지난 수업 보기:
제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 1-3) 루트 벗기기, 제곱이 되는지 확인하기, 루트는 양수다.
제곱근이 무엇인가를 탐구하는 여정의 마지막 길입니다.
물론 아직 뒷단원이 더 남아있긴 하지만... ㅋㅋㅋㅋ 거의 다오셨어요!
힘내세요! 저도 죽을맛이네요 ^_^
요새 매일 강의 한편을 연재하려고 하고 있는데.. 요기 단원에서는 어떻게 글을 쓸까 하고 며칠에 걸쳐서 고민도 하다보니 며칠에 한 편씩 글이 써지게 되네요.
그래서 결과적으로 지금 2주째 제곱근만 쳐다보고 있는데 저도 참 죽을맛입니다
그렇지만 여러분들은 공부가 즐거우시죠??^0^
저도 다시 힘내서 가보겠습니다.
갑시당
정사각형엔 제곱도 제곱근도 있다.
'하트가 별의 제곱근이다.' 라는 얘기는 지금쯤의 여러분이라면
'하트를 제곱하면 별이 된다.'는 얘기로 들릴테지요?
이 말을 그림(도형)으로 표현할 수 있는 가장 간편한 방법은 뭘까요? 바로 정사각형을 이용하는 것입니다.
사실 같은 얘기를 지난시간에 이미 조금씩 언급했었는데요.
다음 예제를 보시죠.
핸드폰 카메라로 찍은 덕분에 밝기가 좀 이상하긴 하지만..
어쨌든 위 탐구활동의 (1)번을 해보십시다. 왼쪽과 오른쪽에 크기가 각기 다른 정사각형이 주어졌죠?
모눈 한칸의 길이가 1이니 모눈 한 칸짜리에 해당하는 정사각형의 넓이도 1이겠습니다.
이를 토대로 넓이를 잘 세어보면 색칠한 두 정사각형의 넓이는 각각 2와 5인 것을 알 수 있겠네요. (중3시절의 제가 구했으니 여러분도 어렵지 않게 할 수 있을 겁니다 ㅎㅎ)
그럼 각각의 정사각형의 한 변의 길이는 몇이 될까요?
각각 
왜냐하면
(정사각형의 넓이) = (한 변의 길이)의 제곱 |
이므로
넓이가 2가 되려면 한 변의 길이는 2의 제곱근인
넓이가 5가 되려면 한 변의 길이는 5의 제곱근인 
방금한 활동을 토대로 위의 말을
(한 변의 길이) = (정사각형의 넓이)의 제곱근 |
이렇게 바꾸어 써도 상관 없겠지요?
얘를 그림으로 표현하면 이렇답니다.
정사각형의 넓이가 ☆이라면, 한 변의 길이는 |
반대로 정사각형의 한 변의 길이가 먼저 주어지면 정사각형의 넓이는 얼마가 될까요?
정사각형의 한 변의 길이가 ♡라면? 넓이는 ♡^2이다! |
뻔할 뻔 자죠?
어렵지 않으니 바로 다음 활동으로 갑시다.
루트의 크기 비교하기
정사각형에 제곱과 제곱근이 있다는 사실을 안다면, 정사각형을 이용해서 루트의 크기도 서로 비교해볼 수 있습니다.
탐구활동 (2)번을 해봅시다.
위 사진 속 활동에서, 두 정사각형 중 넓이가 더 넓은 정사각형은 어느쪽인가요? 오른쪽이요.
그렇다면 두 정사각형 중 한 변의 길이가 더 긴 정사각형은 어느쪽인가요? 오른쪽이요.
여러분들 중에 눈치가 빠른 분들은 이미 무슨말을 하고 싶은지 아시겠죠?
오늘 루트의 크기를 비교하기 위해 알아야 할 내용은 다음과 같습니다. 이미 알고 있는 거에요!
1. 넓이가 더 넓은 정사각형은 한 변의 길이도 길다. 2. 한 변의 길이가 더 긴 정사각형은 넓이도 더 크다. |
한 변의 길이든, 넓이든 더 큰놈이 나머지 한 쪽도 더 큰 놈이다!
진짜일까요? 안믿겨지는 분들은 아래를 클릭해서 몇 개 정사각형을 같이 만들어봅시다.
실제로 정사각형을 그려봅시다
이거랑 루트랑 뭔 상관인데요?
아직도 감을 못 잡았다면 다음 탐구활동도 같이 해봅시다!
이런, 사실 중3 시절의 제가 또 해놨네요. ㅋㅋ
어쨌든 하고픈 말은 점점 뚜렷해지고 있습니다.
정사각형의 넓이가 a, b라면, 각각의 한 변의 길이는 
만약에 넓이가 b가 a보다 더 크다면
아하, 그냥 루트 안엔 알맹이가 더 크면 루트 자체도 더 크겠네요?
그렇죠! 그 얘기입니다!
각각 넓이가 
(정사각형 그림)
그러면? 당근 빠떼루
정사각형에서 시작해서 제곱근의 크기 비교까지 와버렸군요!
방금 한 내용을 엄청나게 요약하면 다음과 같습니다. 밑에 정리해두었습죠 헤헤
위에서 같이 봤던 [정사각형의 넓이와 한 변의 길이의 관계]에 대한 문장이 수식으로는 어떻게 표현되는지 보세요!
1. 넓이가 더 넓은 정사각형은 한 변의 길이도 길다.
|
일 때, 
이면 
(※ 이 수식은
부등호 양변이 양수라면 양변에 루트를 씌워도 부등호 방향은 변하지 않는다!
로 해석할 수도 있습니다.)
1번을 통해
라는 사실을 알 수 있습니다!
2. 한 변의 길이가 더 긴 정사각형은 넓이도 더 크다.
|
(※ 이 수식은
부등호 양변이 양수라면 양변을 제곱해도 부등호 방향은 변하지 않는다!
로 해석할 수도 있습니다.)
정사각형 말고 다른 방법으로 증명하고 싶어요(심화과정)
를 곱해봅시다. 
가 되고 우변은 
곱하기의 순서를 바꿔도 똑같으니 오른쪽으로 바꿔씁시다.
가 됩니다. 
라는 숫자는 
라는 숫자를 곱한 숫자보다 작군요.
를 곱합시다. 이때도 역시 부등호 방향은 변하지 않습니다.
가 되겠습니다.
라는 숫자는 
일 때 
가 된다는 사실을 똑같이 보일 수 있습니다.
이거나 
인 경우는 우리가 원하는 상황이 아닙니다.
라고 가정해봅시다. 그럼 방금 한 (2)번의 결과
가 됩니다.
일 떄는 
가 됩니다. 따라서 
일 때는 루트 안의 알맹이끼리 비교한다!
문제에는 어떻게 적용되는지 함께 풀어볼까요?
(1)번부터 해봅시다
아니 5는 루트가 아닌데요?
그럼 루트로 만들면 되죠.ㅎㅎ
지난시간에 했듯이 
(2)번도
그럼 연습문제를 풀어봅시다!
연습문제 1. 다음 수의 대소를 비교하여 부등호로 나타내세요.
답
여기까지 오셨다면 여러분은 루트를 얼추 이해했습니다!
루트 기호는 왜 있으며, 무엇을 표현하기 위한 것인지, 읽는 법은 무엇이고
루트를 벗기고 다시 씌우고 하는 일도 자유롭게 할 수 있지요.
거기에 루트끼리, 혹은 루트랑 다른 숫자끼리 크기 비교도 할 수 있어요. 이제 못하는 일이 거의 없습니다!
물론 곧 있으면 루트끼리 곱셈하는 법, 덧셈하는 법도 배우게 될텐데요.
그것들을 배우기 전의 바로 다음 단원에서는
잠시 짬을 내서 무리수에 대해 알아보고 넘어가도록 하겠습니다.
유리수는 아는데 무리수는 못 들어봤지요? (들어본 사람도 있을테지만)
단원의 이름이 '제곱근과 무리수'인데 제곱근과 무리수가 어떤 연관이 있길래 같은 단원으로 묶어놓은 걸까요?
다음 강의부터 함께 알아봅시다!
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