제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-3) 루트 벗기기, 제곱이 되는지 확인하기, 루트는 양수다.

지난 시간 수업:

제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-2) 제곱근을 나타내는 기호

지난 시간에는 근호 또는 루트를 사용해서 제곱근을 읽고 쓰는 법, 루트 기호를 사용하는 이유를 알아봤습니다.

루트 안에 4, 9, 16, 25 등과 같이 '어떤 수의 제곱이 되는 수'가 들어있으면 

근호를 사용한 표현 대신 우리한테 익숙한 숫자들로 바꿔 쓸 수 있다는 얘기를 했었죠?

반면에 그런 수들이 아닌 경우, 등등인 경우는

얘네들을 우리가 아는 숫자 형태로 직접 쓰기는 어렵다고 했었어요.

사실 분수인 형태로는 절대 쓸 수 없고, 소수 중에서도 무한소수로 나타냈어야 한다고 말씀드렸었죠.

순환하는 부분이 없어서 규칙없이 숫자가 마구마구 적히는 굉장히 긴 소수들이었어요.

이 이야기를 요약해보면 다음과 같습니당

근호가 있는 표현으로 쓰여진 수를 근호가 없는 숫자 표현으로 바꾸는 것을

비공식 용어로 '루트를 벗긴다'라고들 많이 합니다.

그럼 실제로 해봅시다.

연습문제 1. 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 수를 고르고,

실제로 근호를 사용하지 않고 나타내보세요.

(같은 뜻 다른 말) 루트를 벗길 수 있는 수를 고르고, 직접 루트를 벗겨보세요.

(1)번 부터 해보십시다.

은 제곱해서 36이 되는 수 중 양수를 뜻한다고 지난시간에 배웠습니다.

그럼 제곱해서 36이 되는 숫자를 찾아볼까요? 6인걸 쉽게 찾을 수 있습니다.

따라서 이 됩니다.

(2)번은요?

은 제곱해서 81이 되는 수 중 음수를 뜻하죠?

제곱해서 81이 되는 수를 먼저 찾아볼까요? 9를 제곱하면 81이 되겠는데, 양수가 아니고 음수라고 했으니까

-9라고 해야겠어요. 

따라서 가 됩니다.

(3)번은 어떤가요?

제곱해서 50이 되는 수가 있을까요? 7의 제곱이 49이고 8의 제곱이 56이니까 정수중엔 없습니다.

실제로 50은 어떤 수의 제곱이 될 수 없으니깐 우리가 아는 수로 나타낼 수 없습니다.

또 계산기를 돌려 계산해보면 이번엔 윈도우 계산기입니다.

요런 수라네요. 역시 무한소수지만 계산기가 끝까지 쓰기 싫어서 중간에 반올림시켰습니다.

아무튼 근호를 사용하지 않고는 표현할 수 없었네요.

다른 말로하면 루트를 벗길 수 없군요.

밑의 (4),(5),(6) 번은 혼자 해볼 수 있겠죠?

참고로 (6)번만 말해주자면 제곱해서 0.1이 되는 수는 없답니다~

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똑같이 둘로 나누면 제곱이 된다.

 그런데 어떤 수가 제곱인 수로 나타낼 수 있는지 없는지는 어떻게 판단하나요?

여러분이 이미 아는 방법인데요?

소인수분해를 이용하시면 됩니다.

는 루트를 벗길 수 있는 숫자일까요?

이를 알아보려면 제곱해서 784가 되는 숫자가 있는지 알아봐야겠죠?

어떻게 알아볼까요? 1을 제곱해보고, 2를제곱해보고, 3을 제곱해보고... 10을 제곱해보고.. 20도 제곱해보고.. 21도 제곱해보고..

그랬더니 28*28=784가 나오는군요?

따라서 이므로!

일일이 다 해보려면 너무 귀찮을거 같은데요?

그렇죠 일일이 다 해봤는데 제곱해서 되는 숫자마저 없다면.. 생각만 해도 끔찍하군요.

좀 더 스마트한 방법은 784를 소인수분해 하는 거에요. 소인수분해하는 방법은 중1때 배웠었죠?

기억이 안난다면 아래 링크를 클릭해서 보고 오세요.

[뇌통 - 중학수학강의/중학수학 7-가] - 자연수의 성질 - 소인수분해 - 거듭제곱과 소인수분해, 수학에서 영어가 나오는 이유

실제로 소인수분해에 성공한다면

임을 알 수 있습니다.

저는 물론 고수라 이것만 보고도 이미 제곱해서 784가 되는 숫자가 있다는 걸 알아버렸지만,

여러분들을 위해 이걸 갖고 784가 뭐의 제곱이 되는지 함께 알아봅시다.

그 과정은 다음과 같습니다.

따라서 이므로인 것도 알 수 있겠지요.

아무튼 소인수분해를 통해 784가 2가 4번, 7이 2번 곱해져 있는 수라는 사실을 알았습니다.

이때 화살표를 보시면 얘네를 정확히 반씩 쪼갭니다.

그랬더니 양옆으로 똑같은 갯수의 2와 7이 나눠졌고, 결국 제곱 모양이 되는걸 확인하셨죠? 

와우! 그렇네요. 제곱한다는 건 똑같은 수를 두 번 곱한다는 것이니,

반대로 원래 있던 수의 인수들을 똑같이 둘로 나눌 수 있다면 제곱인지 확인할 수 있겠네요. 

그럼 처음 이 수식만 보더라도 알 수 있단 말이 뭔지 알겠죠?

2가 4개 7이 2개 있으니 똑같이 2 두 개, 7 한 개로 나눌 수 있잖아요.

그럼 바로 784라는 숫자가

의 제곱인것도 위 그림과 같이 화살표를 그리지 않고도 알 수 있겠지요?

그리하여 

결국 소인수분해를 했을 때 각각의 소인수가 짝수번 곱해졌는지가 중요합니다.

홀수번 곱해져있다면요? 그걸 절대 둘로 나눌 수 없으니 제곱 모양이 될 수 없겠죠.

은요?

참고로 

입니다. (5를 어떻게 나눠야 제곱이 되죠?)

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는 0 또는 양수다. (=0 이상의 수다.)

☆이 양수라면, ☆의 제곱근 중에는 양의 제곱근(제곱근 중 양수인 것)과 음의 제곱근(제곱근 중 음수인 것)이 있고,

각각을 +과 이라고 쓴다고 했습니다. 

그런데 보통 양수를 나타낼때 +를 생략하듯이 +도 + 기호를 생략해서  라고만 나타내기로 했다고도 했었죠.

한편, 0의 제곱근이 0뿐이므로 을 0으로 하기로 했습니다.

에서 ☆이 0이면 은 0이 되는 셈이죠.

그럼 결국

  모양의 수들은

 즉, 마이너스 기호 없이 근호 하나로만 이루어진 모양의 수들은

 0이거나 양수입니다.

 동의하시죠? 이 때 ☆이 0인 경우는 특이 케이스이므로 여러분은  는 양수를 뜻한다. 라고 생각해도 무방하겠습니다.

 이런 관점으로 이전까지와는 다르게 을 바라볼 수도 있습니다.

 (1) 원래의 관점

 

 

원래의 관점에서라면 을 통째로 하나의 수로 보고 

'제곱해서 81이 되는 수 중 음수'라고 생각해서 

-9라고 바꿔 생각했었습니다.

 (2) 새로운 관점

 

그런데 새로운 관점에서는 '-' 부호와 을 분리해서 보고 

을 '제곱해서 81이 되는 수 중 양수'인 '9'로 바꿔서 생각할 수도 있겠지요. 

뭔 차이에요 시방 이게?

별 차이 없습니다. 그냥 편할대로 생각하시면 됩니다! ㅎㅎ.

어쨌거나 

는 0 또는 양수다.

 이것을 염두에 두면 다음 문제들이 헷갈리기 쉽지 않습니다.

연습문제2. 다음 값을 구하여라.

이것도 (1), (2)만 풀어보자면

 (1)

의 뜻은 [제곱해서 '6의 제곱'이 되는 수 중 양수]입니다.

글을 잘 읽어보세요. 어떤 숫자를 찾아야 하는데, 그 숫자를 제곱하면 6의 제곱이 되어야 하고, 또 그 숫자 자체는 양수기도 해야된다는 겁니다.

 (2) 

의 답이 -11이라고 한 사람들 있어요?

이런 사람들 때문에 강조를 하는 거랍니다.

저 기호의 뜻은 [제곱해서 '(-11)의 제곱'이 되는 수 중 양수]를 뜻합니다.

알겠죠?

제곱해서 (-11)의 제곱이 되는 수는 11과 -11이 있지만, 그 중에서도 루트 기호 자체는 양수를 뜻하기 때문에

-11이 아니라 11이 되어야 하는 것이겠지요.

 물론 말로만 설명했지만 (1)과 (2)를 식을 써서 풀이를 나타낼 수도 있습니다.

이렇게요. 그런데 이거보다는 위의 말로 된 설명을 이해하는 게 더 도움이 될 것 같네요.

(3), (4)는 그럼 답이 음수가 되겠죠? 한번 풀어보세요.

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위 문제와 같은 경우에서 우리는 다음과 같은 등식이 성립함을 알아낼 수 있습니다.

(가 양수)일 때,

---

정수를 루트가 있는 숫자로 표현하기

 

 

이란걸 알았으니 반대로 을 으로 바꿔 쓸 수도 있지 않겠어요?

뜻을 생각해보면 이렇습니다.

을 루트 안에 넣으려면 이 제곱해서 무엇이 되는 숫자인지 알아야 하죠.

그럼 을 실제로 제곱해보면 되겠죠?

그럼 이네요.

네 그래서 입니다. 참 쉽죠?

그렇다면 은?

연습 문제로 풀어보시죠.

연습 문제3. 다음 숫자들을 루트가 있는 숫자로 바꿔 표현하세요.

답

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아이고 다음 내용을 이어서 쓸지 아니면 포스팅을 나눠서 써야 할지 감이 안잡히네요.

원래는 실제 수업이라고 생각하고 글을 쭈욱 쓰면서 수업 분량을 조절하는데

이번 포스트는 어떻게 쓸지 고민하다가 3일을 보내버려서 수업 분량이 얼마나 될지 감이 잘 안잡히네요 ㅎㅎ

우선 나눠서 써보고, 필요하다면 붙이겠습니닷!

오늘까지 제곱근과 루트를 배우느라 많이 수고하셨습니다!

최대한 어렵지 않게 하기 위해서 많은 경험과 관점을 소개해드리려고 했었는데 잘됐을지 모르겠습니닷!

다음시간에 루트끼리 값의 크기를 비교하는 방법을 배우고,

루트 중 일부는 우리가 알던 수가 아니라 무리수라는 사실을 배우면 이제 제곱근에서도 해방입니다 ㅎㅎ

근데 이미 제가 전 강의에서부터 조금씩 언급했었던 거걸랑요

그래서 여태까지 한것만큼 어려울것 같지는 않습니닷!

사실 여태까지 한것도 엄청 어렵진 않았죠?

역시 여러분들입니닷!

어려운점 있으면 항상 댓글이나 방명록으로 질문 주세요 찾아갑니닷!

다음 시간 수업:

제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-4)제곱근의 크기 비교