부등식 - 부등식 풀이 복습, 일차부등식

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부등식 - 부등식의 성질로 대입안하고 풀기

안녕하세요 여러분!

지난 시간 배운 내용이 기억들 날지 모르겠어요

위에 보면 알겠지만, 우리는 원래 부등식을 풀때 일일이 다 대입해서, 해인지 아닌지 확인을 해봤었는데

왜냐?

부등식의 해라는 것은

그 부등식을 성립시키는

부등식이 진짜가 되게 하는

부등식을 참이 되게 하는

미지수 값이었으니

부등식의 해를 구하라고하면

정말로 숫자를 대입해서 부등식이 성립하는지 아닌지를 확인해 봤어야 했죠?

그런데 부등식의 성질이란걸 이용하면

더 이상은 대입을 해서 부등식을 풀 필요는 없다고 배웠어요.

이런 부등식을 푼다고 생각해볼까요?

식을 그대로 읽어보세요. 어쩌면 해석해보란 말이 더 어울리겠네요.

'3x는 6보다 크다. ' 이렇게 읽을 수 있겠죠?

그런데 3x란 것은 3에 x를 곱한것이니까 다시 풀어서 얘기하면 이렇게 되겠어요.

'3에 어떤 x를 곱한것은 6보다 크다.'

혹은 x를 주인공으로 삼아서

'어떤 x가 있는데, 그 x에 3을 곱한 것은 6보다 크다' 이렇게 읽을 수 있겠네요.

그럼 이 부등식을 푼다는건

3을 곱하면 6보다 크게 만드는 미지수 x들을 찾으란 소리겠죠? 

(부등식을 조금 많이 풀어보면 다들 알겠지만, 이 x들은 아마 범위로 나오게 될거에요.)

부등식의 성질로 이걸 풀려면 어떻게 해야하죠?

부등식의 성질은 다음과 같았죠.

1. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

2. 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

3. 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향은 바뀐다.

다시 말해서, 같은 수를 더하고 빼고 곱하고 나누는 것에 대한 이야기가 부등식의 성질인데,

등식의 성질처럼 같은 수라면 항상 더하고 빼고 곱하고 나눠도 되는데(부등호의 방향이 유지되는데),

다만 그 수가 음수이고, 곱하고 나누는 경우라면 부등호의 방향이 바뀌고 말았죠.

아무튼 이걸 이용해서 3x>6을 푸려면 어떻게 해야할까요?

우리가 지금 아는 건 어떤 x에 3을 곱한게 6보다 크단건데,

그를 통해서 x는 어떤 애들일까를 유추해야해요. 맞죠?

그러니까 최종적으로 우리가 알고 싶은건 3x가 아니라 x만 있는 부등식을 구하고 싶은거니깐

양변에 3을 나눠주면 되겠어요.

곰곰이 생각해봐도 그렇죠?

3을 곱한게 6보다 큰 애들은

양변에 3을 나누면 그게 뭐보다 커야될지 파악할 수 있어요.

어떤 수에 3을 곱한게 6보다 크려면

그 수 자체는 뭐보다 커야 할까요?

3배 해서 6보다 크려면 3배하기 전에는

6을 3으로 나눈 것인 2여야 되지 않을까요?

그래야 세 배 해서 6이 될 테니까요.

2보다 큰 애들은 역시 세 배하면 6보다 클 테구요.

맞죠?

그러니까 다시 식으로 표현하자면

이렇게 되는 거죠.

그렇죠? 생각해보면 부등식의 성질은 우리가 이미 알고 있던 것들이에요.

3배 해서 6보다 커야한다는게 그냥 수가 2보다 커야한다는 것과 같죠?

이걸 보자마자 알아차린 친구들도 있을거고, 곰곰이 생각해보니 그렇다고 여기는 친구들도 있을거에요.

그치만 사실 모두가 조금만 생각해보면 다들 알만한 내용이었던 거죠.

그래요. 모두가 사실 부등식의 성질을 이용해서 실생활에서도 이미 부등식을 풀고 있었던 거랍니다.

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부등식의 성질을 이용해 푸는 데 들어가 있는 원리, 수직선 위에 나타내기

자 알겠죠? 부등식을 푼다는 건 미지수 x가 어떻게 생긴 애들인지 궁금하단거니까

결국 최종적으로 얻어야 할 식은 3x나, 2x+1 뭐 이런식으로 생긴 애들이 들어가 있는 식이 아니라

x만 있는 식이 필요했어요.

3x>6이 아니라

x>2 이런식으로요.

이 과정에서 필요한 일은, 양변을 일정한 수로 더하고 빼고 곱하고 나누는 과정이었죠.

x를 세 배 한것이 6보다 커야 하니까, 이 때는 음 이 부등식의 양변을 3으로 나눠도 여전히 

왼쪽에 있는 x는 오른쪽에 있는 걔보다 커야 하겠지? 

오호라! 3x>6이면 x>2가 되겠구나!

맞죠? 3x>9일 땐 어때요? 이번엔 3을 곱해서 9보다 큰애들이니까 

2보다 크다고 해결될 일이 아니죠? 그럴땐 x>2가 아니라 x>3이 될거에요. 맞나요?

아하! 양변을 3으로 나누기 전과 후의 식 두 쌍은 서로 똑같은 건가 보네요.

무슨 말이냐면

3x>6, x>2 얘네는 얘네끼리 같고

3x>9, x>3 얘네는 얘네끼리 같죠.

위에는 x가 3을 곱해서 6보다 크다면, x는 2보다 크다. 이 소리고

아래는 x가 3을 곱해서 9보다 크다면, x는 3보다 크다. 이 소리죠.

마치 방정식에서

3x=6 , x=2

3x=9, x=3 이 두 식과 같이요.

둘다 x라고는 써놨지만 위의 식을 만족하는 x와 아래식을 만족하는 x는 서로 다르죠?

그러니까 둘 다 

위의 식은 어떤 수가 있는데, 그 수에 3을 곱하면 6이다. 란 소리고

아래 식은 어떤 수가 있는데, 그 수에 3을 곱하면 9이다. 란 소리니까

둘 다 어떤 수라고 썼긴 했지만 위의 식과 아래 식의 숫자가 서로 다르죠? 2와 3이니까요.

그래서 

3x=6 , x=2 이 두 식끼리 서로 같은 x를 이야기하고 있고

 3x=9, x=3 이 두 식도 서로 같은 x를 이야기하고 있죠.

위 아래 식이 같은 x에 대해 이야기하는 건 아니지만요.

3x=6에서 x=2는 어떻게 나오나요?

등식의 성질을 이용해서 3으로 나누면 여전히 그 x에 대해서 성립하는 방정식이 되죠?

그러니까 같은 x에 대해서 이야기하는 셈이 되는 거죠. 여전히 '그 x에 대해서 성립하니까요'

계속 반복해서 말해서 귀찮을 수도 있지만, 혹시 이해 못한 사람이 있을까봐 한 번 더 말해볼게요.

등식의 성질을 이용해서 방정식

3x=6 을 푼다는 것은

이 식을 만족하는 x를 구하는 것인데,

x에 3을 곱한게 6이라면 ( 3x=6 이라면,)

양변을 3으로 나눈 다음에도 성립을 해야하니까

x=2 도 성립해야 하고,

여기서 x는 3x=6을 만드는 그 x죠!!!!!!! (이게 포인트)

3배한게 6이라면 원래는 2가 되어야한다! 이 소리입니다.

이해 안되면 바로바로 댓글달아줘요. 나중에 고등학교까지 갔을때도 엄청 중요한 얘기에요.

위의 방정식을 클릭해서 보고 오세요.

그럼 

3x>6과 3x>9가 서로 다른 애들에 대해서 이야기하고 있는 걸 알 수 있을거에요.

그치만 얘네의 양변을 3으로 나눈 애들은

x>2, x>3 얘네는 각각 원래 식의 애들과 같은 애들을 지칭하구 있구요.

맞죠?

좋았어요!

밑의 x>2, x>3을 각각 수직선으로 나타내면 이렇게 나타낼 수 있을거에요.

[ 그림 추가할 부분 ] 

이렇게요.

여기서 각각 숫자 2와 3에 구멍이 뚫려 있는 이유를 알겠어요?

수직선에서 ○는 거기 해당되는 숫자가 부등식의 해가 아님을 뜻해요. 지금은 x>2, x>3이니까,

2보다 아주약간은 커야되지, 딱 2는 해가 될 수 없으니까요. 그래서 구멍을 뚫어서 표시하죠.

반대로

이었다면?

[그림 추가할 부분]

이렇게 되겠죠.

구멍이 채워진 ●는 그 대응하는 숫자가 부등식의 해에 포함된다는 걸 나타내는 그림이랍니다.

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그럼 다 되었어요. 여러분은 부등식을 풀 수 있어요. 

어떤 식이 나오던지 상관없이, x에 대해서 정리한다음에 그 범위만 생각하면 되죠.

그치만 사실은 부등식 중에서도 일차부등식을 풀 수 있는 거랍니다.

우리가 여태까지 풀어왔던 부등식은 모두 이차항 이 없는 부등식이었죠?

이차, 삼차, 사차 이런것이 없이 오직 일차! 즉, 와 일반 숫자들로만 이루어진 부등식만 풀었던 거에요.

그런 부등식을 일차부등식이라고 하는데,

이차 이상이 없는 부등식을 이야기하죠. 물론 일차항인 는 있어야할거구요.

제일 높은 차수가 1인 식을 일차식이라고 했었으니, 일차부등식이란 부등식 중에서도 일차식을 다루는 부등식이라고 할 수 있겠어요.

그런데 이 경우를 볼까요?

방정식에서도 이것과 비슷한 경우를 했었죠?

위의 식은 일차부등식일까요? 아닐까요?

이차항이 있긴하지만, 양변에 을 빼버리면 이차항이 사라져버리므로

이건 이차부등식이 아니죠. (이차부등식은 이차식을 다루는 부등식이겠죠?)

그래요. 일차부등식은 일차식으로 표현되는 부등식인데,

저 경우는 이차식으로도 표현되는 것 같은데 사실 이차식은 아닌 아주 아리송한 경우죠.

이렇게 정리를 하고나면 일차식으로만 이루어진 부등식이 될거니까요.

흠.. 그럼 일차부등식을 어떻게 이름 불러야 할까요?

단순히 '일차식으로 표현되는 부등식'이라고 하면 저 위의 식을 포함하지 못하는 것 같아요.

그럼 의미를 조금 더 분명히하려면

일차부등식을

'정리가 모두 끝난 뒤에, 일차식으로 표현되는 부등식'이라고 얘기하는 게 맞겠어요. 그쵸?

좋아요! 그런데 정리를 어디까지 하는 게 좋을까요?

이차 이상을 몽땅 없애면 정리가 끝나는건가?

네 그렇다고 할 수 있겠죠?

아! 사실은 x도 사라져버리면 안될텐데요. 이 경우를봐요

이것도 정리하면 나중엔 숫자만 남죠? 이건 일차부등식이 아니에요.

하이고 참 복잡하네요. 그럼 일차부등식이 되려면 

이차 이상을 정리해서 없앨 수 있어야하고,

일차 항은 정리해서 없어지면 안되겠죠.

이 말이 너무 복잡하니까, 좀 세련되게 할 순 없을까요?

일차식의 뜻은 최고차항이 일차항인 식이니까, 이차 이상은 없어야하고, 일차 항은 살아있어야 한다는 뜻을 포함하고 있쬬.

그러니까 일차식의 뜻을 써서

정리한 후에도 여전히 일차식인 부등식을 일차부등식이라고 할 수 있어요.

그런데 이 정리란 말도 수학적으론 되게 애매한 말이니까, 아예 어떻게 정리할지도 정해버립시다.

어떻게 정할거냐면, 아예 빼도박도 못하게 모든 것을 왼쪽으로 다 이항시켜서 정리한다고 생각해보죠.

여기서 한번 더 나아가서

뭐 여기서 양변을 2로 나누는건 자기 마음이고요.

다 왼쪽으로 정리한다음에 이게 일차인지 아닌지만 살피면 되겠쬬?

아하! 맞아요

그럼 일차부등식의 정의를 이렇게 합시다.

'부등식의 성질을 이용해서 정리할 때, (일차식) > 0, (일차식) < 0, (일차식) ≥ 0, (일차식) ≤ 0' 인 부등식을 일차부등식이라고 하자.

좀 더 쉽게 말하자면

좌변이나 우변 중 한 곳을 0만 남게 다 이항시킨 다음

이항하고 정리한 식이 일차식인 부등식을 일차부등식이라고 하자!

에에에엥.. 오히려 말이 더 길어진것같다구요?

그래도 '정리해서 일차식이 나오는 일차부등식'은 정리가 어떤 정리인지 말해주질 않으니

좀 더 의미를 분명히 하기 위해선 위에서 얘기한 것을 정의로 하는 게 맞겠어요.

그럼 이건 그렇다치고 (일차부등식이 뭔지를 알아봤어요)

그 일차부등식을 푸는 방법은?

그래요! 여러분이 이미 다 배웠답니다.

한번 풀어볼까요?

이건 되게 옛날 사람인 제가 쓴 교과서에 있는 표현이라 부등호 밑에 등호가 두줄로 표시되었단 사실을 알아두세요.

부등호 밑의 등호를 한 줄로만 쓰면 그게 되게 편해서 요새는 한줄로만 쓰기로 정했답니다. ≤ 이런식으로요.

x만 남긴다는 것을 파악한 사람들이라면 굳이 아래 문제를 따로 배울 필요는 없을텐데, 혹시 한번씩 풀어보세요.

계수가 정수가 아니면, 정수로 바꿔서 풀면 쉽게 풀린답니다.

자 오늘 공부한거 새겨보도록 하시고,

다음 강의 연립부등식의 풀이에서 봅시다.

민수는 영희보다 크고

영희는 철수보다 크다. 에 대해서 공부할거에요. 이미 다 아는 내용일수도 있죠. 찡긋

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