부등식 - 부등식의 성질로 대입안하고 풀기

지난 강의 보러가기 : 

부등식 - 일차부등식, 부등식의 해, 대입해서 풀기

부등식 - 부등식의 성질로 대입안하고 풀기

안녕하세요 여러분!

지난 강의는 안어려웠을까 모르겠어요.

사실 어려운 내용은 없었지만, 예제문제가 어려운 예시였던 탓에 (디딤돌 나빠요 ㅠㅠ) 여러분들이 몹시 헷갈리지 않았을까 걱정됩니다 ㅠㅠ

다들 어렵다고 얘기하면 후다닥 예제문제 더 괜찮은걸로 바꿔볼게요~!

어쨌든 중요했던건

부등식의 해는 '주어진 미지수 값(후보)들 중에서' '직접 대입했을 때' 부등식을 성립하게 하는 것이란 사실!

주어진 미지수 값들이란, x가 될 수 있는 숫자 후보들을 이야기하는 거였죠. 기억나죠?

기억 안나거나 이 강의를 처음 본사람들은 위에 링크를 눌러서 이전 강의를 한번 보고 오길 바래요.

지난 시간 마지막 문제에서

x가 집합 {2,3,4,5}의 원소일 때, 부등식 2x+1>8을 풀어라. 하는 문제가 있었죠?

이때 집합 {2,3,4,5}가 x가 될 수 있는 후보들이었죠. 여기 있는 애들을 차례차례 대입해보면, 부등식을 성립하게 하는 애들도 있고, 아닌 애들도 있고

성립하게 하는 애들은 4,5 (각각 좌변을 9,11로 만들었죠)
성립하지 않게 하는 애들은 2,3 (각각 좌변을 5,7로 만들었죠)

이제 감이오죠?

이건 사실 부등식에서만 이렇게 x의 후보들이 주어지는 건 아니에요.

생각해봐요. 우리는 중학교 1학년때 음수를 처음 배웠잖아요?

그 전에 우리가 초등학생일때는 음수가 뭔지 전혀 몰랐었어요.

그럴 때 x + 3 = 0 이런 문제를 풀라고 하면 애들이 풀 수 있었을까요?

초등학생들이 아는 숫자는 0이랑 자연수밖에 없으니까, 0부터 차례차례 대입해볼텐데

그래도 x+3 을 0으로 만드는 애는 없을거잖아요.

그럼 초등학생들은 '해가 없어요!' 라고 말하겠지요.

방정식이나 부등식이나 항상 주어진 x의 후보들이 있고,

거기서 생각하면 된답니다

그렇지만!

우리는 음수가 뭔지도 알고, 대부분의 수에 대해 잘 아는 것 같아요.

그럼 이 부등식을 볼까요?

지난 시간 문제는 'x가 집합 {2,3,4,5}의 원소일 때, 부등식 2x+1>8을 풀어라.'

였기 때문에 x에 대한 조건이 있었지만 (x의 후보들이 정해져 있었지만)

사실 그 조건을 풀어버리면

6도 의 해가 되겠죠? 대입하면 성립하니까요.

그래서! 사실은 특별한 말이 없으면 x의 후보들은 우리가 아는 숫자 전체로 생각한답니다

x에 대한 조건이 따로 없는거죠.

기억해두세요!

원래는 방정식이나 부등식이나 미지수(x)의 후보들이 정해져 있지만,

특별한 언급이 없으면 우리가 아는 수 범위 전체가 후보들인 것으로 생각한다.

왜냐? 그게 더 자연스러우니깐!

분명히 6이 의 해라는 걸 아는데, 특별한 일이 없는 이상 6을 x의 후보에서 제외시킬 필요가 없다!

라는 이야기죵

그럼 지난시간 이야기가 다 정리되었죠!

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부등식의 성질로 대입안하고 풀어보자!

그런데 지난 강의에서 여러분에게 대담한 선언을 했어요.

앞으로는 일일이 대입해서 문제를 풀지 않을거라구요.

그건 귀찮기도 하지만, 사실 불가능하기도 해요.

 이 문제에서

4도 해지만, 4.01도 해고, 4.000001도 해고, 4.5도 해고 

해가 엄청나게, 무수히 많기 때문에 이것들을 일일이 대입해서 알아볼 순 없겠죠?

그래서 대입하지 않고 푸는 방법을 알아볼건데,

그걸 하기 위해 알아둬야 할 게 부등식의 성질이에요.

부등식의 성질이 뭔지 한번 설명해주면, 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눌때 부등식이 어떻게 되는지에 대한 이야기죠!

음.. 생각해보면 중학교 일학년때 등식의 성질을 배웠었던 것 기억나죠?

사실 그거랑 매우 흡사하답니다.

저울에 있는 무시무시한 낙서는 무시해주시고.. 허허

저울 그림부터 볼까요? 

왼쪽 그림을 보면, 처음 분동을 하나씩 올려놨을 때는 오른쪽이 더 밑으로 기울어져 있음을 알 수 있어요.

오른쪽 분동이 더 무겁다는 소리겠죠?

이를 식으로 표현하려면 어떻게 해야될까요?

식으로 표현하려면 이름이 있어야 하는데

저 분동들을 이름을 뭐라고 할지 모르겠네요 ㅋㅋ... 그냥 왼쪽 분동과 오른쪽 분동이라고 할게요. 왼쪽 그림에서 얘기하는 거에요!

(왼쪽 분동 무게) < (오른쪽 분동 무게)

이런 식이 되겠죠?

그런데 ㉠과정에선 무슨 일을 하냐면, 똑같은 무게의 분동을 왼쪽과 오른쪽에 동시에 올려놨어요.

그럼 오른쪽으로 기울어졌던 저울이 행여나 왼쪽으로 기울어지게 변할까요? 

아니겠죠? 그냥 그대로 오른쪽으로 기울어져있을 거에요.

왜냐면 원래부터 무거웠던건데, 똑같은 무게를 더해봤자 오른쪽이 여전히 무거울테니까요

(왼쪽 분동 무게) + (작은 분동 무게) < (오른쪽 분동 하나) + (작은 분동 무게)

요렇게 된다 이말입니다!

반대로 ㉡과정으로 작은 분동 두개를 동시에 떼봤자 저울은 또 가만히 있겠죠.

음.. 그런데 생각해보면 두개를 떼는 걸 저 식에서 표현하자면 양변에 (작은 분동 무게)를 빼는 것과 같겠죠?

처음에

(왼쪽 분동 무게) + (작은 분동 무게) < (오른쪽 분동 하나) + (작은 분동 무게)

요거였으면

(왼쪽 분동 무게) + (작은 분동 무게) - (작은 분동 무게)< (오른쪽 분동 하나) + (작은 분동 무게) - (작은 분동 무게)

이렇게 빼도 여전히 된다!

곧

(왼쪽 분동 무게) < (오른쪽 분동 무게)

이렇게 된다 이말입니다!

 그러니까 종합해보면,

원래 한쪽이 무거웠으면,

같은 무게를 동시에 더해도

혹은

같은 무게를 동시에 빼도

여전히 무거운 쪽은 정해져 있더라. 이 소리에요.

여러분도 식으로 잘 표현할 수 있겠죠?

이번엔 넓이에요.

이것도 똑같겠죠?

그런데 이번엔 ㉡과정을 중점적으로 봐요.

오른쪽 그림에서 흰색+검은색을 왼쪽 한덩어리로, 회색+검은색을 오른쪽 한 덩어리로 보면

왼쪽이 오른쪽보다 넓은걸 알 수 있죠?

이 때 검은색만큼만 떼어 놓은 그림이 왼쪽 그림인데

그래도 여전히 왼쪽 타일이 더 넓은걸 알 수 있죠.

식으로 표현하자면!

(왼쪽 덩어리 넓이) > (오른쪽 덩어리 넓이) 였으니깐,

(왼쪽 덩어리 넓이) - (검은색 타일의 넓이) 와 (오른쪽 덩어리 넓이) - (검은색 타일의 넓이) 이 두개를 비교해도

여전히 왼쪽이 더 크다

즉,

(왼쪽 덩어리 넓이) - (검은색 타일의 넓이) > (오른쪽 덩어리 넓이) - (검은색 타일의 넓이) 

이렇게 된다 이소리죠.

다시 말해

원래 왼쪽 넓이가 더 크다면, 같은 넓이의 타일을 새로 붙여도 부등호의 방향은 변하지 않고, (여전히 왼쪽 넓이가 더 크고)

같은 넓이만큼 빼도 부등호의 방향은 안변한다는 소리죠.

생각해보면 당연하죠? 무게와 넓이를 둘다 숫자라고 생각해보면

어느 한쪽 숫자가 더 크다면 같은 크기의 숫자를 양쪽에 더해도, 양쪽에서 빼도 그 차이는 변하지 않을테니까요.

10과 3을 비교해보자면

10 > 3 이건 당연하니

여기에 5를 각각 더한

15와 8을 비교해보면

여전히

15 > 8 왼쪽이 더 큰것을 알 수 있지요.

이게 부등식의 성질 첫번째에요!

부등식의 성질 (1)

1. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

이를 일반적인 식으로 쓰면 이렇게 되죠

a<b 이면 

a+c<b+c (같은 수를 더해도 부등호의 방향은 안 바뀐다)

a<b 이면 

a-c<b-c (같은 수를 빼도 부등호의 방향은 안 바뀐다)

에이 뭐에요! 너무 시시해요 ㅠㅠ

맞아요.. 등식의 성질이랑 너무나 똑같죠?

그런데 이 밑에서부턴 조금 다릅니다 

혹시 나이 지긋한 사람이 이걸 볼지도 모르겠어요!

등식의 성질과 부등식의 성질이 같은 수를 더하거나 뺄때 똑같이 나타나는데, 이는 왜 그런걸까요?

등식과 부등식은 기본적으로 두 수가 크냐 작냐 혹은 같냐를 이야기하는 식들이죠.

이를 다른 관점에서 살펴보면 두 수의 '차'가 얼마인지 판별하는 것이라 할 수 있어요.

크면 차이가 양수일거고, 작으면 차이가 음수일거고, 같으면 차이가 0이겠죠?

그런데

두 수가 있을때 같은 수를 더해도 차이는 변하지 않게 되지요.

그렇죠? 그래서 등식의 성질과 부등식의 성질 첫번째가 동일하게 나타나는 거랍니다.

밑에 나올 부등식의 성질 두번째나 아니면 등식의 성질 두번째

즉 같은 수를 곱하거나 나눠도 같다. (부등식에선 양수일때지만요)

같은 수를 곱하면 차이 역시 그만큼 (그 배수만큼) 늘어나게 되니까 역시 두 성질이 동시에 성립할 수 있는 거에요

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까지는 중학생 여러분도 어찌어찌 이해할 수 있을텐데, 이거는 좀 더 고급진 내용일거에요.

우리는 등식의 성질과 부등식의 성질을 같은 수를 더하고 빼고 곱하고 나누고 할때만 다루죠.

같은 수를 더하고 빼고 곱하고 나누었을 때 두 수의 차이가 어떻게 되나 살펴봤더니 얻은 성질들이었어요.

그런데 등식의 성질은 조금 다르게 볼 수도 있어요.

'같은 것 두 개에는 똑같은 짓을 하면 역시 같다! 왜냐구? 같은놈이니까!'

생각해보면 당연하죠. 만약에 철수랑 영희를 아침부터 밤 10시가 되도록 굶겼다면 두 사람은 얼마나 배고파할까요?

글쎄요.. 사실 영희는 전날부터 배가 탈이나서 밤 10시까지 아무것도 안먹었어도 전혀 배가 안고플지도 몰라요.

그치만 철수랑 철수를 비교해보면 어떨까요? 좀 웃긴 말이지만,

어차피 똑같은 사람이니까 철수가 탈이 났던 탈이 안났던 배고픈 정도는 동일하겠죠.

이게 바로 같은 것끼리 통하는 성질입니다.

뭔 짓을 해도 같을수밖에 없어요!

그래서 나중에가면 등식이 있으면 거기에 로그를 취해도 같고, 지수꼴로 올려도 같고, 리미트를 붙여도 같고 (고등학교 과정)

혹은 두 수 a와 b가 같으면 a^3+3a+5 와 b^3+3b+5도 같겠죠. 당연한 얘기죠?

그치만 부등식은 조금 다릅니다. 두 수가 부등식으로 주어졌다는 건 (a<b) 결국 두 수가 다르다는 걸 의미하며,

이 때는 차이를 다루는 '더하기,빼기,곱하기,나누기'가 아닌

다른 똑같은 행위를 해도 그 행위가 끝난 다음의 두 수가 여전히 한쪽이 더 클지(여전히 부등호 방향이 변하지 않을지)는 미지수라는 얘기랍니다.

철수랑 훈이가 있는데 철수가 지금은 힘이 더 세다고 해봐요.

그런데 어느날 슈퍼히어로 실험이 있어서 둘 다 어떤 주사를 맞았다?

그런데 철수는 반응을 안보였는데 훈이한테는 어떤 유전자가 있어서 주사로 인해 갑자기 힘을 엄청나게 얻은 각성상태가 될지도 모르지요.

이렇게 두 수가 다르면, 거기에 똑같은 짓을 한다고 해서 여전히 부등호 방향이 안바뀔지는 모르는 얘기랍니다.

그래서 결국!

등식의 성질과 부등식의 성질이 똑같아 보이는 이유는

이 성질들로 다루고 있는 것이 두 수의 차이를 갖고 얘기하는 '더하기 빼기 곱하기 나누기'이기 때문이랍니다.

등식의 성질만이 더 일반적인 경우에도 성립하죠. 이러게요

'a=b 이면 f(a)=f(b)이다,'

즉, a랑 b랑 같으면, 그거 두개한테 뭐가 됐든 똑같은 짓만 하면 여전히 같다!

이 소리가 되겠어요.

어렵다구요? 사실 몰라도 되는 얘기들이랍니다^0^

특히 중학생은 힘들게힘들게 읽었을텐데 훠이훠이! 나중에 고등학교 과정을 공부하고 나서 다시 방문해서 읽는게 좋을거같아요.

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원래 큰 수가 계속 크지 않을 때도 있다

이번엔 곱하기와 나누기를 한번 해보죠.

이것도 부등호의 방향을 안바꿀까요?

이번엔 그냥 바로 숫자로 해봅시다

4 < 6 이면

일정한 숫자를 곱해봅시다. 뭘 곱해볼까요?

3을 곱해볼게요

12 < 18 이니 오 진짜 안바뀌는거 맞죠?

12 > 18 이런식으로 쓰면 바보라고 놀림을 받을지도 몰라요.

한번 더 해볼까요?

5 > 2 여기에 숫자 2를 곱해봅시다

10 > 4 오 여전히 그대로인것 같네요.

음... 생각해보면 또 당연하죠? 5x2라는건 5+5인데, 2+2보다 당연히 큰게 맞겠죠.

허허 참.. 아깐 다르다면서요?

잘봐요 지금까지 숫자를 뭐뭐곱했나요? 3과 2를 곱했었죠?

그렇다면 -3을 곱하면 어떻게 될까요?

헉

5 < 7 에 곱해봅시다

-15  -21 이렇게 되는데 그럼 부등호 방향이 어떻죠?

아이참! 음수는 옆에 있는 숫자가 더 클수록 오히려 작아지는 것 기억나죠?

빚으로 생각하면 15만원 빚과 21만원 빚이 있다는 소린데, 21만원 빚있는 사람이 더 가난한셈이죠.

그래서 결국

-15 > -21이 되어 

5 < 7 과는 반대방향의 숫자가 더 크게되죠.

그럼 여기에 다시 -2를 곱한다면?

-15 > -21

에서

30 < 42 가 되어서 다시 방향이 바뀌는걸 확인할 수 있었죠?

흠.. 곱하기만 그럴까요? 나누기도 똑같을지 몰라요

30 < 42에서 그냥 2로 나눠봅시다

15 < 21이 되니 음.. 방향이 안바뀌네요

-3으로 나눈다면?

-5 > -7 이 되어서 방향이 또 바뀌어버리죠?

아하! 곱하기건 나누기건 상관 없이

(양수)를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 안바뀌고

(음수)를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀌어야 하는군요!

물론 양수건 음수건 양변에 곱하거나 나눌때는 같은 수를 가지고 곱하거나 나눠야겠죠.

여기서 부등식의 성질 두번째가 나옵니다

부등식의 성질 (2)

2-1. 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 나눠도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
2-2. 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.

이게 사실 끝이에요! ㅋㅋㅋ

부등식의 성질은 등식의 성질과 유사하지만,

단 음수를 곱하거나 나눌때만 주의하면 된다는거

나머지는 똑같은 수만 더하거나 곱한다면(곱할땐 양수일때) 부등호의 방향, 즉 크기가 어느쪽이 더 큰가 하는 얘기가 변할리가 없지요.

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방정식을 재밌게 공부했던 사람은 등식의 성질을 이용해서 어떻게 방정식을 풀었는지 기억날거에요!

사실 지난 강의때도 언급했었는데 기억할지 모르겠네요

여러분 다시 찾기 귀찮을까봐 사진으로 가져왔습니다 ㅋㅋㅋ

보이죠? 복잡해보이는 일차방정식을 x=뭐다! 이런꼴로 바꿔서 이걸 만족하는 x값은 뭔지 찾을 수 있었죠.

사실 부등식도 마찬가지에요

그런데 방정식의 마지막이 x=뭐다 였다면

부등식의 마지막은 뭘까요? 이것도 사실 지난시간에 미리 말해줬었는데요

x < 뭐시기

혹은

x > 뭐시기 이런모양이겠쬬? 물론 ≤, ≥이 기호를 쓸 수도 있겠지만요.

아하! 부등식을 풀때도 역시 부등식의 성질을 이용해서 x<(어떤 숫자) 이런 모양으로 만들면 x에 대한 비밀이 풀리겠네요?

x가 그 숫자보다 작기만 하면 된다는 걸 알게 되는거니까요 (x>(어떤 숫자) 혹은 x≤(어떤 숫자) 혹은 x≥(어떤 숫자)도 괜찮죠)

그리고 하는 방법은 방정식에서 등식의 성질을 이용한것과 똑같이 하면 되겠네요?

왜냐면 같은수를 더하거나 빼도 = 기호는 여전히 성립했으니까

같은 수를 더하거나 빼서 한쪽엔 x만 남게 정리하고, 한쪽엔 숫자만 남게 정리한다음에

숫자를 적절히 곱하면 되겠어요!

그럼 밑의 예제문제를 같이 풀어볼까요?

허허 스캔을 안하니 화질이 별로군요. 미안합니다 히히

여기서 특히 1번이나 2번과 같이 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 경우를 살펴보면,

1번의 좌변에 원래 있었던 -4는 +4를 더하는 바람에 없어지고 우변에 +4만 생긴다는 걸 알 수 있죠?

2번의 좌변에 원래 있었던 +3도 3을 빼는 바람에 없어지고 우변에 -3만 생긴다는 걸 알 수 있죠.

방정식을 풀었던 기억을 생각해보면 알겠지만, 이렇게 양변에 적절히 수를 더하고 빼면

좌변에 있었던 숫자가 우변에 나타나는 것 같은 현상을 보게 되는데

이걸 바로 '이항'이라고 하기로 했었죠?

이 때 부호만 반대로 써서 옮기는 것처럼 생각하자고 했었죠.

그 기본은 같은 수를 더한것(혹은 뺀것) 이였지만요.

자 다들 잘 풀었을지 모르겠네요.

잘 풀었다면, 답으로 얻은, 예를 들어 x≤9를 답으로 얻었다면

실제로 9부터 차례차례 작은 것들을 대입해보면 진짜로 원래 식을 성립하게 만드는 x값이란걸 알 수 있지요.

[아무 말이 없으면 x에 대한 조건이 없는 거라고 얘기했었죠? 뭐가 후보인지는 생각할 필요가 없어요.]

원래는 다 대입해봐야 아는거였지만, 부등식의 성질을 이용하니 한방에 해결되는 것이었어요!

그렇죠? 드디어 여러분은 (일차)부등식을 쉽게쉽게 풀수 있게 된거랍니다.

일차 부등식이 뭔지는 다음시간에 설명해볼게요

여러분 수고 많았습니다!

다음 강의에서 봐용

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지난 강의 : 

부등식 - 일차부등식, 부등식의 해, 대입해서 풀기

다음 강의 :

부등식 - 부등식 풀이 복습, 일차부등식