연립방정식의 마지막 날입니다.
물론 조금 있으면 연립방정식의 활용이라고 해서
농도니 속력이니 등등 그런것들도 배우실꺼지만요
연립방정식이 왜 태어났고,
어떻게 풀며,
어떻게 그런 방식으로 풀 수 있는지 몇 강에 걸쳐서 설명하고 있어요
그 설명이 오늘이 마지막이니 즐거운 기분으로 함께 해봅시다.
혹시 전 강의들을 보지 않으신 분들은 오른쪽 카테고리에서
뇌통 - 중학수학 8-가를 누르셔서 연립방정식의 이전 강의부터 보시는 것을 추천드려요
대입법을 하는 방법은 알았는데,, 그 원리는 뭐죠?
3강 전에 가감법을 배웠고
2강 전에는 가감법으로 풀 수 있는 이유를 배웠었죠.
뛰놀고 있는 각각의 식을 합쳐야해서
x끼리 같다. y끼리 같다. 해놓고 빼버리는 것을 통해서 소거시킬 수 있었지요.
지난 시간에는 대입법을 푸는 방법을 배웠습니다.
한 문자로 정리한다음, 그 문자를 다른 식에 집어넣어서 푸는 방법이었죠.
네 끝났습니다.
뭐라구요?
끝이요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
연립방정식의 기본 풀이 방법은 다음과 같았죠.
1. 두 식의 정보를 하나로 합쳐서 하나의 식으로 만들어야 한다.
2. 이 때, 미지수 한개를 소거해야 남은 미지수 값이 무엇인지 '확실히' 알 수 있다.
더 요약하면 다음과 같죠.
1. 둘을 하나로 합쳐야 한다.
2. 미지수 하나를 소거해야 한다.
그렇게 해서
두 식을 빼고 더하는 방법으로 합치고, 계수를 같게해서 미지수 하나를 소거 하는 방법이 가감법.
y나 x에 대해서 정리하고, 그것을 대입해서 미지수 하나를 소거하는 방법이 대입법이지요.
잘 안와닿으시나요?
문제를 직접 풀어보면서 해보겠습니다.
이렇게 연립방정식이 주어졌습니다.
윗식과 아랫식 두 개의 식이 주어졌습니다.
연립방정식을 푸는 의미는?
"윗식과 아랫식을 둘다 만족하는 순서쌍 (x,y)를 구하면 답이 뭐니?"
와 같았죠. 기억나시죠?
이미 한 100번은 말한것 같군요.
이전과 같이 가감법을 이용하려면 등식의 변형을 통해서 윗식이나 아랫식을 같은 꼴로 맞춰준 후
예를 들면 다음과 같이요
이렇게 해서 다시 양변에 같은 수를 곱해서
더하고 뺴고하면 답이 나와서
그것을 다시 대입해서 전체 순서쌍을 찾았죠.
아무렴요. 수학을 몇년째 공부하는데 이걸 모르겠어요?
그리고 이미 지난시간에 한 내용인데요.
근데, 굳이 저럴 필요 없이
y = 2x-4라는 조건을 이용해서 대입법으로 풀어보자는 거지요.
즉,
x+3y=9 는 x+3y=9 인데,
그 와중에 y=2x-4 이려면 어떻게 해야 할까?
이것이 바로 대입법으로 푸는 방법입니다.
다시 말하면
x+3y=9 이면서 [(x,y)가 x+3y=9를 만족하면서 란 말과 같습니다.]
y=2x-4 를 만족하려면 어떻게 해야될까?
x+3y=9 를 만족하는 (x,y)는 엄청나게 많은 것 알고 계시죠?
또 한번 그래프로 그려 볼까요?
x+3y=9의 그래프는 다음과 같습니다.
x+3y=9의 그래프를 그리는 방법을 다시 한번 설명하자면,
x+3y=9를 만족하는 순서쌍 (x,y)를 구해서
그것을 좌표평면 위에 점으로 여러개 찍다보면
저렇게 직선 모양이 나오지요.
지난 시간에 공부했던 내용들입니다.
저 직선 위 점이 바로 방정식의 해가 되고,
방정식의 해가 바로 직선을 이루는 점이 되었었죠.
아무튼,
x+3y=9 인 점들은 엄청나게 많은데,
그 와중에 y=2x-4 까지 만족하는 것을 찾는 것이
바로 연립방정식을 푸는 목적입니다.
2강전에 이야기 했었지만
연립방정식의 윗식과 아랫식은 사실상은 독립적인 정보들을 주루룩 갖고있어서 [서로 다른 해를 주루룩 갖고 있었죠. 기억나시죠?]
윗식 -2x+y=-4 의 x,y 와
아랫식 x+3y=9 의 x,y는 서로 막 뛰어놀고 있는 애들인데
두 식을 동시에 만족하는 바로 그 (x,y)를 찾는 것이 연립방정식을 푸는 것이었지요.
다시 대입법으로 돌아오자면,
x+3y=9 인 점들은 엄청나게 많은데,
그 와중에 y=2x-4 까지 만족하는 것을 찾아야 합니다.
그렇다면 다른 건 몰라도,
x+3y=9 에 있는 y 역시
y=2x-4 를 만족해야 되지 않겠어요?
그런 마음가짐을 갖고 y에 2x-4를 대입하는 것이 바로 대입법입니다.
x+3y=9 를 만족해야 되는데,
y=2x-4 도 만족해야 된다.
그렇다면 x+3y=9 에 있는 y 역시 2x-4 가 되어야 되지 않을까?
이런 마음으로 푸는 것이지요.
그렇다면 대입해봅시다.
바로 이 대입하는 과정이, 지난시간에 가감법을 통해 양변을 더하고 빼는 것 같이
'두 식의 정보를 하나로 합치는 과정입니다.'
이렇게 대입을 하게 되면
미지수가 자연스럽게 소거가 되면서 x만 남게 되는데 그 의미는 다음과 같습니다.
'x+3y=9 이면서, y=2x-4 일 때의 x는 어떤 숫자일까?'
그렇게 대입을 해서 x 값을 구해봅시다.
이렇게 x 값이 나왔다면, 여태껏 가감법을 풀어 왔듯이 x값을 다시 윗식이나 아랫식에 대입하게 되지요.
이렇게 y값까지 찾아낼 수 있게 됩니다.
즉, 하나의 식을 x나 y에 대하여 정리한 다음에,
그 정리된 식을 가지고 나머지 식에 '대입'하면서 두 식의 정보를 하나로 합치고,
그렇게 하면서 미지수 하나가 자연스럽게 소거되어서 남은 미지수 하나의 값을 정확히 찾을 수 있게 되지요.
그래서
'x+3y=9 이면서 y=2x-4 이려면, x+3y=9에서 y역시 2x-4 로 바꿀 수 있겠지?
그렇게 바꾸면 두 식을 동시에 만족하는 x값이 무엇인지는 찾을 수 있겠네.
그렇게 찾은 값을 가지고 하나의 식에 대입하면 남은 y값도 찾을 수 있겠구나.'
이때도 역시 지난 시간에 말한 것처럼
'원칙적으로는 나온 해를 윗식과 아랫식에 둘다 대입해서 진짜 두 식을 모두 만족하는지 확인해 봐야 되지만,
사실상 (우리 수준에서는) 그럴 필요가 없습니다.'
푸는 방법을 다시 한 번 생각해보면
윗식과 아랫식을 동시에 만족시키려면 x값이 어떻게 되야 하는가? 에 대해 물어본다음 그 답을 찾았고,
그 답인 x는 자연스럽게 윗식과 아랫식을 동시에 만족하게 됩니다.
당연하죠? 애초에 질문이, 동시에 만족시키는 x는 뭐냐? 에 대한 답이 구한 x값이니까요.
그런데 우리는 x값에 해당하는 y값도 역시 찾아주어야 하므로
윗식이나 아랫식 아무데나 x를 대입해서 y를 찾아주면
당연히 위에 대입하건, 아래에 대입하건 y값은 똑같이 나올수밖에 없겠죠.
애시당초 그렇게 구한것이니까요.
왜 또 우리수준에서만 그렇냐 물으신다면,
저번에 설명드린 것과 같이 이차식이 등장하게 되면
그렇게 구한 (x,y)가 항상 위아래식을 동시에 만족하게 되는 것은 아니라서랍니다.
그 이야기는 고등학교 들어와서 자세하게 하게 되니 걱정하지 않기로해요.
아무튼, 이러쿵저러쿵하단건 알겠는데, 왜 대입법으로 풀어요?
그냥 가감법이 훨씬 쉬운것 같은데요.
예 맞아요, 가감법이 훨씬 쉽죠.
그런데 지금은 미지수가 2개인 '일차방정식'만 다루기 때문에 가감법이나 대입법이나 큰 차이가 없지만
나중에 학년이 점점 오르게 되면 가감법으로는 풀지 못하는 경우도 생긴답니다.
그럴 경우를 대비해서 대입법을 배우는 것이죠.
아니면 y=2x-4 처럼 대입하기 딱 좋게 연립방정식이 나오게 되면,
대입하면 되니까 알아두어서 나쁠건 없죠.
그래서 여기까지가 대입법을 푸는 방법이었습니다.
여러분 짜증나시죠?
x,y가 어쩌구저쩌구하는 이야기를 듣다보니 뭐가뭔지 하나도 모르실수도 있겠어요.
그치만 그게 정상입니다.
우리 중학교 2학년들이 중점적으로 하는 것은 '연립방정식을 푸는 것'이고
어떻게 이렇게 풀 수 있는가는 고등학교에 들어와서 '자연스럽게 깨달아지게 되는데'
사실은 끝까지 자연스럽게 깨닫지 못하는 사람들이 많죠. 그래서 연립방정식을 처음 배우는 중학교 2학년때부터
조금씩 진짜 의미를 알려주도록 하자. 란 기획에서 나온 강의니까요.
중학생때 이것을 읽어서 이해가 되지 않았다면
그냥 과감히 넘어가세요.
가감법은 더하고 빼서 하나만 남겨서 구한다.
대입법은 대입해서 하나만 남겨서 구한다.
이것이 가장 쉬운 방법이고, 그렇게 되는 이유는 고등학교 들어와서 배워도 늦지 않으니까요.
굉장히 간단한 말을 어렵게 빙빙돌려가며 말하고 있는 것 같지요?
그 '간단함'을 느끼고 있다면 그것으로 됩니다.
그치만 조금이나마 더 도움이 될까 싶어서 주저리주저리 이야기하고 있는 것이니 읽어보시길 바랍니다.
오늘은 글이 너무 많지요? ㅋㅋ ㅠㅠ
죄송하네요.
그럼 다음 네 문제를 놓고 갈테니 연립방정식을 풀어보세요.
등치법은 안 배워요?
등치법은 사실 따로 배울 필요가 없어요.
푸는 방법이 대입법하고 똑같거든요.
대입법이랑 똑같은게 아니라, 사실은 대입법으로 푸는 것 중에 특수한 경우를 등치법이라고 해요.
위의 문제 3번을 볼까요?
두 식을 동시에 만족하려면,
둘다 y=어쩌구저쩌구, y=어쩌구저쩌구 라고 되어 있으니까
두 식을 동시에 만족하려면
어쩌구저쩌구끼리 같아야만 하겠죠?
그래요. 그렇게해서 x+1과 3x-5가 같아야 되겠구나.
두 식을 동시에 만족하는 x값은 x+1=3x-5를 만족하겠구나
해서 푸는 방법을 등치법이라고 한답니다.
사실은 y=3x-5 에서 y=x+1을 대입한 것이랑 똑같지만 말이에요.
그냥 보는 관점의 차이일 뿐이지요.
참 쉽죠?
여러분 정말 수고가 많습니다 ㅠㅠ
이렇게 길게 연립방정식 단원을 달려와보았는데
제대로 같이 따라오셨다면 정말 축복 받을 중학생이시고,
아니라면 뭐 과감하게 이해안되는 부분은 넘기셔도 될 것 같아요.
그치만 연립방정식을 푸는 방법 자체는
꼭 기억해두어야 한다는것!
다음 시간에는 연립방정식의 활용편으로 다가오겠습니다.
활용이라고 해서 겁먹지 말구요
제가 함께하니까요.
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