연립방정식을 드디어 풀어보자! - 소거의 원리와 가감법의 원리

이번 내용은 연립방정식을 샅샅이 파헤치는 내용입니다.

 

가감법이 대체 무엇이느냐

소거는 왜 하는것이느냐

 

에 대해서 알아보는 시간이죠.

 

원래는 고등학교 1학년 학생들을 위해서 따로 글을 쓰려고 했었는데 [따로 글을 쓸 것입니다]

연립방정식을 배우고 있는 중학교 2학년 학생 여러분도 역시 짚고 넘어가는 게 좋을 것 같아서 좀 자세하게 써보려고 합니다.

 

대신에 고등학교 1학년 학생들보다야 훨씬 쉽게 쓰려해요 헤헤

중학생 여러분 이제 해보자구요

 

 

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지난 시간에 주머니 속의 바둑알 갯수 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다.

 

흰색주머니, 검은색 주머니 두가지 주머니가 있었는데

거기에 바둑알이 x개, y개로 각각 들어 있었죠.

 

여기서 x개 y개를 찾는 것이 우리의 목적이었고,

결론적으로

 

두 개의 식을 이용해서

양변을 변변 빼주는 방법 [등식의 성질을 이용했죠]

으로 하나의 미지수를 없애버리고 [소거]

그래서 나머지 하나의 미지수 값을 찾고, 그 미지수값을 나머지 하나에 대입해서 풀었습니다.

그렇죠?

 

 

 그런데 어제 배운 바와 같이, 이렇게 풀고난 이후에는

이 글에 쓰여진 대로

A B 두개의 식을 가지고 미지수 한개의 값을 얻어냈다면

그 값을 A B 모두에 대입해서 둘다 성립하는지 '꼭' 알아봐야 됩니다.

 

왜냐면 연립방정식은 A B 둘다 성립하는 것'만' 구하는 거니까요.

다들 고개가 절로 끄덕여지시죠?

 

그니까 다음과 같은 연립방정식을 풀때에

 

 

x=2란 값이 나왔으면 A나 B중 하나에 대입해서 y값을 구하고

그 x와 y 순서쌍을 A B 모두에 대입해서 둘다 성립하는지 알아봐야 된다는 소리입니다.

 

 

네네, 여기까진 고개가 계속 끄덕여지실겁니다.

 

 

근데 어제 제가 맨 마지막에 적어 드린 네 개의 문제를 직접 풀어보신 분들이라면,

혹은 다른 곳에서 연립방정식을 몇번 풀어보신 분들이라면

 

"꼭 다 대입 안해봐도 저절로 같아지더라"

 

를 보실 수 있을거에요.

 

헐....

진짠가요?

정말이에요?

 

지난시간을 안보고 오신분들이라면 지난시간을 보고 오시죠.

맨밑에 4개 문제가 있으니까요.

 

연립방정식을 드디어 풀어보자! - 소거와 가감법

 

 

선생님!

진짜로 다 대입안해도 어차피 같아요?

네.

 

근데 왜 책에는 다 대입해보라고 써있어요?

'우리 수준에서만' 같아요

 

그럼 다른 수준에선 다를 수도 있어요?

네.

 

언제그러는데요?

이차식일 때요.

네?

이차식이 뭔지 알아요?

알아요 차수가 2인게 이차식이에요.

맞아요. 그 땐 조심해야되요.

 

지금은 조심 안해도 되요?

네.

그럼 좋네요 와~!

 

지금은 일차방정식 두개로 연립방정식 풀고있죠?

네.

나중엔 이차방정식한개랑 일차방정식 한개로 된 것도 풀고요. 이차방정식 두개로 된것도 풀어요

헐. 왠지 무서워요.

푸는 방법은 똑같아요.

그럼 안무섭네요.

 

근데 그 수준에선, 어쩔땐 대입을 둘다 해보면 둘이 같은데, 어쩔땐 또 달라요.

그건 또 뭐에요 무섭네요.

그렇죠? 이게 다 중학교때 얘기를 안해줘서 그래요.

네?

일차방정식으로만 되어있으면 조심 안해도 된다고 했죠?

네.

이차방정식으로 되어 있는건 조심해야 된다 그랬죠?

네.

연립방정식은 지금 딱 중2때만 배우죠?

네.

일차방정식으로 된것만 배우죠?

네.

그래서 왜 조심해야 되는지는 안알려주고요. 이차방정식으로 푸는 방법이 왜 이렇게 되는지도 안말해줘요. 중2때 한줄 알고요.

헐...

그래서 고등학생들한테 아무나 붙잡고 물어보죠?

네.

그럼 아무도 몰라요

헐...

나만 알아요

대단하시네요

1주일 끙끙 앓았어요.

헐ㅋ

대단하죠?

네 대단해요

박수치세요

짞짝짞

 

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

내가 쓴건데 너무 웃기네요

굵은게 저라고 생각하세요

어라? 둘다 굵네요

까만게 저라고 생각하세요

실제로 제 피부색은 노랗답니다 엥ㅋ

 

 

아무튼저무튼

 

지금 가감법으로 문제푸는데, 왜 그런지는 몰라도 아무튼 하면 되니까 대충 다 알것 같죠?

네 아주 정상적입니다.

두개 빼서 하나가 나오면 그거갖고 한다. 음음 좋아요 좋아요

근데 아오 고등학교되면 아오

뭔뜻인지알겠죠?

 

그래서 출발합니다여러분

고등학교 되죠? 그럼 제가 고등학생용 연립방정식을 또 써놀테니깐

그것도 보고 오세요

그럼 수학선생님이 이러이러하다고 설명할때

"왜 왜 그런지는 안알려주는거야!" 하고 옆에서 드롭킥을 날릴 수 있죠

는 패륜범죄를 저지른 퇴학감이구요

 

 

 

아무튼 그래서

소거의 원리가 대체 뭔지,

가감법의 원리가 대체 뭔지 알고 넘어가야 한다!

 

가 필요성의 시작입니다.

 

 

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소거의 원리.

 

식 속에서 미지수는 뛰어놀고 있다.

 

제가 중학생들을 대상으로 교육봉사를 다니고 있는데, 이런 식으로 설명하면 웃기만해요.

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 뭐가 그렇게 잘못됬나요?

아무튼 뭔 개소리를 하는지 우선 들어나봅시다.

 

 

봉산탈춤 알죠?

그런 이미지를 생각하세요

덩실덩실 흔들흔들하면서 미지수들이 뛰어놀고 있지요.

 

뭔소리냐구요?

 

 

아까 바둑돌을 구하는 것을 생각해보죠.

바둑돌을 우선 주머니에 넣었어요.

그럼 주머니 속에서 바둑돌의 갯수가 변할수가 있어요?

 

절대안되죠.

그런거는 있을수가 없어.

빈 주머니에 3개 넣었는데 꺼내보니까 5개다? 뭔 말도안되는소리야

그래서 이런 이미지를 갖고 문제를 풀어요.

절대 안변한다구,

그래요. 그것도 '이 수준에서'는 다 되는 말이에요.

 

근데 있잖아요.

주머니에 넣은 것을 식으로 표현하죠?

그럼 그 안에서 미지수는 뛰어놀게 되요.

 

 

 

지난 시간에 본 그림입니다.

 

흰 주머니랑 검은 주머니에 바둑돌을 x개 y개씩 넣었어.

그럼 그 넣은 값이 바뀔 수가 있어?

없지

 

아이고 반말죄송합니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

아무튼!

그걸 3x+2y=12라고 쓰면 마법같은 일이 발생하죠.

 

누가 이렇게 물었다고 해봅시다.

 

 

 

그럼 음... 엄.. 뭐라고 대답할래요?

 

저랑 같이 공부한 사람이라면 "그냥 x는 못구하고요. y랑 같이 생각해야되요."

라고 대답하겠죠.

그게 포인트입니다.

 

x랑 y는 하나로 딱 정해져있는게 아니고

서로 어떤 관계가 있는데, 그 관계속에서 뛰어놀게 됩니다.

즉 x가 1도되고, 2도되고, 3도되고, 4도되고, 5도되고, 6도되고 그렇다구요

 

즉, 3x+2y=12를 만족하는 해는

x와 y를 동시에 생각해야 되는데,

그것들을 순서쌍으로 나타냈구요

x=2, y=3 이면 성립 -> 해가 (2,3) 이다.

그런 순서쌍이 엄청나게 많았죠? x가 1이면 y는 뭐 딴거, 2면 딴거, 3이면 딴거 이런식으로 엄청많았짢아요.

지난시간까지 했던 얘기들입니다.

 

막 뛰어놀죠

그걸 그림으로 보기 쉽게 표현한게 뭐였죠?

그렇죠 그래프였죠. 그 수많은 순서쌍 (x,y)를 x좌표, y좌표에 찍어서 나타낸게 그래프였죠.

 

3x+2y=12의 그래프를 그려봅시다

직선이겠죠?

 

 

이렇게 생겼답니다.

그래프 그리는 프로그램을 이용해서 그린 그림이에용.

여러분을 위해서 오늘 설치했어요 헤헤

 

아무튼

저 보라색직선 위에 있는 모든 점들이 3x+2y=12의 해가 된다는 소리는

이미 여러번 마르고닳도록 이야기한 것들이었죠.

 

그니까 저 직선위에서 x랑 y가 막 뛰어놀고 있지요. 에헤이~

즉, x와 y가 하나로만 딱 고정되어 있다는 편견을 버려야 됩니다.

 

이와 같은 그림이 주어졌을때는,

흰 색 주머니 속의 x개와 검은색 주머니속의 y개가 하나로 딱! 고정되어 있는게 아니라

저 직선처럼 마구 뛰어놀고 있다구요.

 

그리고 이제 두번째 조건이 등장할 차례입니다.

 

 

 

얘도 마찬가지아니겠어요?

x랑 y가 마구 뛰어놀겠죠?

그래요 마구마구 뛰어놀고있어요

 

그걸 그래프로 그리면 이렇죠.

아까 그 그래프 그린데다 또 그려볼게요

 

 

 

보라색그래프가 아까 그 그래프

x와 y가 뛰어놀고 있죠

빨간색 그래프가 방금 이 그래프

x와 y가 뛰어놀고 있죠.

 

 

근데, 빨간색 그래프도 만족하고, 보라색 그래프도 만족하래요

그 점은

저기 콕 네모로 찍힌 점

그림 왼쪽상단에 보면 작은글씨로 x=2, y=3 이라고 써있는거 보이죠?

저 점뿐이 "둘다 만족하는 점"이란 소립니다.

 

그래서 하고 싶은 소리가 뭐에요?

 

연립방정식을 풀 때, x와 y라고 써놓죠?

근데 그걸 따로따로 보면은, 절대 같은 숫자들이 아니에요.

 

 

여기서 x랑 y는 뛰어놀죠?

 

에서 x랑 y도 뛰어놀죠?

 

다른 말로 하면 각각의 식은 각각의 정보를 갖고 있죠?[직선 형태로]

 

그 연립방정식은 각각의 정보를 '합치는' 것이 바로 연립방정식입니다.

위식의 x랑 아래식의 x가 똑같은 '수' 이려면 우째야되니?

위식의 y랑 아래식의 y가 똑같은 '수'이려면 우째야 되니?

 

가 연립방정식을 푸는 방법이에요.

 

 

 

이 연립방정식을 보고 해석하는 방법이 두가지가 있는데,

하나는 기존에 하던 것 처럼

"x랑 y가 있는데, 그 x랑 y는 윗식도 만족하고, 아래식도 만족하는 숫자이다."

 

하나는

"위식을 만족하는 x랑 y가 있고, 아래식을 만족하는 x랑 y가 있다.

그것들은 막 뛰어놀겠지.

근데 그 둘이 같은 x, 같은 y라면 어떤 값을 가져야 하는가?"

 

로 해석하는 방법이 있어요

 

결국엔 똑같죠.

 

 

근데 왜 똑같은 얘기를 두번이나 하냐면

 

연립방정식의 기본 풀이방법인 소거의 원리와, 그 소거의 원리를 갖고 만든 가감법 대입법 등치법 등등은

두번째 해석 방법으로 풀기 때문이에요.

 

두 식은 알아서 잘 뛰어놀고 있는데,

그 중 같은 위치에 있는 것을 찾아라!

그게 바로 연립방정식을 푸는 방법이지요.

 

결코 어떤 x와 y가 있는데 윗식도 만족하고, 아래식도 만족하더라

라고만 생각하면

'푸는 방법이 생각나질 않아요'

 

여기서 또 하나의 패러다임의 전환이 일어나야됩니다.

아! 내가 생각하기에 따라서 x와 y가 같은것이 될수도, 다른것이 될 수도 있겠구나.

 

위의 식만 보고 x와 y를 생각한다면 엄청나게 많은 순서쌍이 생길것이고,

밑의 식만 보고 x와 y를 생각한다면 엄청나게 많은 순서쌍이 생기겠구나.

그럼 둘을 만족하는 x와 y를 동시에 생각한다면 어떻게 해야 할까?

 

그 방법이 바로 소거의 원리, 가감법의 원리라는 겁니다.

다음으로 넘어오시죠.

 

 

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소거의 목적

 

 

연립방정식의 기본 풀이 방법은 지난시간에 간략하게 설명했었죠.

 

"A,B 둘다 만족하는 (x,y)를 찾아야 되는데, 다 찾기는 불가능하므로 둘다 만족하는 x, 혹은 둘다 만족하는 y를 먼저 찾자.

그러려면 나머지를 없애줘야 되니까 소거해줘야된다. 그래서 그걸 갖고 다시 대입하자."

 

즉,

 

A식에서 뛰어 놀고 있는 (x,y)와

B식에서 뛰어 놀고 있는 (x,y) 중 모두에 성립하는 (x,y)를 구할낀데

 

그 걸 다 구할 수는 없으므로 (방법이 없으니까요)

 

하나의 미지수값만 찾아보자

둘다 만족하는 x,

둘다 만족하는 y를 찾는것이 소거의 목적입니다.

 

[둘다 구할수 없는 이유는 미지수가 2개인 일차방정식을 풀 수 없는 이유와 같습니다. 미지수가 2개일땐 결코 하나로 확정지을 수 없어요]

 

 

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소거를 하기 위한 가감법,

뛰어 놀고 있는 것들을 통일시키는 가감법

 

 

 

이 글의 윗부분에서

각각의 식은 서로 연관이 없는채 뛰어놀고 있을 뿐이다.란 이야기를 했었어요.

그 중에서 기여코 둘다 만족하는 것을 찾는것이 바로 연립방정식이었죠.

 

그걸 찾기 위해선 우선 '하나부터 찾자' 가 소거의 목적이었구요.

그 하나부터 찾기 위해서 하는 방법 중 제일 처음 배운 것이 가감법이지요.

 

그 가감법의 원리는 다음과 같습니다.

 

빼고 더함으로서 같은 미지수임을 인정한다.

 

 

연립방정식을 보죠.

 

 

 

위식과 아래식만 보면, x와 y는 사실상 연관이 없죠.

둘다 한꺼번에 볼때만 같은 x와 같은 y로 인정할 수 있어요.

근데 그 인정은 누가했죠?

그렇죠 '자기가 머리속으로만 인정했지, 수학적으로는 한게 없어요.'

 

이 이야기는 여러번 할 이야기입니다.

'자기가 머리속으로만 생각했지, 수학적으로는 한게 없다.'

 

좀 무서운 얘기죠? ㅋㅋ 머리속으로만 생각하면 안된다는거에요.

둘이 싸웠을떄도 똑같죠

머리속으로 반성해봤자 싸운 친구가 그걸 알아주나요?

그래서 A는 말하겠죠

"야 넌 왜 사과도 안하냐?"

"아씨 몰라"

"사과 해야지"

"나도 속으로 반성 많이 하고 있따고!!!!!!!!!!!!"

 

그래서 뭐 어쩌라구요 ㅋ

자기가 직접 표현을 해야만 합니다.

똑같아요 수학도

자기 혼자 생각한건 아무것도 아니고, 그걸 어떤식으로든지 적용을 해야되요.

 

그 방법이 바로 빼고 더하는 가감법입니다.

가감법은 다음과 같죠.

 

위식에서

아래식을

변변 뺴거나

변변 더한다

 

혹은

 

아래식에서

위식을

변변 빼거나

변변 더한다

 

똑같은거니까 뭐

 

이번엔 위식에서

아래식을 변변 뺴보기로 해요

 

 

 

이 부분에서

바로

 

x와 x가 서로 같다

y와 y가 서로 같다

라고 인정을 해주고 있어요

보이죠?

같은 것으로 인정하고 빼고 있잖아요.

 

"가감법은 인정하는 방법으로, 소거의 목적을 달성했다."

 

그럼 인정한다는 표현은 구체적으로 뭔지 볼까요?

원래는 위 식을 만족하는 (x,y)는 엄청많고

아래 식을 만족하는 (x,y)도 엄청 많은데

 

가감법을 사용하면

(x,y)가 위식도 만족하고, 아래식도 만족하는 각각의 숫자라고 할 때만, 이렇게 빼고 더할 수 있다.

라는 표현입니다.

그러니까 뛰어노는것들중에, 둘 다 만족하는 것일때만 더하고 뺼 수 있다는 소리죠.

그게 바로 연립방정식을 푸는 거 아니겠어요?

 

세상을 얻은 기분입니다.

이것이 바로 가감법의 기본 원리였던 것이죠.

 

아그래요? 여기까진 알겠는데요. 왜 일차식일때는 조심 안해도 되는지는 아무말도 안해주셨네요.

예리한 자식...

 

그건 조금 더 심화된 개념이 필요하고,

고등학교때 배울 필요충분조건에 대한 개념이 필요하지만

간략하게 설명하자면

 

"같은 숫자라고 인정하고 풀었기 때문에 어차피 둘다 같을수밖에 없죠."

입니다.

 

고등학교 수준에서는

"특정한 조건에 대해서만 같은 숫자라고 인정하고 풀어야 되서" 그럽니다.

여기에 대해선 아직 잘모르겠죠?

그런 경우가 있어요 무연근이 어쩌구저쩌구 해야되요.

 

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마지막 문제풀이 2.

 

어제 문제풀이 1.을 했었을때 뭔가 고마운 마음이 들었죠?

왜냐면 x의 계수나 y의 계수가 딱딱 맞아가지고

그냥 빼거나 더하면 바로바로 하나의 미지수만 남았잖아요.

 

근데 위에꺼 이해하기도 벅찬데 문제풀이 2번까지 배우려니 버거울려나요?

그를 위해서 30초짜리로 간단하게 설명할게요

원래가 30초짜리에요 ㅋㅋ

 

x+y=3 이 있어요.

그쵸?

 

여기서도 역시 x랑 y가 뛰어놀겠군요.

그렇죠

 

그럼 양변에 3을 곱해봐요

 

3x+3y=9

 

뛰어놀던 (x,y)가 변하나요?

똑같죠.

 

그럼 푸세요

 

 

 

 

계수가 다른 연립방정식의 포인트는

양변에 적당한 숫자를 곱해서 계수를 맞춘다음 푼다.

 

 

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또 의문이 들어요 혹시?

 

 

왜 그냥 더하고 뺴면 안되냐구요?

그냥 더하고 뺴면

 

'A식, B식을 만족하기는 한데, 미지수가 2개인채로 그대로 나와버려요.'

 

 

그니까, 뭔소리냐하면

{(x,y)가 위식도 만족하고, 아래식도 만족하는 경우에 한해서} 변변 빼버리면

2x+4y=8 이 될텐데

 

{위식도 만족하고 아래식도 만족하는 경우}라면 2x+4y=8 이 성립하겠지만

그런 경우가 아닐때도 2x+4y=8을 만족할수야 있죠.

그쵸? 아이고 어려워 떄려치고싶나요?

안돼요 ㅠㅠ

 

 

위식의 x와 아래식의 x가 똑같고, 위식의 y와 아래식의 y가 똑같다고 인정해서 [특정한 (x,y)일 때만 더하고 뺄 수 있다.]

빼버리는 방법이 가감법이었는데

빼봤자

 

2x+4y=8 이라고 미지수가 2개인 일차방정식이 나와서

그 (x,y)가 이 식을 만족하기는 하는데

그게 구체적으로 뭔지는 모르는

눈물나는 상황이 연출되므로

 

그걸 방지하기 위해 우리는 소거의 방법을 이용했던 거고

적당히 곱하고 뺴서 y=3 이라고 딱!

나온다면

그 y값을 바로 알아차릴 수 있기 때문에

소거를 했던 거죠.

 

이걸 통해서 소거의 원리를 더 깨달으실 수 있었으면 하네요.

 

그래서 마지막으로 문제 또 네가지 내고 갈게요

이번엔 계수를 적절히 맞춰야 하는 문제에요

 

 

 

 

 

 

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어렵죠?

 

몰랐으면 싶죠?

 

수학하기 싫죠?

 

그치만 오히려 이렇게 생각하는게 더 재미있을지 몰라요

어려우면 종이에다가 직접 설명하는 방법을 취해보세요

 

저도 이걸 처음 간략하게 깨달은게

고1에서 고2로 넘어가는 겨울방학때였구요.

그걸 확실히 한건 고3 겨울방학때였어요.

 

그것도 단순히 이리저리 생각해보다가 아 이렇겠네한게 아니라

끙끙 앓다가 간신히 알아낸것이었쬬.

 

그러니까 힘내셔서

'저처럼' 요리조리 끈기있게 생각하는 습관을들여서

생각해서 내 껄 만들어보시기 바랍니다

 

이렇게 생각해보고, 저렇게도 생각해보세요

그것이 여러분의 자산이 되니까요

 

어려우면 언제든지 댓글달아주구요

여러분은 훌륭한 중학생입니다.