안녕하세요! 오랜만입니다. Evot입니다.
몇달만의 연재인지 모르겠군요. 원래가 이렇게 오랜시일 간격으로 써오는 터였지만, 고등학교에 입학하다보니 눈코뜰새 없이 바쁜 하루들의 연속이더군요.
굉장히 재미나면서 바쁘게 살아가고 있습니다.
그러다보니 이 걸 연재하려는 생각은 통하지 못하고 있었는데, 시험이 끝난 현재 다시 시작해보려 합니다.
각설하고 시작하겠습니다.
여태까지 쭉 따라오신 분들이 얼마나 되실지는 모르겠지만, 현재껏 배운것들은
집합, 소인수분해와 최대공약수 최소공배수, 십진법과 이진법이었습니다.
그 중 수학의 가장 근간이되는것,
즉 몰라서는 안되는 것은 집합정도가 있겠네요.
[소인수분해, 최대공약수와 최소공배수, 십진법과 이진법등은 약간 더 세부적이라고 봐야겠죠.]
무슨 소리냐 하면, 이제 배우는 '수체계' 중 정수와 유리수에 대해 공부하는 것이, 숫자를 가지고 노는 학문인 수학을 시작하는 가장 중요한 첫단계라는 것입니다.
또 잡소리가 길어졌군요.
그렇다고 앞에서 배운것들이 쓸모없다는건 아니에요.
각자가 필요하기때문에 수많은 사람들이 공부해왔고 밝혀낸 바들이 담겨있으니까요.
그럼 또 시작해봅시다 ㅋㅋ
수학은 기본적으로 숫자를 가지고 노는 대수학과 도형을 가지고 노는 기하학으로 크게 나눌수 있어요.
그런데 세월이 흘러오면서 도형또한 어떤 식들로 나타낼수 있다는것을 깨닫게 되었고, 결국 수학은 숫자를 가지고 하는 놀음이란 걸 알게되었죠.
이 숫자놀음을 하기 위해선 수가 무엇인지부터 알아야 해요.
숫자가 어디서 등장하였고 이런건 뭐 크게 중요한부분은 아니니까 넘어갑시다.
고대인들이 작대기를 직직긋고 이런거에서부터 출발해서 아라비아 사람들이 0을 개발해서 십진법을 사용하기까지의 과정들은 말이죠.
자연수와 0
여러분들은 숫자를 세보세요. 라고한다면 뭐가 떠오르나요?
가장 처음이 되는 숫자인 1, 그다음에 2, 그다음에 3, 이런식으로 숫자를 세나가시는 분들이 많겠죠
1부터 쭉쭉 하나씩 늘려가면서 세는 이 숫자들이 바로 가장 기본이되는 자연수죠.
우리에게 익숙한 집합형태로 나타낸다면
N = {1, 2, 3, 4, 5, ‥·} 가 되겠죠. [여기서의 N은 Natural Number(자연수)의 준말이죠.]
그렇다면 0은 자연수에 포함될까요?
아쉽게도 그렇지는 않습니다. 0은 말그대로 0일 뿐이죠.
그럼 0보다 작은 수들도 있을까요?
예 있습니다. 바로 흔히 들어는 봤지만 크게 이해는 되지 않던 수들, 즉 -1 -2 -3 과같이 숫자앞에 마이너스가 붙어있는 형태들이죠.
왜 숫자앞에 마이너스가 붙는건 많이 보긴 했어도 어색하고 의문스러울까요?
그건 현재까지의 수 개념들 때문이죠.
자연수와 0, 그리고 분수들 밖에 존재하지 않는다고 말해왔던 초등학교까지의 체계에서는 0보다 더 작은 숫자를 설명해주지 않앗기 때문이죠.
여태 여러분들은 0은 아무것도 존재하지 않는 상태를 의미한다고 배웠을텐데
아무것도 존재하지 않는것보다 적은 수는 있을 수 없을테니까요.
물론 사과가 -1개 있다는 소리는 개소리가 맞습니다.
현실에서는 아무것도 없는 것보다 적은 수만큼의 사과가 있을수야 없죠.
그렇지만 이렇게 생각한다면 어떨까요?
친구네 집에가서 사과를 먹었는데, 다음날 친구가 그걸 갚으라고 한다면? [물론 사과먹은걸 갚으라할 친구는 없겠쬬. 있으면 그냥 친구로 사귀지 마세요. 더러운놈입니다.]
그걸 숫자로 표현하고 싶다면?
"나는 갚아줘야 할 사과가 1개 있다." 라는 표현도 맞지만
"나는 사과가 -1개 있다"라고 해도 되겠죠.
예시가 매우 터무니없이 잘못되었나요?
그렇다면 돈으로 해보죠. 마이너스 통장이란 말을 많이 들어보셨을텐데
이건 현재 계좌에 예금들이 들어있는 상태가 아니라, 빚을 져서 그 빚이 통장에 있는 상태를 말합니다.
즉 -50만원이라면, 50만원의 빚을 진 상태를 나타내는 거죠.
또, 흔히들 사용하는 영하 얼마의 날씨나
설악산은 해발 1708m, 가장 깊은 동해바다는 수심 3796m와 같이
어떤 기준선에서 한쪽은 우리가 흔히 얘기하는 수 +,
반대쪽은 - 가 된다는 사실을 알 수 있죠.
[설악산을 +1708이라고 나타낸다면, 동해바다는 -3796m라고 나타낼 수 있겠죠. 여기서 기준선은 바다의 해수면이 되는거구요.]
아니면 집을 기준으로해서, 동쪽으로 10m 거리에 있는 갈비집과 서쪽으로 20m 거리에 있는 피자집을 생각해볼수도 있구요.
[과학에선 이런 방향에따라 + - 가 나뉘는 경우가 많이 나오죠.]
이를 숫자개념에도 적용한다면,
기준점은 0,
기준점의 한쪽방향은 +
반대쪽 방향은 -가 된다는 것을 알수 있겠죠.
도화지에 직선을 찍 그어놓구 가운데를 0이라고 적어놓고
일정 칸마다 하나씩 숫자를 늘여가고 줄이면서 적으면 이런 수직선이 완성되겠죠
보통 우리는 오른쪽으로 갈수록 커지는게 익숙하기 때문에 이런 식으로 만들어놓는거구요.
이때 여기서 0의 오른쪽에 있는 수들은 양수, 즉 +가 붙어있는 수[이지만 우리에게 익숙한 양수들은 +를 빼놓고 1, 2 이런식으로 써놓죠.]
왼쪽에 있는 수들은 음수, 즉 -가 붙어있는 수가되죠.
양수
- 수직선에서 0보다 오른쪽에 있는수로, 0보다 큰수를 말한다.
+에 숫자가 붙어있는 형태지만, 여태까지 + 와 -개념이 없이 그냥 숫자들만 써왔으므로 +를 생략하기로 한다.
음수
- 수직선에서 0보다 왼쪽에 있는 수로, 0보다 작은 수를 말한다
-에 숫자가 붙어있는 형태이다. -를 생략하면 양수와 구분이되지않으므로 반드시 -를 써준다.
[이때 중요한 더하기 빼기와 양수 음수의 차이는 후에 가면 배우겠습니다. 링크를 걸어두도록 하죠.]
이때 -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 와 같이
그 숫자들이 딱딱 써지는수들. [즉 분수나 소수 혹은 기타 잡스런 숫자가 아니라 이쁘게 마무리되는 수들]
을 바로 정수라고 합니다.
정수또한 0을 기준으로해서
오른쪽은 양수인 정수, 즉 양의 정수[를 자연수라고 하죠.]와
왼쪽은 음수인 정수, 즉 음의 정수로 나뉩니다.
0또한 정수에 포함됨을 기억해두세요!
이렇게 자연수와 0뿐이던 초등학교의 개념에서
확장해서 정수의 개념까지 배웠어요.
이과정에서 음수, 0, 양수도 배웠구요.
유리수
근데 뭔가 빠뜨리고 넘어간 듯한 섭섭한 기분이 들죠?
그래요 우리들의 친구 분수와 소수들을 빼놓고 말았어요.
이쁜 수들만 정수라고 하면, 안이쁜애들은 안챙겨주면 외모지상주의가 도래하게 되죠.
소수들은 모두 분수로 바꿀수 있는거 배웠죠?
0.2는 10분의2, 0.75는 100분의 75와 같이요.
마찬가지로 분수들도 모두 소수로 바꿀수있지만 유한소수, 무한소수 이런개념들이 더 필요하니까 나중에 하도록 합시다.
아무튼 이런 분수까지 수체계안으로 집어넣으려면, 정수체계에서 더 체계를 넓혀나가야해요.
틀안에 박혀 살면 우물안 개구리가 되고마니까 우물에서 탈출해야죠.
유리수는 딴거없이 정의를 볼게요.
a와 b는 그냥 정수이기만 하면 되요. 정수가 뭔지는 앞서 배우셧쬬? 히히
이때 a는 절대 0이 되선 안되구요. [이는 약속입니다. 어떤 수든 0으로 나눠서는 안된다고 약속했어요.]
[분수가 나눈다는 개념인건 알고 계시죠? a/b 는 a 나누기 b를 나타내잖아요]
정수인 0, 1, 2 모두 분수로 표현할 수 있습니다.
0은 0/1, 0/2, 0/3 종류가 매우많네요. 0은 뭘로 나눠도 다 0이니까요
1은 1/1, 2/2 가있겠고요
아무튼 이런식으로 정수를 모두 분수로 나타낼수있고, 그래서 정수는 유리수에 속합니다.
유리수는 그래서
로 나타낼수있겠네요
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