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부등식 - 부등식 풀이 복습, 일차부등식
안녕하세요 여러분!!
그 동안 즐거운 시간들을 보냈길 바라며 오늘도 힘차게 시작해봅시다.
제가 옛날에 초등학교 1학년짜리도 가르친적이 있는데,
거의 수학을 가르친다기보다는 그냥 애를 돌보는 수준이었죠 껄껄
저는 제가 동생없이 누나만 있는 채로 자랐고, 사촌들도 다 윗사람들밖에 없는 탓에 저보다 어린 친구들이랑 노는거에 익숙하지 않은데
그 때는 거의 매일 어떻게하면 더 재밌는 척하면서 놀 수 있을까 궁리하던 나날들이었죠. ㅋㅋㅋ
보고싶다.. 귀여운 친구였는데
껄껄 아무튼 이 이야기를 왜했냐면
사실 이 연립부등식은 초등학생들도 배우는거더라고요! (사실 굉장히 어려워하긴 하던데..)
근데 또 이상하게 고등학생들도 자꾸 물어보는 거기도 하던데요. 물론 같은 연립부등식이어도 물어보는 내용의 수준이 좀 달랐지만.. 히히
아무튼 저무튼 요지는 초등학생때부터 여러분들이 이미 연립부등식을 접해왔다는 겁니다.
바로바로, 지금도 저를 열받게하는 키 비교를 하면서죠
맨날 나오던 것!
영희는 철수보다 크고
민수는 영희보다 크다
이 때 가장 키가 큰 사람과 가장 키가 작은 사람은 누구일까?
이게 바로 초등학교 1학년 때 나오는 내용이랍니다.
가장 키가 큰 친구는 누구죠? 그렇죠 민수죠.
가장 키가 작은 친구는요? 철수죠.
왜 그런지는 다들 알겠나요? 기준을 잘 생각해봐야 해요. 기준이 누구죠?
네 맞아요 영희에요.
영희를 기준으로 더 큰사람과 더 작은 사람으로 나눌 수 있는데
더 큰 사람이 민수고, 더 작은 사람이 철수죠.
그림을 그린다면?
짜잔!
구글 이미지 검색으로 적절한 이미지를 찾아봤는데
글로벌 시대고 하니 외국인들로 비교하는 것이 더 멋질 것 같아서 이렇게 준비해봤어요.
이름도 로마자 표기법으로 써보면 좋겠죠? (물론 저는 영어를 잘하지 않으니까 저걸 믿으면 안됩니다! 껄껄)
영희가 생각보다 험상궂게 생기긴 했지만 그래도 뭐 상관은 없죠. (참고로 이미지검색은 'Three Men'으로 했답니다)
아무튼 저런 그림이 그려질 게 생각이 나시죠?
수식으로 나타낸다면 이렇게 됩니다!
정말 그렇죠?
끝!
정말 여기서 수업 끝이냐구요?
거의 끝난거나 다름없어요. 한마디만 더하면 돼요.
초등학교 일학년이면 저렇게 되는 것을 (저 세명의 친구들 그림을 생각만 해낼 수 있으면) 알기만 하면 끝이지만
중학교 이학년에서는 조금 다르게 접근해봐야 해요.
맨 처음 우리가 그림을 그리기 전에 남한테 들은 정보가 뭐였죠?
처음에 제가 여러분께 어떤 상황을 알려줬냐 말입니다.
다시 한번 볼까요?
맨날 나오던 것!
영희는 철수보다 크고
민수는 영희보다 크다
이 때 가장 키가 큰 사람과 가장 키가 작은 사람은 누구일까?
여기서 제가 주목하고 싶은 것은 처음의 상황.
그러니까
영희가 철수보다 크고 민수가 영희보다 크다는 것. 이것이에요.
이걸 수식으로 나타내면 어떻게 되나요?
요렇게 되겠죠?
그래요. 우리는 처음부터
이런 이야기를 들은 게 아니에요.
이 두가지의 이야기를 조합해서
이렇게 길다란 한줄의 부등식으로 만들었죠.
그러니까 저렇게 부등호가 두개짜리인 길다란 부등식은 원래 두 개의 따로따로된 부등식으로 이루어져 있었단 소리군요.
아하!
알아둘것 첫번째!
부등호가 두 개짜리인 이런 부등식은 원래 두 개의 부등식으로 이루어져 있었다!
다시 말하자면, 부등호 두개의 한줄짜리 부등식은 원래
두 개의
따로따로된 부등식인데 그 조건을 합쳐서 나타낸 것이었던 거죠.
또 다시 말하자면,
두 개의 따로따로된 부등식의 조건을 합쳐서 나타내면
부등호 두개의 한줄짜리 부등식이 된다는 소리기두 하구요.
뭔소리냐구요?
예시를 갖고 생각해 볼까요?
영희는 철수보다 큰데
민수는 '그런' 영희보다 더 커야되잖아요?
민수는 '철수보다 큰' 영희보다 더 커야한다! 이게 바로 우리가 위 아래의 두 조건을 합쳐서 만들어낸 생각이죠.
그냥 영희가 아니라, 철수보다 큰 영희보다 커야한다니!
철수보다 크단 소리는 어떻게 알죠?
이 식의 윗줄에서 알 수 있었던 거죠.
윗줄도 성립하고
아랫줄도 성립시키는 영희란 사람이 있다면, 비로소
이렇게 된다 이소립니다!
아니 그래서 초등학생때랑 중학생인 지금이랑 도통 뭐가 다르냐구요? '부등식'이란 용어만 사용하지 다른 게 없어 보이는데요.
어이쿠, 사실 맞아요. 그치만 위의 초등학생이 푸는 문제로 다시 돌아가보면 알겠지만, 초등학생 때는 민수가 제일 크단 것만 알면 됐어요.
지금은? 왜 민수가 제일 큰지 그 구조를 찬찬히 뜯어보고 있는거죠.
그 구조가 뭐냐면 원래는 두개의 부등식이었다! 그걸 합쳐서 한줄짜리 부등식으로 나타냈다!
이 것이란 말입니다.
아무튼 다시 돌아가서
윗줄도 성립시키고
아랫줄도 성립시킨다!
누가???
철수랑 영희가!
영희랑 민수가!
윗줄의 부등식도 성립하고,
아랫줄의 부등식도 성립한다면
어떻게 되겠느냐!
그걸 풀어라!!
이거 어디서 많이 본것같은 익숙한 생김새죠
윗줄의 방정식도 성립하고!
아랫줄의 방정식도 성립한다!
그럼 어떻게 되겠느냐?
풀어라!!
예 맞아요, 이것이 바로 이전단원에서 배웠던 연립방정식이었고,
이번에 한 내용이 바로 연립부등식이랍니다.
개념은 똑같다!
연립방정식이 뭐였는지 기억나시죠? 기억 안나면 밑의 링크를 통해 보고 오길 바랍니다 껄껄
기본적으로 두 개(이상)의 방정식이 주어지고, 그 방정식을 모두 만족시키는 해를 찾는 것이 연립방정식을 푸는것이었죠. (중학교 이학년땐 두 개의 방정식이 주어질때만 다룬답니다~)
그럼 연립부등식은? 똑같아요.
두 개(이상)의 부등식이 주어지고, 그 부등식을 모두 만족시키는 해를 찾는 것이 바로 연립부등식의 해를 구하는것, 연립부등식을 푸는 것이었죠.
연립부등식 그 자체는 두 개 이상의 부등식을 함께 묶어 한 쌍으로 나타낸 식을 뜻하는 거구요.
그럼 한번 직접 풀어봐야 감이 잡히겠죠?
이 연립부등식을 푼다는 의미는 위의 식
아래 식
그럼 위식도 만족하고, 아래식도 만족하는 것을 찾으려면
어떻게 해야 되겠어요?
뭔가 두개가 있는데 둘다 만족시켜야 한다? 일상생활에서도 생각해봅시다.
뭐 아주 쉬운 예를들면 여자친구도 있고, 동성친구도 있는데
여자친구(이성친구)도 만족시켜야 하고,
동성친구도 만족시켜야 우리가 원활한 생활을 할 수 있지 않겠어요? (허허 이성친구가 없다면 미안합니다)
그럼 둘다 만족시키려면 우선 뭐부터 해야하죠?
그래요 사실 너무 단순했어요.
각각 두 명이 뭘 원하는지부터 알아봐야겠죠? 그래야 둘 다 만족시키려면 내가 어떻게 해야하는가 견적이 나올테니까요.
수학도 똑같답니다.
우선 위 식은 언제만족하는지
아래 식은 언제 만족하는지 알아봐야 = 직접 풀어봐야 겠죠?
풀어봅시다!
그렇죠? 이렇게 되면 두개를 합칠 수 있는데,
생각을 해보면 x는 2보다 작아야 하고,
x는 -1보다 크거나 같아야 하죠.
흐으으으음
그럼 잘 생각해봅시다.
-1≤x＜2 가 되어야 한다는게 느껴지시나요?
왜냐면 x를 기준으로 해서 가장 작아질 수 있을때가 -1이고
가장 커질 수 있을때 (사실은 가장 커지기 직전의 상태)가 2가 될테니까요.
헷갈리시나요?
사실 부등식은 원체 익숙해지지 않으면 헷갈릴 수 있어서
선생님들은(심지어는 교과서까지도!)
그림을 직접 그려서 생각하는 방법을 추천한답니다.
그림이 해석이 돼요?
-1≤x 에는 등호가 들어가 있으니까 -1에 해당하는 곳에 구멍을 채웠고
x<2에는 등호가 없으니까 2에 해당하는 곳에 구멍을 뚫어놨죠.
원래는 이 그림과 이 그림 (추가할게요!) 이 따로 있는 것인데,
그것을 합쳐서 생각할것이니까 (둘다 만족시켜야되니까) 공통 부분에 있는 것이 바로 우리가 찾는 그런 아이들이죠. 맞죠?
이 방법이 교과서에서도 설명한 그림 그리기 방법이랍니다.
물론 그림을 굳이 그릴필욘 없지만, 그리면 한 층 수월하게 생각해낼 수 있다는 장점이 있죠.
이해가 안되면 언제든지 질문하세요!
A<B<C 모양의 부등식은 원래가 연립부등식이었다!
그럼 다시 돌아와서
방금 했던 부등식을 살펴볼까요?
이 이야기는
원래 이거로부터 시작한 내용이었죠.
초등학교 1학년에겐 어렵지만 우리에겐 쉬웠어요.
그럼 다시 딱 한번만 더 왜 그런지 생각해볼까요?
왜 민수가 제일 큰 친구가 된거죠?
기준이 누구였죠?
그렇죠! 영희!
기준이 영희란 생각을 하는 것이 참 중요합니다.
영희를 기준으로 키가 큰 사람이 민수,
영희를 기준으로 키가 작은 사람이 철수이니
민수가 제일크고 철수가 제일 작은 것이 당연하죠.
기준을 민수로 생각하면 안되나요?
해봅시다. 민수를 기준으로 키가 큰 사람은 없고
민수를 기준으로 키가 작은 사람은 영희랑 철수죠?
그래요. 기준을 민수로 생각하는건 문제를 이렇게 바꾸는거에요.
민수는 철수와 영희보다 크다. 가장 큰 사람과 가장 작은 사람을 구하여라.
오잉? 이러면 가장 큰 사람은 민수인건 확실한데
가장 작은 사람은 누가 되나요?
철수? 영희?
잘봐요. 티라노사우르스는 슈퍼맨과 배트맨보다 크다. 이 때 가장 작은 친구는 누구인가?
에엥? 알 수 있나요? 모르죠. 이 정보로는 왜냐면 티라노사우르스가 제일 큰 것만 알게 되지,
슈퍼맨과 배트맨 사이의 관계는 알 수 없으니까요.
서로서로의 관계를 알아야 하는데, 저 경우 티라노사우르스와 다른 두 사람의 관계밖에 알 수 없네요.
오호라!
그럼 왜 영희가 기준이라고 생각해야 하는지 알겠죠?
이 말을 수학적으로 다시 정리하자면!
이러게 길게 늘어진 부등식은 반드시 두 개짜리 연립부등식으로 쪼갤 수 있는데!
그 쪼개는 기준을 가운데 있는 친구인 영희로 해야
이렇게 잘 쪼개진단 소리죠. (초등학교 땐 반대 과정은 했었는데 요렇게 한줄짜리를 두개로 쪼개는건 안했었죠? 이게 바로 중학교 이학년과의 차이!)
이 식은 아까도 했었지만(사실 초등학생 때 했던게 이거였죠) 다시 곰곰이 잘 생각해서 두 식을 합쳐서 원래모양인
으로 돌아올 수 있죠.
그런데 기준을 민수로 생각해버리고 이렇게 두개로 쪼갠다면?
이건 철수와 영희사이의 관계를 알 수 없으니 택도 없고, 원래 식인
아 이제 알겠죠?
알아둬야할 것 두번째!
세 개 짜리 부등식은 가운데를 기준으로 나눠야 한다는 것!
그럼 여기에서 민수가 180cm 이고 철수가 160cm라고 해봐요. 영희의 키는 어디에 있어야할까요?
영희네 학교에가서 영희를 찾으려면 어떻게 해야할까요?
위 식을 굳이 나눠서 생각해보자면
여기에 직접 키를 넣으면
이렇게 되니, 영희의 키는 160보다 크고, 180보다 작다는걸 알 수 있네요.
명확하죠? 160보다 큰 키들을 쭈루룩 모은다음에 거기서 180보다 작은애들만 다시 분류해보면
그 안에 영희가 있다는 소리네요.
영희 찾기 참 쉽죠?
가로로 길게 늘어진 식은 사실 원래 두개 짜리 식이었으니
두개 짜리 식을 차례대로 풀면 (160보다 크고 (첫번째), 180보다 작다(두번째)) 영희가 나오게 될테니까요!!
그래서 아하 여기서 정말 마지막으로 알아둬야 할 세번째!
좋았어요! 이러면 알아둘 것은 다 배웠습니다!
마지막으로 확인을 위해 문제한번 풀어볼까요? (꼭 풀어봐야 할걸? 껄껄)
네! 수고하셨습니다! 다음 강의는 지금까지 배운 부등식을 실생활 문제에 적용시켜 보는 연습을 할거에요.
물론 모든 내용을 다루진 않겠지만, 최대한 필요한 것은 다뤄보도록 하려구 해요!
여태까지 부등식 공부하느라 수고하셨어요!
다음 시간에 만나요!
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