일단 박수부터 치고 시작합시다 짝짝짝!!!!!!
세상에 어느 중학교 2학년이 이런 얘기를 알고 연립방정식을 공부했을까요?
전혀 없을걸요
어려운 과정을 지나온 자신들을 위해 박수!
오늘은 교과서에 언급되어 있지는 않지만,
그래도 연립방정식을 풀 때 알아두어야 할 중요한 것들을 한번 배워볼꺼에요.
그런데 제가 기억이 가물가물해서인지
이게 중학교 2학년 때 진짜로 배우는 내용인지 기억이 나질 않네요.
혹시 이런 걸 한번이라도 봤다! 하면 보시고,
안봤다! 싶으면 보세요.
엥? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
안봤다! 싶으면 그냥 한번 읽어보기만 하세요.
머리아픈데 이해하려 노력하지는 말구요.
아무튼 오늘 배울 것들은
이름하여 가면을 쓴 연립방정식과,
이루어질 수 없는 이상한 연립방정식이죠.
평범한 연립방정식
그럼 들어가기에 앞서, 평범한 연립방정식부터 푸는 방법을 다시 한 번 되새겨 봅시다.
연립방정식의 풀이 방법에 담긴 의미는 더 이상 이야기 하지 않을거에요.
다들 이전 강의들을 한번씩 읽어보시고 오셨죠?
어느 정도 감만 잡혔다면, 그 방법을 통해서 실제로 답을 구하는 것이 (중학교 2학년 과정에서는) 더 중요하답니다.
저렇게 생긴 연립방정식은 x에 관해서 정리하거나 y에 관해서 정리한 다음에 대입하기보다는
하나의 식을 정해서 적당히 양변에 같은 숫자를 곱해서 계수를 맞춰준 다음 빼주는 가감법을 이용하는 것이 훨씬 낫죠.
해볼까요?
x나 y중 하나를 선택해서 소거시켜야 할텐데,
음,, y를 선택하면 3y, 2y이기 때문에 윗식과 아랫식을 모두 건드려주어야 하죠?
귀찮으니까 x를 없애는 것이 좋겠어요.
그럼 두 식의 x의 계수를 맞춰주기 위해 밑 식의 양변에 2를 곱해줍시다.
양변에 같은 숫자를 곱해도 항상 식이 성립하니까요.
좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 빼서 소거시켜주면??
어찌됐든지간에 y는 -1이 꼭 되어야 두 식을 모두 만족한다는 사실을 알게 되었네요.
그럼 y는 -1을 아무군데나 하나 대입해줍시다.
전 윗식을 선택했어요.
음 그렇군요, y=-1일때 윗식을 만족하는 x=4 가 되어서
연립방정식의 해가 x=4, y=-1 임을 확인할 수 있네요.
이를 다르게 나타내어 x,y의 순서쌍으로 나타내면 (4,-1) 이 되지요.
이 값을 아랫식에도 대입해서 실제로 두 식을 모두 만족하는지 확인해야 되지만
이렇게 지금처럼 일차방정식 두개가 연립된 꼴에서는 그 과정이 필요하지 않다고 했었죠?
즉, 밑에 식에 y=-1을 대입하든, 위에 식에 y=-1을 대입하든 x는 항상 4가 나타나게 된답니다.
그래요.
이렇게 연립방정식을 풀 수 있었어요.
가감법을 사용했지만 대입법을 이용하든, 등치법을 이용하든 모두 다 똑같이 (4, -1)의 값을 얻을 수 있죠.
그런데 (4, -1)이 의미하는 바가 뭐였었죠?
위 식과 아래식을 모두 만족하는 (x,y) 값이었죠?
이를 그래프로 나타내보면 요런 모양이 나옵니다.
를 그래프로 나타내면 하나의 직선모양 그래프가 된다는 것은 이미 배웠었죠?
위 식을 만족하는 (x,y) 순서쌍을 모두 좌표평면 위에 나타낸다고 배웠었어요.
이걸 보면 여러분들은 이전에 봤던 글이 생각나실거에요.
'연립방정식은 위 아래 식을 모두 만족하는 (x,y)를 찾는건데,
사실 윗식과 아랫식의 (x,y)는 뛰놀고 있는 (x,y)들이었다.
이것들이 꼭 같아지는 (x,y)를 찾는 게 바로 연립방정식을 푸는 목표!'
그러니까는 결국 보라색 직선은 2x+3y=5 를 만족하는 (x,y)들이,
빨간색 직선은 x+2y=2를 만족하는 (x,y)들이 주르륵~ 나열되어 있는 모양인데요.
둘을 동시에 만족시키는 것은 두 직선에 공통적으로 있는 바로 저 점!
바로 두 직선이 서로 만나는 점, 교점(이라고 하죠)이 바로 x=4, y=-1이 된다는 것을 확인할 수 있었지요.
자, 좋습니다.
여기까지 같이 왔던 분들이라면 이 이야기가 무슨 이야긴지 이해하실 수 있을거에요.
이해가 안된다면 댓글다는 거 잊지마시구요.
근데 무슨 새로운걸 배울것처럼하더니 복습만 계속 하냐구요?
왠걸요, 이것만 다 할줄알면 그 다음부터는 식은 죽 먹기거든요.
영어를 쓰는 사람들은 'piece of cake'라고 한답니다.
그건 케이크 한조각이나 마찬가지야!
라고 하는 거죠.
우리는 식은죽 먹는게 쉬운데, 그 쪽은 케이크를 먹는게 쉬운가봅니다.
아 우리는 누워서 떡먹기도 있으니 참 언어생활이 다양하다고 볼 수 있겠네요.
가면을 쓴 연립방정식,
다음 문제를 보면 뭔가 황당해질 수도 있겠습니다.
안 황당하면 말구요~
그럼 이것도 역시 풀어볼까요?
연립방정식을 푸는 방법은 가감법, 대입법, 등치법 등이 있는데
[사실 이름이 중요한 건 아닙니다]
쉽게 말하면
계수 맞춰서 빼고 더하는 방법과,
하나로 정리해서 대입해서 푸는 방법
크게 두가지로 이루어졌다고 생각할 수 있는데,
보통 우리 학년에서 배우는 수준에서는 빼고 더하는 것이 더 쉽고 간편한 방법일겁니다.
대입법은 아예 식이 'y=2x+3'이렇게 대입하기 쉽게 나타나져있거나,
아니면 중3, 고1을 거치면서 2차식을 배우게 되면 그 때 대입법을 쓰는 게 유용합니다.
아무튼, 이번에도 역시 위 아래의 계수를 맞춰준 다음 빼는 방법을 사용해 봅시다.
윗식에 곱하는 것이 아무래도 낫겠지요?
그럼 x에 곱할까요 y에 곱할까요
음... 둘 다 3배하면 아래식의 계수와 똑같아지니까 뭘 하든 크게 상관없을것 같아요.
해보죠.
???? 뭔가 좀 이상하긴 하네요.
둘이 모양이 똑같아 졌죠?
그래도 일단 빼볼까요?
엥?????
0=0 이라니 참... 이게 무슨일인가요?
근데 사실 당연한 것 같기도 하네요, 윗식과 아랫식이 똑같은 식이었으니까 당연히 빼면 좌변과 우변 모두 아무것도 남지 않겠죠.
그럼 이게 무슨 의미인지 한번 알아봅시다.
연립방정식을 푸는 목적을 벌써 백만번째 얘기하는 것 같지만 한번 더 언급하자면
'윗식과 아랫식을 모두 만족하는 (x,y)가 바로 연립방정식의 해' 입니다.
근데 이 경우에는 변변 빼는 방법으로 x값이나 y값을 따로 얻을 수가 없어요.
빼보았자 0=0이 되어서 얻을 수 있는게 하나도 없어지네요.
보통 빼면 x=3, y=-1 이런식으로 뭔가가 남게 되는데,
이럴때는 위아래가 완전히 똑같기 때문에 그렇게 되지 않습니다.
그럼 대체 답이 뭐죠? 답은 '없다'일까요?
아니죠. 힌트는 '윗식과 아랫식이 완전히 똑같다.'입니다.
완전히 똑같으면 뛰놀고 있는 (x,y)역시 완전히 똑같지 않겠어요?
그래프로 나타내 볼까요?
두 식의 (x,y)가 뛰놀고 있는 모습을 보기 위해 그래프로 그려봤습니다.
근데 당연하게도, 위아래식은 완전히 똑같은 식이죠. [양변에 같은 숫자를 곱해도 같은 식이 되는 사실 알고 계실거에요]
그러니까 그래프 역시 똑같은 직선이 되어서,
그래프 그리는 그림을 통해 그려봤더니
빨간색과 보라색이 섞여서 약간 굵어진 하나의 직선 모양을 하고 있어요.
그럼 이 때의 연립방정식의 해는 무엇일까요?
평범한 연립방정식의 해는, 두 직선 모두에게 공통적으로 있는 점, 바로 교점이 연립방정식의 해가 되었는데,
이번에는 교점이라고 딱히 부를만한게 없고, '모든 점이 공통인 점'이 되버렸네요!
수학에서는 이럴 때도 각각의 모든 점이 교점이라고 합니다.
아! 그니까 결국에 저 연립방정식의 해를 구하시오. 라고 하면
"저기 직선 위에 있는 점 다~"
라고 대답하시면 됩니다.
그런데, 매번 이렇게 직선을 그려서 표현하는 것은 너무 힘든 일이니까
사람들은 서로 이정도 까지만 말해도 서로 알아듣기로 했답니다.
"해가 무수히 많다."
(해가 헤아릴 수 없이 많다. 즉, 해가 엄청나게 많아서 끝이 없다. 무한하다는 소리입니다.)
그러니까 결론은 이거죠.
'윗식과 아랫식이 서로 똑같은 식이면, 해는 하나가 아니라 무수히 많다.'
당연한 얘기죠?
여기서 서로 똑같은 식이란 것은, 양변에 같은 숫자를 곱해서 서로를 만들 수 있으면 똑같은 식이라고 할 수 있습니다.
해가 하나가 아니라 무수히 많다는 사실은 뛰어놀고 있는 모든 (x,y)가 모두 해가 되니까 당연한 얘기가 될거에요.
이렇게 바로 '서로 똑같으면서 사실 아닌척 한다'는 관점에서
가면을 쓴 연립방정식, 분신술을 쓴 연립방정식이라고 해봤어요.
내가 분신을 써놓고,
나랑 얘가 갖고 있는 공통점을 찾아봐! 라고 하면
사실 모든 게 공통점이 되겠지요.
키, 얼굴, 생김새, 성격, 눈동자 색깔 등등등등 다른게 어딨겠어요? 똑같은 사람인데
이것도 그렇답니다.
이루어질 수 없는 이상한 연립방정식
이번에도 문제를 통해서 접근해보도록 해요.
긴말 안하고 싶어요.ㅜㅠ
윗 식에 2를 곱하면 계수를 맞출 수 있겠지요?
맞춰봅시다.
오, 이런
이번에도 뭔가 불길한 기운이 굉장히 강하게 느껴집니다.
변변 빼보도록 하죠.
세상에나,
0이 1이라고요?
세상에나, 세상에나,
이런 말도 안되는 말이 어딨어요
0이 1이라니요
세상에나...
이게 무슨...
도대체 이게 무슨........
"이런 경우를 수학에서는 모순, 즉 일어날 수 없는 상황."이라고 합니다.
모순이 발생하는 이유는 맨 처음의 가정이 잘못되었기 때문이에요.
다음 이야기를 한 번 볼까요?
꽥꽥 소리를 내는 것은 오리다.
그런데, 철수가 심심해서 꽥꽥 소리를 냈다.
그러므로, 철수는 오리다.
철수는 분명히 사람인데, 오리가 되어버렸습니다.
이 이유는 뭘까요?
바로, 꽥꽥 소리를 내는 것은 오리다.라는 말이 뻥이기 때문이죠.
맨 처음, 꽥꽥 소리를 내는 것이 오리란 말이 잘못되었으니
철수가 오리가 된 이상한 결론이 나왔죠?
그럼 0=1이란 이상한 결론이 나오게 한 잘못된 가정은 무엇일까요?
연립방정식을 푸는 원리 -가감법(이전 강의 내용이에요) 에서,
가감법을 푸는 원리는
'변변 빼는 과정에서 x와 y를 같은 것이라고 가정, 하고 변변 빼게 된다.'
라고 했었지요.
그래요그래요.
그런데 윗식과 아랫식을 아주 자세히 보세요.
둘다 2x+4y인데,
하나는 6이고 하나는 5가 되어요.
똑같은 2x+4y인데 값이 서로 6과 5로 다를 수가 있을까요?
절대 그럴 수 없겠죠? 즉 (x,y)가 뛰어노는 것이 서로 완전히 다르다 이말입니다.
근데도 x와 y가 같다고 해놓고 변변 빼버렸으니
0=1이라는 무시무시한 결과가 나오게 된거죠.
이번에도 그래프를 통해서 한 번 볼까요?
와우!
이렇게 서로 평행한 두 직선이 쭉~ 되있는걸 보니까
결국 공통된 점이 하나도 없는 걸 알 수 있죠?
모두
여기서
같은 2x+4y인데 그 값이 서로 다른 일은 있을 수 없기 때문이죠.
그래서 이럴 때는 '두 식을 만족하는 해는 없다.' 줄여서 '해가 없다'라고 합니다.
그래서 사실 보면,
해가 없는 경우와 해가 무수히 많은 경우는 한끝 차이죠.
요렇게 생기면 해가 없구,
요렇게 완전히 똑같으면 해가 무수히 많으니까요.
그 이유도 쉽게 설명할 수 있죠?
좌변의 식이 아주 똑같이 생겼는데
우변의 값은 서로 다르면
'그럴 일은 일어날 수 없다.'
아주 똑같이 생겼는데
우변까지 똑같으면
'모두 다 해가 된다.'
그래요. 그래요
이에 비해
평범한 연립방정식은 소거시키면 항상 이쁜 x나 이쁜 y 하나만 딱 남게되니까
그럴일이 없는 이쁜 방정식이죠.
오늘은 이렇게 특이한 연립방정식을 배워봤어요.
원래는 연립방정식의 활용으로 바로 넘어가려고 했는데
이런 것을 검색하시는 분이 꽤 많은 것 같아서 적어보았어요.
이게 진짜 진도에 나오는지 가물가물하니까
선생님께 한번씩들 여쭤보시고
안나온다면 뭐 그냥 한번 읽어봤다 싶은 정도로 생각하시면 될것 같아요.
다음 시간에는 연립방정식의 활용, 즉 속도 농도 뭐 이런
'사람들 다 싫어하는데 이봇만 좋아하는, 그래서 완전 잘하는, 그래서 여러분도 잘하게 될'
그런 부분을 다뤄보기로 해요.
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