부등식 - 일차부등식, 부등식의 해, 대입해서 풀기 :: 이봇의 쓰레기통

부등식 - 일차부등식, 부등식의 해, 대입해서 풀기

뇌통 - 중학수학강의/중학수학 8-가 2016. 4. 6. 22:59

이 글은 이전 수업에서 바로 이어지는 강의입니다.

전 강의를 보지 못한 분들은 이 링크를 눌러서 보고 오는걸 추천할게요!

부등식이 뭔지부터 차근차근 설명하고 있으니까요

이전 수업 링크 :

부등식 - 부등식이 뭐야??

그럼 여러분, 부등호의 종류를 알아보기 전에

대소를 표기할 때 쓰는 단어들을 알아볼까요? 사실 너무 쉬워요 ㅎㅎ

이상 : 같거나 그보다 큰것.

이하 : 작거나 그보다 작은것

초과 : 그보다 큰 것(같은 것을 포함하지 않는다!)

미만 : 그보다 작은 것(같은 것을 포함하지 않는다!)

그래서 사실 우리가 아는 기호들

>, <

이거 두개는 초과와 미만을 나타내는 기호랍니다.

이상과 이하, 즉 크거나 같다. 작거나 같다를 나타내는 기호는 뭘까요?

같다를 나타내는 기호는 등호였죠?

그렇다면 크거나 같다는 (왼쪽이 더) 크다를 의미하는 >와 같다는 =를 합쳐서 만들면 되겠죠?

그런 것이 바로

≥ 랍니다. 아니 왜 짝대기가 하나밖에 안남았냐구요? 굳이 두개를 다 쓰면 불편하니깐, 짝대기를 하나만 쓰기로 약속했답니다.

그냥 등호를 생각해보면, 등호 기호 =는 짝대기를 하나로 바꿔버리면 빼기 기호랑 헷갈리잖아요?

그치만 부등호 밑에 넣을 경우는 두개 있건 한개 있건 헷갈릴 염려가 없지요.

그래서 편의상 하나만 넣기로 했답니다.(사실 이게 별로 약속한지 오래 안 된게, 제가 고등학생때 막 바뀌었어요 ㅋㅋㅋ)

반대로 (왼쪽이 더) 작거나 같다를 의미하는 것은 ≤이 되겠죠.

큰 기호로 한번 다시 살펴볼까요?

그럼 우리 똑똑한 여러분 이것도 한번 해볼까요?

그래서 결론적으로

와 같은것이 부등식인데 (부등식이 뭔지는 이전 강의에서 배웠죠?)

부등식도 등식처럼 부등호를 기준으로 해서

왼쪽의 식이나 값을 좌변,

오른쪽의 식이나 값을 우변, 이라고 하고

좌변과 우변을 합쳐서 양변이라고 한답니다.

저 부등식에서는 좌변이 b, 우변이 3035가 되는거죠.

부등식을 푼다고? 부등식의 해

그럼 드디어 부등식을 풀어볼까요?

푼다는 건 무언가 행동을 하는 것인데, 어떤 행동을 하는 걸까요?

사실 우리는 방정식을 풀어봤기 때문에 여기에도 대답을 할 수 있지요.

방정식을 푼다는 건 뭐였죠? 방정식의 해를 구하는 거였어요.

아 방정식이 뭔지 기억이 안나는 사람도 있을까요?

등식은 등호가 있는 식인데, 등식은 여러 종류가 있었죠.

항등식도 있고, 방정식도 있었어요.

항등식은 항상 좌변과 우변이 같은 식.

방정식은 미지수의 값에 따라서 좌변과 우변이 같을 수도 있고, 좌변과 우변이 다를 수도 있는 식이었죠.

다들 기억나죠?

예컨대

요런 것들이 항등식이었고

요런 것들이 방정식이었죠.

그 중 방정식은 미지수의 값에 따라 왼쪽과 오른쪽이 같을 수도 있고, 아닐 수도 있는데 (뭘 대입하느냐에 따라 달랐죠)

같게 만드는 그 미지수의 값, 같아지는 x값들을 '방정식의 해'라고 불렀었죠.

부등식도 똑같아요!

방금 예제에서의 트럭문제를 볼까요?

여기서 좌변의 b는 현재 차량중량이고, 3035는 한계총중량이었죠.

거기에 우리는 트럭이 안전하게 유지되려면 b가 3035보다 작아야한다는 것도 알고있어요.

근데 세상 살이가 하고싶은대로만 된다면 얼마나 좋겠어요?

여러분은 아직 어려서 잘 모를지도 모르지만, 한계중량보다 더 많은 짐을 실은채로 달려야할 때도 생긴답니다.

3035는 보통 안전한 차량총중량인데, 그거보다 억지로 꽉꽉채워서 운전을 할 때도 있죠.

그러면 정말 안되지만, 옮겨야 할 짐이 굉장히 많을 경우 왔다갔다하는 왕복 운전 횟수를 줄이기 위해서 한계보다 많은 짐을 적재할(실을) 때도 있어요.

정말 안된다는 거 명심하고! 그렇지만 한계치보다 많은 짐을 실었다고 해봅시다.

그래서 결국 차의 무게가 4000kg가 되었다고 해볼게요. (이건 사실 말도안되겠죠? 4000까진안가고 삼천 얼마정도 실을 수...도 있겠죠. 그것도 여전히 위험하지만요)

그럼 이때의 b는 4000이 되어버려서

가 되어서 이 식은 말도안되는 식이 되어버립니다.

4000이 3035보다 작거나 같다니 말도 안되잖아요? 4000은 엄연히 3035보다 크니까요.

그러나 반대로 짐을 적게 실어서 차량 총중량(b)이 3000kg가 되었다면 아무 문제가 없겠죠.

이것도 사실 한계에 거의 다다른 아슬아슬한 수치긴 하지만, 그래도 3035를 넘기지 않았으니 현실에서도 괜찮고,

부등식 상에서도 아무 문제가 없죠. 3000은 3035보다 작거나 같다. 같거나 작다는 건 작다는 것도 포함하니까 저 말이 맞게되겠죠?

예 맞네요

그래서 얼마나 짐을 많이 실을건지는 내 맘대로 결정할 수 있는데,

그 값에 따라서 부등식이 만족할수도, 부등식이 만족하지 않을수도 있었어요.

다시 말해서 부등식이 참이 될 수도, 부등식이 거짓이 될 수도 있었지요.

3000은 참이 되게 하는 b값.

4000은 거짓이 되게 하는 b값이었죠.

그래서 이러한 3000과 4000을 구분하기 위해서

우리가 궁금한건 결국 부등식을 진짜로 만들어주는 값들이니까요

그래서 부등식을 진짜로 만들어주는 미지수 값을 이번에도 '해'라는 말을 써서

'부등식의 해'라고 부른답니다

아 근데 생각해볼까요? 사실 우리가 풀어왔던 방정식의 해는 하나뿐일 경우가 많았어요.

(사실! 우리는 방금전에 연립방정식을 배우고 와서 하나가 아닐 때도 있다는 걸 알고 있긴 하죠 ㅎㅎ)

연립방정식때문에 미심쩍다면, 식이 하나만 주어진 방정식, 그중에서도 일차식을 다루는 일차방정식을 볼게요.

이 때는

요런거죠.

이걸 이항하고 얼씨구 절씨구하다보면 어떻게 풀리는진 다들 알죠?

결국 이를 만족하는 x값은 2가 된다는 것을 확인할 수 있네요.

진짜로, 다른 값을 대입해봐도 왼쪽과 오른쪽은 같지 않고, 오직 2를 대입했을 때만 좌변과 우변이 같게 되죠.

여기에 2를 비롯해서 이것저것 대입해보면 해인지 아닌지 알 수 있지요!

그래서 결국 이 방정식을 풀 때는

와 같이 x값이 무엇인지 나오는 식이 나오면 방정식을 다 풀었다고 생각하고 거기서 풀이를 끝냈었죠.

기억나시죠?

그런데 방금 부등식같은 경우는 이와는 다르게 절대 해가 하나가 아니란걸 알수 있어요.

이것의 해는 뭐가 될까요?

우선 아까 언급한 3000도 될거고,

2999도 되겠죠? 사실 3001도 될거에요

사실은 3000.01도 될거에요

사실은 3000.0000000000001도 되겠죠.

우와, 3035보다 작거나 같기만 하면 되니까 그런 숫자가 무수히 많다는 걸 알 수 있죠?

그럼 이거를 일일이 다 적어놔야 할까요?

사실 그것보다는

이 부등식이 언제 참이 되는지 말하라고 하면

"b는 3035보다 작거나 같기만 하면 됩니다"

라고 대답하지 않겠어요?

그래요! 3035보다 작거나 같은 값은 모두 이 부등식의 해가 되지요.

그런데 생각해보면 그걸 식으로 표현한게

이거 아니겠어요?

저 식자체가 b가 무엇이 되어야 부등식을 만족(부등식이 참이 되는지)하는지를 알려주고 있는 거였네요.

사실 저건 풀필요도 없는 부등식이었어요. 이미 다 알려주고 있었으니까요.

아이코! 알았네요. 가 방정식을 푸는 데 있어서 마지막이었던 것처럼

는 부등식을 푸는데 있어서 마지막이었던거에요.

그니까 애초에 더 이상 식을 바꿔야 할 필요가 없는 부등식을 가지고 풀고 있었던 거죠.

이미 다 풀린거랑 마찬가지였는데요.

이 정도 되면 부등식의 해가 뭔지 알겠죠?

처음 트럭얘기로 되돌아가 생각해보면, 정말 대입해봤을 때 진짜 부등식이 맞게 하는 숫자들이 바로 부등식의 해인거고,

그 부등식의 해가 무엇무엇이 있는지를 구하는게 부등식을 푼다는 거였어요.

그런데 부등식의 해는 뭐 3, 3000, 이렇게 숫자 하나하나씩으로 주어지기보다는

크고 작고의 특성상, 여러개가 나올수밖에 없으니깐,

그냥 3000 이렇게 숫자 하나하나 부르는것보다

'3035보다 작거나 같은 애들 몽땅!'

저런 숫자들이 몽땅 부등식의 해가 되고,

그러니까 부등식의 해를 '식으로' 표현할 때 역시 와 같은 부등식으로 표현해야 된다는 걸 알게 된거에요.

(사실 방정식의 해를 식으로 표현할때도 등식으로 표현하잖아요? 똑같은거랍니다 ㅎㅎ)

오케이!

그럼 이제 진짜 부등식을 풀러 가봐야죠?

부등식의 해란 직접 대입해서 부등호를 맞게하는 것을 말한다.

아까부터 계속 했던 말이죠? 그래도 위 문장을 잘 보세요. 부등호를 맞게한다는 표현은 내가 지어낸 말이긴한데, 아무튼 부등식이 참이 되게 한다는 소리를 좀 더 풀어서 써봤어요.

진짜로 큰쪽에 '<'의 넓은 부분이 가게끔 그린 부등식이 참인 부등식이겠죠?

그럼 결국, 부등식의 해인지 확인하는 방법은 대입해서 부등식이 참이 되는지 확인해봐야 한다는 소리군요!

다시 말하자면, 대입해보면 부등식의 해인지 알 수 있다는 것!

그럼 이제 그걸 통해 진짜 부등식의 해를 구해볼까요?

글을 다시 한번 요약해보면,

화물차가 육교를 지나가려 하는데, 높이는 2.2m랍니다. 그런데 지나가려는 육교는 4.5m라니까, 그거보다 화물차 높이가 높으면 지나갈 수 없겠어요. 화물차가 육교보다 낮거나, 혹은 같아야겠죠. (흠.. 사실 같아도 문제가 있을것같긴한데 아주 딱맞는다면 지나갈수도 있을것 같네요)

그런데 다들 화물차를 한번쯤은 봤겠지만, 앞쪽 운전석 있는 곳은 높은데 뒤에 짐싣는곳은 그거보단 낮잖아요? 거기 높이는 1.3m라네요.

그럼 만약에 짐을 실으면 1.3m 위치에서 점점 높아질것같네요. 맞죠? 음.. 헷갈릴까요? 그럼 그림을 한번 그려볼게요

하하.. 그림을 정말 잘그렸네요!

아무튼.. 그럼 육교랑 비교해야할 부분은 화물차 앞쪽일까요 뒷쪽일까요?

그래요. 사실은 앞쪽이냐 뒷쪽이냐보다는 어디가 더 높은지가 중요하죠? 예를 들어서 앞쪽이 높고 뒤쪽이 낮은데, 앞쪽부터 막혀버리면 아예 지나갈 수가 없으니까요.

그럼 어디가 더 높은지를 본다음에

흠.. 그럼 짐을 화물차 앞쪽보다 높게 쌓으면 1.3+짐높이가 화물차 제일 높은 곳을 잰 높이가 될거고

그거보다 높게 못쌓았으면 2.2m가 화물차 높이가 되겠어요.

아이쿠! 부등식보다 이게 더어렵다구요?

맞아요 우린 부등식을 하나도 풀지 않았어요. 차높이만 계산했죠. 그래도 잘 따라오고 있죠?

그런데 짐이 박스같은건가봐요, 규격이 있는듯 하네요. 한개 올릴때마다 차의 높이가 1m씩 늘어난답니다.

그럼 짐을 하나 실을때마다 짐칸 높이 1.3m에 짐높이만큼 더해질테니

차의 총 높이는 (짐 실은 갯수) x 1 + 1.3 겠죠?

그럼 하나만 쌓아도 2.3m니까 차 앞쪽 2.2m보다 높겠네요. 그럼 사실 짐을 싣기만 하면 (짐 실은 갯수) x 1 + 1.3로 화물차 높이를 계산해도 되겠어요.

이게 4.5보다 작거나 같아야 통과할 수 있으니

부등식을 세워보면

가 되겠죠?

짐 실은 갯수란 말은 너무 불편하니 x로 바꾸고, x 곱하기 1은 어쨋든 x니 좌변의 (짐 실은 갯수)x1를 그냥 X로 바꿀수 있겠죠?

그럼 이렇게 될거에요

그럼 이제 이 부등식의 해를 구해봅시다! 그러려면 대입해 봐야겠죠?

그런데 여기서는 짐을 1층, 2층, 3층 이렇게 자연수 단위로만 쌓을 수 있으니까 {1,2,3,4,...} 여기 안에서만 골라서 대입해보면 될 것 같은데, 맞나요?

짐을 1.5개 이런식으로는 쌓지 않기로 했으니까요.

네 맞겠죠? (아닌 것 같은 사람은 밑으로 내려가서 추가 설명을 보세요). 그럼 1부터 대입해보면 좌변은 어떻게 되죠?

좌변 = 2.3, 우변=4.5 니까

2.3≤4.5 가 되어서 부등식이 성립하죠? 여기서 부등식이 성립한단 소리는 참이란 소리입니다.

그럼 2를 대입해보면?

3.3≤4.5가 되어서 성립하겠네요.

그럼 3을 대입해보면?

4.3≤4.5가 되어서 아슬아슬해보이긴 하지만 역시 성립하네요.

그럼 4를 대입해볼까요?

5.3≤4.5가 되어버리네요. 아이쿠! 그럼 이건 성립하지 않아요. 5.3이 4.5보다 작거나 같다니 이건 말도안되는 소리니까요.

그럼 이때는 부등식이 성립하지 않고, 그러니까 다시말해 4는 이 부등식의 해가 아니겠네요

4가 안되는데 5가 될리는 없어 보이죠?

한번 해볼까요?

6.3≤4.5가 되어서 정말로 안된다는 걸 확인했네요. 5도 이 부등식의 해가 아니에요.

5보다 큰 6,7,8 이런애들도 몽땅 해가 아닐거에요.

그럼 이 부등식 의 해는 1,2,3이 되겠어요.

이 위에 박스를 클릭해서 한번씩 읽고 오길 바래요! ㅋㅋㅋ

다시 한번 강조하자면

어쨋든 저쨋든 중요한건 그 숫자가 부등식의 해인지 아닌지 궁금하다면, 그 숫자가 x가 될 수 있는 숫자에 속하는지 확인해보고, 그런 후보중에 포함된다면, 실제 부등식에 넣어봐서 부등식이 성립하는지 아닌지 확인해보면 된다는 소리!

꼭 기억해두길 바래요.

그럼 이걸 완전히 수학 문제 형식으로 바꿔놓은 다음 문제도 풀 수 있겠죠?

이제 감이 잡히죠?

부등식이든 방정식이든 해를 구하라는 거는 그 식에 대입해서 진짜 참이 되게 하는 숫자들을 고르라는 건데,

그 미지수들은 사실 숫자 후보들을 가지고 있어서

그 안에 있는 숫자들만 가지고 해인지 아닌지 확인해보면 된다는 거에요.

부등식 배울 때 '미지수의 후보 값들에도 제한이 있다'란 걸 처음 알려줬지만

사실 방정식에서도 똑같은 적용되는 이야기들이랍니다.

여전히 헷갈린다면 댓글로 꼭 질문하길 바래요!

그럼 다음 수업에서는 무엇을 할까요?

'다 대입해 볼 수는 없다!!'며 봉기를 일으켜볼거에요.

왜 '다 대입해 볼 수는 없다!!' 이런 소리가 나오냐구요?

사실 이 트럭문제나 위의 수학문제에서야 x가 될 수 있는 후보들이 굉장히 적었지만,

사실은 그렇지 않은 경우도 많죠.

이 부등식만 해도 x가 될 수 있는 숫자들에 대한 제한을 풀어버리면

0도 해가 되고, 1.5도 해가되고, 3.1도 해가되고, 3.000000001도 해가 되고 와우 해가 무지무지하게 많잖아요?

이걸 언제 다 일일이 해인지 아닌지 직접 대입해보겠어요?

그래서, 다음 수업에서는 대입을 하지 않고도 한방에 모조리 해를 구하는 방법에 대해서 배워볼거에요.

사실 방정식에서도 똑같은 방식으로 수업했었죠. 처음엔 대입을 해서 해인지 확인해보다가, 그게 너무 힘드니까 등식의 성질을 이용해서 적절히 이항하고 같은 수를 나누고 등등등 기억나죠?

바로 그런 방법을 부등식에서도 똑같이 적용해볼거랍니다.

다음 수업 기대되죠? 밑에 링크를 타고 넘어오세요!

다음 수업 링크 :

부등식 - 부등식의 성질로 대입안하고 풀기

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