제곱근과 실수 - 1. 제곱근과 무리수 - 2-2) 피타고라스와 무리수 -2

지난 수업 보기:

2-1) 피타고라스와 무리수 -1

아휴!

글쓰기가 참 어렵네요.

전편에도 말했지만 지금 두 편째 연재하는 '피타고라스와 무리수'는 

반드시 알아야 할 부분은 아닙니다.

그렇지만 여러분들이 알면 더 도움이 될 것 같아 책들을 찾아가며 글을 쓰고 있어요.

사실 시중에도

제가 지금 피타고라스와 무리수에 대해 쓰는 것처럼

나름대로 학생층을 겨냥해서 나온 스토리텔링 수학책들이 꽤 있는데,

저는 그런류의 책들을 볼때마다 수학적으로 별로 유익하지도 않고

실제로 있었던 일인지 신빙성이 있는지도 의심스럽다고 생각해서 그런 책들을 별로 안좋게 봤었는데..

글을 쓰는 지금도 그 생각이 변하진 않았지만

'그래도 작가님들이 열심히 쓴 글이겠구나.' 라는 생각은 하게 됐네요. 껄껄

역시 요즘 세상에는 이것저것 노력의 결과물들을 쉽게 (돈만 내면..) 얻을 수 있어서 그런지

다들 눈들이 높아져서

남이 공들인 내용은 박하게 평가하는 일들이 많은데

직접 뭔가 해보면 그게 아니라는 생각이 들 때가 많네요.

네 또 딴소리를 했군요.

지난 시간에 피타고라스가 피타고라스 음계를 정리하면서

음악에도 정수가 있다(정수의 비가 있다)는 사실을 보고 너무 기뻐했단 이야기까지 했었죠?

'모든 것은 (정)수이다!' 라곡 과감하게 주장한 피타고라스 학파.

그 안에서도 과감했던 한 주장때문에 이후 피타고라스 학파는 곤경에 처하게 되는데.. 

어떤 곤경일지 함께 알아보러 떠나봅시다!

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기준을 정하면 비를 비율로, 정수비를 유리수로 나타낼 수 있다.

연구 끝에 현악기의 줄을 가지고 특정한 정수 비를 갖게 길이를 정하면

아름다운 소리가 나는 음계를 이룬다는 것을 발견한 피타고라스.

그의 이름을 딴 피타고라스 음계는

도레미파솔라시도에 해당하는 음을 내려면

맨 처음의 '도' 음을 내는 줄의 길이와

'도'는 1:1

'레'는 9:8

'미'는 81:64

'파'는 4:3

'솔'는 3:2

'라'는 27:16

'시'는 243:128

높은 '도'는 2:1

의 정수 길이비를 이루는 줄을 만들면 되는데요.

그런데 여러분들

혹시 상대음감이란 얘기 들어봤나요?

두 오디오가 각각 어떻게 들리는지 확인해보세요.

두 소리는 시작음의 높이가 서로 다르지만 우리 귀에는 둘 다 "도레미파솔라시도"로 들리는데요.

시작음의 높이에 상관 없이 처음 음을 '도'라고 생각하고

그 음을 내는 줄과 9:8의 길이비를 이루는 줄을 만들어서 연주하면

그 소리가 맨 처음 음의 다음 음, '레' 음처럼 들리게 된답니다.

다음 음인 '미' 음도 '도' 음과 81:64의 길이 비를 이루기만 하면 '미' 음처럼 들릴테구요.

(9:8의 길이비를 이루는 줄 두 쌍을 제시하면서 '똑같이 도와 레로 들린다!'는 걸 알려줄 그림)

이와 같이, 처음 음을 내는 길이가 어떻든 상관없이

그것과

'도'는 1:1

'레'는 9:8

'미'는 81:64

'파'는 4:3

'솔'는 3:2

'라'는 27:16

'시'는 243:128

높은 '도'는 2:1

의 비를 이루기만하면

똑같이 '도레미파솔라시도'로 들린답니다.

즉, 우리의 귀가

물론 음의 절대적인 높낮이를 구분도 하지만

상대적인 음

그 중에서도 전 음과 다음 음 사이의 정수비를 듣고 똑같다고 느끼게끔 되어있다는 것이지요.

이뿐인가요.

음악시간에 화음을 배웠던 게 생각나나요?

정수비를 갖는 음계 중에 몇 가지를 골라서 동시에 소리를 내면

우리의 뇌가

그 화음을 아름답게 느끼기 때문에 화음이란 개념이 생겨날 수 있게 된답니다.

우리가 느끼는 음악적 아름다움이 정수와 연관이 되어있다는 소리지요.

피타고라스가 왜 짜릿했을지가 한 번 더 느껴지는군요.

역시 정수는 옳았어!!

라고 했을지도 모를일이네요.

사진 출처 : science 2.0

위 그림은 저번 시간에 본 그림이네요. 오늘도 기타보단 그 위의 길이와 숫자들을 보시기 바랍니다.

제가 위에선 줄끼리의 비를 갖고 설명했지만 

그림에서는 음계별로 처음 줄에 대한 비율로 나타냈어요.

이 때 각각의 비율이 의미하는 바를 생각해보면 다음과 같습니다.

맨 처음 낮은 '도'음을 내는 줄을 기준으로 해서

각각

'레'에 해당하는 줄은 낮은 '도' 음을 내는 줄을배 하면 만들어지고, 

'미'에 해당하는 줄은 낮은 '도' 음을 내는 줄의 배, 

'파'는 배,

 '솔'는 배, 

'라'는 배,

'시'는 배,

높은 '도'는 배로 만들어진다는 소리지요.

다시말해서

맨처음의 낮은 '도'에 해당하는 줄의 길이를 로 본다면

'레'는 , '미'는 , '파'는 , '솔'는 , '라'는 , '시'는 , 높은 '도'는 의 길이가 된다는 의미입니다.

수직선을 떠올려보세요.

'도'를 내는 줄의 길이가 수직선에서 에 해당한다면

에 해당하는 길이가 '솔'을 내는 줄,

에 해당하는 길이가 높은 '도'를 내는 줄이 되겠습니다.

즉,

어떤 음을 기준으로 삼아서 그 줄의 길이가 으로 정하면

나머지 줄의 길이는 각각 위에 적힌 비율에 해당하는 유리수로 정해진다는 소리입니다.

이것이 바로 유리수가 갖는 의미 중 하나입니다. 

'솔'에 해당하는 라는 숫자는 과 의 비를 이루는 숫자입니다.

(숫자 1을 3등분 한 것이 2개 있으면 가 되지요.)

유리수의 정의가 뭐였죠? 다시 말해 뭘 보고 유리수라고 불렀나요?

우리는 정수 분의 정수로 나타낼 수 있는 수들을 유리수라고 부릅니다.

정수 분의 정수라는 분수 꼴, 즉 비율 꼴의 숫자이기 때문에, (이게 유리수의 정의죠?)

처음부터 정수와 정수의 비율이라는 의미를 가질 수밖에 없지요.

정수매니아인 피타고라스가

음악을 정수 비로 나타낼 수 있다는 걸 발견하고 감탄했다고 얘기했었는데요.

이 이야기는

피타고라스가 음악을 유리수로 나타낼 수 있다는 것을 발견하고 감탄했다는 것과 같은 이야기인 셈입니다.

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나에게 기준을 하나만 다오. 그럼 모든 길이를 잴 수 있으니

세계에 숨어있는 정수들을 발견하는 재미에 푹 빠진 피타고라스.

피타고라스 음계 뿐 아니라

다른 많은 분야에도 숨어있는 정수를 발견하는 데 성공하게 됩니다.

지난 시간에 많은 예시들을 들면서 이야기했었죠.

피타고라스는 정수를 발견하는 재미를 넘어 

일종의 감동 혹은 경이로움을 느꼈을지도 모릅니다.

(그가 생각하기에는) 세상에 숫자, 즉 정수가 없는 곳이 없었으니까요.

그래서 그는 한층 더 나아가서

"세상 모든 것은 (정)수이다. All things are numbers."

라고 과감하게 주장하게 됩니다.

그를 비롯한 피타고라스 학파는 단순히 말로만 이야기한 것이 아니라

정말 모든 것을 수로 나타낼 수 있다고 생각했어요.

모든 곳에 정수가 숨어있다고 생각했지요.

그 생각은 길이에도 예외가 아니었습니다.

길이에도 정수들이 숨어 있다고 생각했지요.

좀 더 정확하게 말하면 어떤 길이든지 정수비로 나타낼 수 있다고 생각했답니다.

길이요?

네, 길다 짧다 할 때 그 길이.

우리가 음계를 내는 줄의 길이들 사이에 9:8, 81:64, 3:2 등등의 정수비가 있음을 발견한 것처럼

단순히 음악에서 쓰이느 줄의 길이 뿐 아니라

세상에 있는 모든 길이.

내 키, 너의 키, 머리카락 길이, 지우개 한 쪽의 길이 등등등

세상에 있는 어떤 길이든지 두 개를 골라 비를 재면 정수 비로 나타내져야만 한다고 본 것이지요.

무슨 말인지 모르겠나요?

그럼 기준을 하나 정해서 생각해봅시다.

우리 초등학교때 했던 것처럼 한 뼘을 기준으로 해볼까요?

주변에 있는 모든 것들을 뼘으로 한 번 재보세요.

몇 뼘으로 나오나요?

저는 지금 이 강의를 노트북으로 쓰고 있는데, 노트북의 가로 길이는 제 손으로 두 뼘 정도 나온답니다.

그럼 제 손 한 뼘과 노트북의 가로의 길이의 비는?

네, 1:2라고 할 수 있겠지요.

그런데 사실 정확히 2뼘은 아니네요. 손가락 한 마디 정도가 노트북을 넘어가거든요.

한 마디가 제 뼘의 7분의 1정도 되는 것 같으니 두 뼘어치에서 7분의 1만큼을 빼야겠죠.

그래서 조금 더 정밀하게 이야기하면 (이것도 어림이지만..)

노트북의 가로 길이는 제 손으로 뼘 정도 되는 것 같군요.

제 손 한뼘과 노트북의 가로 길이를 아까 했었던 보다 조금 더 정확하게 비로 나타내면  이 되는 셈이죠.

이런 식입니다.

옆에 있는 수능특강이라는 문제집 세로의 길이는

제 손으로 한 뼘하고도 뼘 정도 되는 것 같거든요?

그럼 총 뼘이고 비로 나타내면 이 되겠네요.

이렇게, 노트북과 수능특강 책 말고도 모든 것들을 제 뼘과 비교해볼 수 있겠어요.

여러분도 한번 해보세요. 은근히 재밌네요 ㅋㅋ

아무튼 이렇게 어떤 것이든 두 가지의 길이를 비교할 때마다 

그 비가 정수비로 나타나야만 한다는 것이 피타고라스 학파의 생각이었답니다.

이를 조금 다른 관점에서 보자면

방금 제가 한 것처럼 제 손을 기준으로 했을 때

한 뼘을 로 보고 다른 것들을 유리수 배(뼘 같이..)로 나타낸 것처럼

단위 하나를 기준으로 삼아서 그 길이를 로 본다면 다른 것들의 길이를 쟀을 때 모두 유리수(배)로 나타내져야 한다.

(손 한 뼘()의 배인 노트북의 가로 길이.. 손 한 뼘()의 배인 수능특강 세로의 길이.. 이런 식으로)

는게 피타고라스 학파의 과감한 생각이었답니다.

그럼 이 생각은 진짜 참트루일까요?

제 손 한 뼘을 이라고 한다면 다른 길이는 몽땅 유리수로 나타낼 수 있을까요?

세상에 있는 어떤 것의 길이든 

제 손 한 뼘과 비교한다면 정수비를 이루게 될 까요?

흐음... 과연 모든 것이 손 한 뼘과 정수비를 이룰 것인가?

사진출처 : wikihow

방금 노트북이랑 한 뼘이랑 비교한 것처럼 하면 되는 거 아니에요? 다 정수비로 나타날 거 같은데요.

ㅋㅋㅋ 근데 방금 했던 것처럼 하기엔 함정이 있죠. 

우리는 사실 정확한 길이를 잰 게 아니었어요. 

손가락 한 마디 더 튀어나간게 대충 내 손을 7 등분한 것이랑 비슷하다고 어림짐작해서 이라고 했었던 거죠.

이해를 돕기 위해 어림을 해서 비를 구했지만

실은 이렇게 어림하는 수준이 아니라

제 손 한 뼘을 정확하게 재고

노트북의 가로 길이를 비롯한 다른 길이들을 정확하게 쟀을 때

제 손 한 뼘이

다른 모든 길이들과 정수 비를 이룰 것인지가 궁금한거죠.

(정확하게 쟀을 때도 한 마디가 몇분의 몇으로 나타날까? 그림)

진짜진짜 정확하게 잰다고 쳤을때

저 튀어나간 손가락 한 마디 정도가 그 때에도

한 뼘의 몇 분의 몇에 해당하는 숫자가 될까요?

그래서 앞서서 나타낸 것처럼 정수비로 나타낼 수 있을까요?

이 세상에 분수가 얼마나 많은데, 그 중 하나는 해당되지 않을까요?

재밌는 생각이에요.

맨 처음 제가 어림했던 7분의 1이 안된다면

7분의 1과 크기가 비슷한 분수들을 쭉 찾으면 그 안에 손가락 한 마디 길이가 나올 거란 생각이죠?

이니 0.15 쯤 되는 군요.

이와 비슷한 숫자들이 이 세상에 얼마나 많겠어요? 

분모를 바꿔가면서 찾아볼까요?

(순환마디가 540자리라서 생략..)

    

(이것도 202자리라서 생략..)

(각각의 분수에 해당하는 길이와 손가락 한 마디를 비교한 그림)

이렇게 구한 분수 길이들이

손가락 한 마디랑 크기가 정확하게 안맞아 떨어지면 어떻게 할까요?

그럼 다른 분수를 또 찾아서 시도해보면 되죠.

세상에 분수가 얼마나 많은가요? 무한정 만들어낼 수 있죠. 정수가 무한개니까요.

근데 손가락 한 마디 길이만큼의 크기를 가진 분수가 없겠어요?

당연히 뭔가 하나는 있겠지요.

여러분도 이런 생각에 동의하나요?

세상에 이렇게 분수가 많은데 설마 그 안에 저만큼 길이가 없겠쏘냐!

우리 피타고라스 행님의 말이 맞다!

다른 길이를 가져와도 손가락 한 뼘이랑 비교하면

당연히 뭔가 분수가 있어서 손가락 한 뼘의 몇분의 몇배로 표현이 가능하다!

일리가 있어 보이나요?

있어 보인다면, 여러분도 피타고라스 학파와 똑같이 생각한거랍니다.

없어 보인다면, 피타고라스 학파에 반대하는 의견을 갖고 있는 것이죠.

---

정수가 세상의 근본이다 라는 피타고라스의 꿈.

한 사람으로 인해 근간이 흔들리다.

실제로 모든 길이가 정수비를 갖는다라는 것을 증명할 방법은 알려지지 않았답니다.

자기 말이 맞다고 주장하려면 그 근거를 댈 수 있어야 하겠죠.

그러나 이 주장에 대해서는

'단위 이 주어지면, 다른 모든 길이들이 유리수 꼴로 나타난다.'의 근거를 대봤자,

방금 위에서 이야기한것처럼

'분수가 많은데 그 중 하나는 있겠지!'

정도의 근거밖에는 댈 수 없었죠.

수학자들은 그거보다 더 설득력 있는 증명을 원했어요.

그런 증명을 찾으려고 제일 노력한 사람은 아마 피타고라스가 아닐까요?

그의 사상,

세상을 이루는 모든 것들은 정수로 이루어져있다.

그러니까 길이도, 넓이도, 모든 게 다 정수비로 나타내져야한다.

라는 생각이 유지되려면 

반드시 증명을 해서

'짜잔! 진짜 그렇지?' 라고 믿게 만드는게 필요했을 테니까요.

그러나 결과는 여러분들이 아는 그대롭니다.

피타고라스는 증명을 찾는 데 실패했고

아뿔싸! 증명은 커녕 

그의 주장이 틀렸다는 증거물을 찾은 이가 나와버렸죠.

가장 처음 그 증거물을 찾은 사람은 바로 제자 히파수스(라고 카더라..).

단위만 주어지면 모든 길이가 유리수꼴로 나타내어진다는 스승의 이야기와는 달리

아래 그림처럼

정사각형의 한 변의 길이를 로 하면

그 대각선의 길이인 는 유리수꼴로 나타낼 수 없다는 사실을 밝혔답니다.

(증명 만들어 넣기)

다시 말해, 과 는 죽어도 몇 대 몇 이라는 정수비로 나타낼 수 없다는 것이죠!

피타고라스 학파 생각대로라면

세상은 모두 정수로 이루어져야 하는데

정수의 법칙이 통하지 않는 것이 있다는 게 밝혀진 것입니다. 바로 라는 숫자가 존재한다는 것을 통해서요.

쿠구궁.

피타고라스 학파에게 정수는 믿음의 대상이었잖아요?

세상 천지가 정수의 법칙으로 이루어진 줄 알았건만..

그게 아니었다니,..

그가 전파한 다른 믿음들까지 깨어질 위기에 처한 것이었습니다. (숫자 10은 완전하고 어쩌고 저쩌고 이런 소리까지 했는걸요)

그래서 그들은 극단적인 선택을 하고 마는데..

후대의 기록에 따르면

피타고라스 학파가 맨 처음 가 유리수가 아님을 밝혀낸 이를 바다에 빠뜨려 없애버렸다나 뭐라나..

그 다음에는 그런 일이 없었던 것처럼

그런 사람이 존재하지도 않았던 것처럼 연기를 했다고 합니다.

그깟 믿음이 뭐라고 믿음을 지키기 위해 집단 연기를 했을까요?

제가 봤을때는 그렇게 용쓰는게 더 불쌍한 것 같은데 말입니다 

여러분들은 어떻게 생각하나요?

모쪼록 피타고라스 학파는

정수, 그리고 그들의 비로 나타내지는 유리수만으로 이루어진

그들만의 수 체계를 지키기 위해

무리수라는 수는 없다고 믿었고

이 믿음을 지키기 위해 극단적인 선택을 하게 되었답니다.

반대로 정수분의 정수꼴로 나타내질 수 없는 수가 있다는 것이

히파수스에 의해 실마리가 제공된 셈이구요.

그것을 연구하면서 지금 우리가 아는 무리수라는 이름도 등장하게 된 것이지요.

그렇게 등장하게 된 무리수,

등장까지 꽤나 우여곡절이 많았죠?

이렇게 재밌는 이야기가 있었는데

교과서에 나온대로 단순히 정수분의 정수가 아닌 숫자가 유리수다라고만 생각하기엔 조금 아쉬울 뻔했죠.

아무튼,

그래서 이렇게 피타고라스와 무리수 이야기가 대단원의 막을 내립니다!

긴 글 읽느라 수고 많으셨습니다!

여태까지 무리수가 어떻게 발견되었는가에 대해 이야기 했으니

다음시간부터는 그렇게 발견된 무리수는 어떤 특징이 있는지에 대해 조금씩 배워봅시다.

다음시간에 만나요 뿅!

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다음 수업 보기:

준비중!

(사실 이번 수업 그림과 증명들도 준비중!)

<참고문헌>

 <무리수 : 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기>, 줄리언 해빌 저

무리수: 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기 국내도서 저자 : 줄리언 해빌(Julian Havil) / 권혜승역 출판 : 승산 2014.11.03 상세보기

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 1. 피타고라스는 단위 길이가 주어지면 나머지를 유리수로 표현가능하다는 이야기는 하지 않았다.

이봇이 이해를 돕기 위해 만든 표현일 뿐, 원래 주장은 '어떤 두 길이를 갖고 오든, 그 두 길이가 정수배가 되는 한 가지 단위가 존재한다.'였다.

이건 '두 길이에는 항상 정수비가 존재한다'라는 말과 같고

이건 또 '한 길이를 기준으로 하면 다른 길이는 유리수로 나타난다.'

라는 말과도 같다!

이봇은 세 번째 문장을 택해서 이야기를 풀어나갔다.

2. 히파수스가 정사각형의 대각선을 가지고 반례를 찾았다는 것은 확실하지 않다.

정오각형이었을 수도, 아니면 펜타그램(별모양 그림)일 수도 있다!

1번에서 이어지는 내용이지만 

히파수스는 루트2가 무리수임을 밝힌 것이 아니라(결국 똑같은 말이긴 하지만)

정사각형의 한 변과 대각선은 두 길이를 정수배로 하는 한 가지 단위가 존재하지 않음을 보인 것으로 추정된다!

3. 사실 맨 처음 발견자가 히파수스인지도 불확실하다!

그를 물에 빠뜨렸는지도 불확실하다! 둘다 후대 사람들에 의한 카더라..

물론 그 이야기들을 기록한 사람들은 이름있는 사람들이지만, 그사람들도 카더라를 적었다더라..

4. 모든 것이 정수다라는 생각은 길이에만 해당되는 이야기가 아니다!

길이, 넓이, 부피, 시간 등등 연속적이라고 생각되는 모든 대상들에 대한 이야기.

사람들이 1, 2, 3, 4 .. 하고 하나씩 끊어서 세는 정수(이산적인 대상)로

연속적인 대상을 표현할 수 있다는 것이 피타고라스 학파의 주된 생각이었고,

히파수스(로 추정되는 사람)가 반례를 밝혀낸 것은 그런 생각의 근간이 모두 뒤흔들릴 크나큰 사건이었다는 것.