가감법에 익숙해 졌나요? - 다른 방법을 알아봅시다 : 대입법

연립방정식을 지금 몇시간째야

암튼 엄청나게 오래 공부하고 계십니다.

그만큼 정밀하게 잘 배우고 계세요

정밀하게가 뭔뜻이냐면, 정확하고 세세하게란 뜻입니다.

아무튼!

지난시간까지 가감법을 공부하면서

왜 그렇게 되는지까지 설명했더랬죠.

두개의 식에 각각 x와 y라는 같은 미지수가 써있긴 하지만

걔네는 사실상 서로 뛰놀고 있기 때문에 '완전히 같은거로 보긴 어렵다'

그래서 서로 빼줌으로서 '둘이 같다는 조건 하에' 뺄수있으니까

같다면 어떻게 될까? 란 질문을 던지는 것이 바로 변변 빼는 가감법의 방법

그렇게 해서 미지수하나를 소거하면

미지수가 하나만 남게되니까

미지수가 하나인 일차식은 바로바로 답이보이죠?

그렇게해서 한개의 미지수값을 구하고, 거기에 대해서 다른 미지수값을 구하면

연립방정식의 해결~

알겠는데 말로 이렇게 설명하니까 또 어려워보이죠?

너무 걱정하지마세요

사실 중학교2학년때까지는 '푸는 방법'만 알아도 됩니다.

그치만 조금 더 자세히 알아보고 싶어할 친구들을 위해 이렇게 적어두는 거니까요.

너무 낙심하거나 그러지 않았으면 좋겠습니다.

잘 따라온다면 저야 좋구요~

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대입법이란 것도 해보자.

그러니까 요지는 

1. 소거

2. 두 식의 정보를 한 곳에 모으기

이게 바로 연립방정식을 푸는 원리입니다.

두 식의 미지수는 각각의 식 내에서 뛰놀고 있는데, 그 두 식을 동시에 만족하는 순서쌍을 찾는 것이 연립방정식을 푸는 것이었으니까,

두 식의 정보를 한 곳에 모아야했죠.

모은다고 끝나는 게 아니라, 모았어도 여전히 미지수가 2개면 

'모아봤자 알수 없는 가련한 신세'가 되므로

소거를 통해서 하나를 없애서 확실히 알 수 있게 해준다.

이것이 연립방정식의 풀이방법이었죠.

간단히 말하면 x 없애서 y만 남기거나

y없애서 x만 남기거나

그쵸?

지난시간에는 가감법을 통해서 풀어보았는데

요지는

1. 소거

2. 두 식의 정보를 한 곳에 모으기

이 두가지 원리만 적용할 수 있다면

'꼭 변변 빼거나 변변 더해서 풀 필요는 없다' 입니다.

방법들이 가감법 말고도 여러 가지 있는데 모두 한 번 미리 말씀드리자면

가감법, 대입법, 등치법이 있지요.

한 가지 더 미리 말씀드리자면

지금 배우고 있는 '미지수가 2개인 일차방정식은 가감법이 제일 편하고'

나중에 이차식이나 등등을 배우게 될때 '대입법이 편해집니다'

이건 됐구요 ㅋㅋ

대입법 들어가보도록 하겠습니다.

대입법 역시 가감법에서 해본 것처럼 바둑돌이야기로 해볼 수 있지요.

또 바둑돌 이야기로 해봅시다!

바둑돌을 x개씩 넣은 흰 주머니와 y개씩 넣은 검은 주머니가 있다.

검은 주머니 속 바둑돌 y개는 흰 주머니 속 바둑돌 x개보다 3개만큼 더 많다.

또한, 흰 주머니 2개와 검은 주머니 1개에 들어 있는 바둑돌은 모두 9개라고 할 때,

이를 만족하는 흰 주머니 속 바둑돌 x개와 검은 주머니 속 바둑돌 y개를 각각 구하여라.

이 역시 그림으로 나타내봅시다.

항상 수학 문제를 보았을 때는 그것이 이해가기 쉽도록 문제 근처에 그림을 그리건 표를 만들건 뭘하든지간에

자기가 이해할 수 있도록 나타내는 훈련을 해보세요. 그게 참 좋습니다.

아무튼 그림으로 나타내면 다음과 같죠.

우선 검은 주머니 속 바둑돌은 흰 주머니 속 바둑돌 갯수보다 3개 더많다고 했죠?

그림으로 나타내봅시다.

지난 가감법에서보다는 훨씬 더 괜찮은 조건이네요

검은 주머니 안 바둑돌 갯수가 흰 주머니 안 바둑돌 갯수와 어떤 연관이 있는지 '직접적으로 보이죠?'

3x+2y=7 이라고 하면 뭔 관계가 있는지 한참 생각해야 되잖아요

y=x+3이면

단순히 x에 3을 더하면 y니까 훨씬 쉽지요.

물론 둘다 어떤 관계가 있는건 마찬가지지만요.

[이런 관계를 함수라고 했던것도 기억나시죠? 그냥 중1생각이 나서 한번 이야기해봤습니다.]

역시 미지수가 2개인 만큼, 순서쌍이 하나로 정해지지 않고 엄청나게 많을거에요.

중1때 함수얘기를 하면서 주구장창 했던 얘기지만

또 해보자면

x가 1일때 y는 4 (1,4)

x가 2일때 y는 5 (2,5)

x가 3일때 y는 6 (3,6)

이렇게 엄청나게 많겠죠?

물론 바둑돌이니까 x가 3.5개 이런건 있을 수 없겠지만요.

그래도 순서쌍은 무수히많을꺼에요.

그래서 하나의 조건이 더 필요한데 그것이 다음과 같습니다.

"흰 주머니 2개와 검은 주머니 1개에 들어있는 바둑돌의 총 갯수는 9개이다."

그렇군요. 그렇고 말고요.

이 때 이 연립방정식을 풀라고 하면 여러분은 어떻게 풀수 있을까요?

지난시간처럼 y=x+3 을 y-x=3 으로 고쳐서 가감법을 이용해서 풀 수도 있을 거에요.

그치만 지금과 같이 '관계가 엄청나게 쉽게 눈에 보일때는'

더 쉬운방법이 있지 않을까요?

그쵸? 저 검은 주머니 속에 몇개가 있는지 알잖아요.

아니 몇개가 있는지 정확히는 모르지만, 흰 주머니보다 3개 더많다는 건 알죠?

그니까 검은 주머니를 흰 주머니로 바꿀 수 있죠. 

이것이 바로 소거죠? 호호호

요렇게~

이렇게 검은주머니가 어떻게 구성되어있는지 아니까

검은주머니를 (흰주머니와 3개더)로 바꿔서

흰 주머니 속 바둑돌 갯수를 구할 수 있었네요.

이것이 바로 대입법의 끝입니다.

이제 구해진 x로 y를 다시 구하면 되지요.

y=x+3 이라고 했으니 y=6 이겠네요.

아니면 2x+y=9에 x=3을 대입해서 y를 구해도 되지요.

이렇게 x와 y를 구했으면

윗식과 아랫식에 모두 대입해봐서

진짜 해가 될 수 있는지 아닌지 파악해보라고 했었죠.

[그치만 그럴 필요가 없었지요? 우리수준에서는요.

가감법의 경우에는, 윗식의 x끼리, 아랫식의 y끼리 같다고 했을때 그렇게 푸는 것이었으니까 어차피 같은 값이 나올수밖에 없었죠.

가감법을 할 때 어차피 같은 값이 나오는 이유 여기에 대해서는 할말이 더 있는데, 그건 고등학생 되서 하도록 해요.

대입법의 경우에는 어떨까요? 다음시간에 얘기해보도록 해요 ㅎㅎ]

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가감법이랑 차이가 있는것 같으면서도, 별 차이 없는것 같기두 하죠?

별 차이 없어보이는 이유는 이미 설명했어요.

풀이 방법이 바로

1. 소거

2. 두 식을 하나로 합치기

가감법이나 대입법이나 모두 이 두 가지를 이용해서 풀었거든요.

그치만 가감법은 서로 빼거나 더해도 같다는 성질을 이용해서 소거했고

대입법은 한 미지수가 다른 미지수에 대해서 어떠어떠한 관계에 있다더라.

그렇다면 그 관계를 대입해서 풀면 되겠네?

이렇게 소거하는 방법에만 차이가 있을 뿐이죠.

가감법은 빼거나 더해서 소거

대입법은 그 자체를 대입해서 소거

결국엔 같은 방법들이란 겁니다.

그럼 오늘은 대입법의 느낌을 뾱하고 본 것에 의의를 두고,

가감법을 공부할  때

1.푸는 방법과

2. 풀 수 있는 이유

를 둘다 공부한 것 처럼

이번에도 

푸는 방법과 그렇게 풀 수 있는 이유를 

공부해보도록 하겠습니다.

오늘은 느낌만 파악하는 거라 좀 짧죠?

좀 허전하다 싶으면 바로 다음 강의로 넘어오세요.

수고하셨습니다!