫자를 하나씩 줄여나가면서

우리가 원래 했었던, 미지수가 1개인 방정식꼴로 만들어서 그 값을 찾게 됩니다.

으악 중학생한테 너무 가혹한가요? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

아무튼간에

한 개의 식은 한 개의 정보를 가져요.

그니까 5가지 미지수가 있으면

그걸 풀려면 어떻게 해야겠어요?

5가지 식이 필요하겠죠?

그렇게 5가지 식을 좌라락 늘어놓고

그것들을 모두 만족하는 해를 구하시오! 해서 그 순서쌍을 찾는것이 바로 연립방정식이 된답니다

그니까!

미지수가 2개면 식이 2개 필요하고

미지수가 3개면 식이 3개 필요하고

미지수가 4개면 식이 4개 필요합니다.

그 이유는 좀 힘들게 증명할 수 있는데, 그건 중학생 개념에서 해석하기 힘들 수 있기 때문에 넘어가겠습니다.

[고등학교떄까지도 몰라요]

간략하게 표현하자면, 식들 가지고 다른 미지수를 없애가면서 하나의 미지수만 남겨놓으면

그 미지수 값은 확실히 알 수가 있는데,

그렇게 여러 가지의 미지수 값을 알아갈 수 있답니다.

는 넘어가시고

사실상 지난시간까지 연립방정식이 뭔지 다 배워논거나 다름없어서

오늘은 주저리주저리했네요.

그래서 대체 연립방정식이 뭐냐구요?

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공통인 해를 구하는 것을 연립방정식이라고 한다.

여러개의 식을 연달아 늘어놓아 봅시다

우리는 초보니까 2개만 늘어놓아볼까요?

이렇게 써봅시다.

그럼 각각의 식은 각각의 해를 가질텐데, 그 각각의 해는 엄청나게 많겠죠?

그니까 x+y=7 을 만족하는 순서쌍도 엄청많고

2x+3y=16을 만족하는 순서쌍도 엄청많지요.

그런데 갑자기 심심해서 두 식을 모두 만족하는 순서쌍을 구하고 싶다고 생각해봅시다.

저번처럼 두 직선을 그려서 교점을 찾는 식으로 해도 되겠죠.

아무튼 '두 식을 모두 만족하는 해를 구하고 싶어!' 라는 생각에서 출발한 것이 

연립방정식입니다.

그런 연립방정식은 다음과 같이 나타내요

이렇게 묶어 보임으로써, 난 두 식을 모두 만족하는 x,y 를 구할꺼야! 라고 표현하는 것과 같아요.

다른 말로 하자면 

그냥

이렇게만 쓰면

위의 식은 '어떤수 x가 있고 어떤수 y가 있으면 그 것들을 더한것은 7이 된다.' 란 뜻이 됩니다.

읽어보니까 어떠세요? 그냥 별생각안들죠?

그쵸

그리고 아래식은

'어떤수 x가 있고, 어떤수 y가 있으면, x를 두배해서 y에 세배한 거랑 더한 값이 16이 된다.'란 뜻이 됩니다.

즉, 위식이나 아래식이나 둘다 x랑 y를 썼지만 생판 관계 없다는 뜻이에요.

이렇게 쓴다면

어떤 수 2개를 x와 y라고 하면, 그 거 두개를 더하면 7이 되고,

x에 2배하고 y에 3배해서 더하면 16이 된다.

이렇게 두 식을 동시에 만족하는 x와 y에 대해 생각하게 됩니다.

그렇게 묶어서 나타낸 방정식을 연립방정식 이라고 하며,

묶인 방정식들을 모두 만족하는 해를 연립방정식의 해

연립방정식의 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다. 라고 하지요.

그 연립방정식의 풀이 과정에서

한 식은 한개의 정보를 가지므로 두개 미지수는 두개 식이 있어야 풀 수 있다. 라는 이야기가 나오는거고

어떻게 푸는지에 대해 그 방법은 다음 시간부터 소개하겠습니다

사실 지금 어떻게 푸는지는 모르고 있잖아요.

두 식을 모두 만족하는 것을 찾으려면 일일이 다 대입해서 '오 되네?'면 통과 '안되네 에이'하면 버리고

이렇게 힘들게 구하는것은 의미는 있겠지만 너무 힘든 방법이 되겠죠.

그래서 수학자들이 논리정연한 방법을 통해서 그 방법들을 생각해냈는데

그것들이 아주 흥미로우니 다음 시간부터 보여드리겠슴다!

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아나 다 좋은데요

두 식을 모두 만족하는 해를 구하라는 것 까진 참 좋은데요

그걸 왜하는데요 대체?

두 식이 있으면 그냥 두 식이 있는거지

그거 두개를 모두 만족하는 해를 왜구하냐구요

라고 물어보는 사람들은 '연립방정식의 활용'을 공부하면서

눈물을 흘리게 될 겁니다.

그 이유를 드디어 알게 될테니까요.

간략히 소개해드리자면,

x와 y 두개의 미지수가 필요하단 건, 생각해줘야 할 것이 2개라는 뜻이죠.

여태까지는 철수가 사과를 x개 갖고있었는데 3개를 더했다 이런식으로 한가지만 생각했었다면,

철수가 가령 사과와 배를 둘다 갖고있다거나 하면

x하나가지고는 문제를 풀 수가 없겠죠.

그쵸?

그래서 미지수가 여러개 늘어나게 되고

그 상황에 맞는 미지수의 값을 찾는것!

그것이 바로 연립방정식의 목적이랍니다.

물론 그냥 심심해서 푸는 것도 많고

나중에 고등학교 들어가면 더 활용도가 높지요.

[두 직선의 교점이 연립방정식의 해가 되었었죠? 그것처럼 여러개의 도형의 교점을 찾는데 연립방정식을 쓴답니다]

디딤돌 교재에서 제공하는 '연립방정식을 푸는 이유 중 하나'를 보여드리고 이 시간 마치겠습니다.