수와연산 - 정수와 유리수 - 2. 수의 대소

뭐가 크다
뭐가 많다
뭐가 넓다

등등...

전부 어떤 것들의 크기를 비교해서 하는 말이죠.
반대로는 작다, 적다 등의 말을 써서 나타낼수있구요.

또

뭐가 더 이쁘다
뭐가 더 잘된다
뭐가 더 아프다

등등 또한 두개를 비교해서 나타내는 것이긴 하지만
여기는 자신의 주관적인 의견이 들어가 있다는 것이 다른점이죠.




이처럼 객관적인 크기, 넓이, 수량 등을 비교할때는 우린 그것들의 값, 즉 수를 비교해서 말하곤 합니다.
예를 들어 어떤애는 사과가 5개 다른 애는 사과가 2개 있을땐, 5와 2라는 숫자를 가지고 누가 더 많은지 비교하잖아요.

그럼 이런 대소관계를 배워보도록 합시다.

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사실 지금 하는 부분은 유리수 범위안에서만 대소[크고 작음]을 비교하는 것이라 굉장히 쉬워요

한 네 가지 정도를 배울껀데, 다 쉽거나 배운것들이라 그렇게 어렵지 않으실꺼에요.

그 전에 짚고 넘어갈 것이 있는데 바로 부등식으로 표현하기 에요.
숫자의 크기를 비교할때 < > = 이 세가지를 주로 이용하죠
>_< 이런 이모티콘 사용할때만 쓰지 마시구요 ㅋㅋ

만약 어떤 수 a와 b 중에서 b가 더 크다면
a<b 이런식으로 쓰는건 다 알고 계실꺼에요

같으면 a=b로 나타내구요

근데 확실히는 모르는데 b가 a보다 '안작다'라는 건 알아요
다시말해 b가 a'와 같거나 더 크다' 라는 뜻으로

a≤b
이런식으로 표현하기도 해요

1. 자연수의 대소관계 비교하기

자연수 대소 관계를 비교 못하는 사람이 있나요?
6과 3중에 누가 더 크죠?

3+2 와 5+1 중에 누가 더크죠?

바로 넘어가겠습니다. 띨띨이가 아니라면 할 수 있는것들이니까요
[계산이 안되서 힘들다면 계산만 주의깊게 잘하시면 되요.]

2. 분수의 대소관계 비교하기

지난 시간에 유리수는 정수분의 정수로 나타낼 수 있는 수라고 배웠죠
분모는 0이 되서는 안되구요.
분모와 분자가 뭔지 모르시는 분은 없죠?
분수에서 위에있는 수는 나누어지는수, 즉 분자
아래에있는 수는 나누는 수, 분모이죠.
즉 어떤 수를 0으로 나눌 수는 없다는 거죠.

아무튼 분수의 대소관계 비교또한 이미 다 할줄 아실꺼라고 봅니다.

½ ⅓ ⅜

중에 누가 제일 클까요?
이건 그냥 통분하면 끝이죠?
2와 3과 8이니 최소공배수인 24로 통분하면 되겠군요

그럼 차례대로
12/24
8/24
9/24 가 될테니

½ 이 제일크고
⅜
⅓ 이 순서대로 크겠군요

3. 음수의 대소 비교하기
음수란 특정한 수 체계가 아니라 0보다 작은 수들을 모두 음수라고 부르셔야 된다는 걸 아셔야합니다.
자연수(양의 정수)의 반댓말이 음수가 아니고, '음의' 정수라는걸 아셔야 해요.
마찬가지로 양의 유리수의 반대는 '음의' 유리수이구요.

음수의 크기비교는 좀 생소합니다.
왜냐면 음수를 배운지 얼마 안됬거든요
그럼 생각해보죠.

일반적으로 제주도는 우리나라에서 매우 남쪽에 있어서 다른 지역보다 따뜻합니다.
적도에 가까울수록 뜨거운건 아시죠? 우리나라가 적도보다 위에 위치하니까 아래에 있을수록 대개 따뜻하죠.

그래서 어느 날 하루의 기온을 측정해봤더니
제주도는 영하 0.7도 즉 -0.7도
서울은 영하 6.3도 즉 -6.3 도라고 생각해 볼게요.

그럼 어디가 더 따뜻할까요?
즉 어느 기온이 더 높냐 이말입니다.

제주도가 높다는건 다 아실수있겠죠?

-6.3 < -0.7 인걸 아실 수 있겠죠

지난시간에 제가 빌려온 수직선을 이용하면 더 쉽습니다.

여기에선 정수만 나타나있지만 유리수또한 모두 수직선 위에 나타낼 수 있어요
0과 1사이만 생각해도 이분의일, 삼분의일, 사분의일, 오분의일, 삼분의이, 사분의삼 등의 유리수들이 쏙쏙 들어갈 수 있잖아요.

또한 수직선에서는 왼쪽으로 갈수록 작아지고 오른쪽으로 갈수록 커지는데
음수의 경우 - 옆에 붙어있는 숫자가 커질수록 오히려 더 작아지는 결과가 나타난다는 것을 알수있죠

4. 절댓값

여기서 또 절댓값이라는 생소한 개념이 등장합니다.

절댓값이라 하면
수직선에서 어떤 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리

를 말합니다.
어려워 보이지만 굉장히 쉬워요

위 그림에서 맨 왼쪽에 있는 -5와 0은 몇칸 떨어져 있죠?
5칸 떨어져 있군요. 그럼 -5의 절댓값은 5네요
[오른쪽으로 한칸가면 1씩커지고 왼쪽으로 한칸가면 1씩 작아지니까 다섯칸 떨어져있으면 그 거리는 5죠]

-4는 어떨까요?
4칸 떨어져있으니까 절댓값이 4군요.

그럼 4, +4(대개 +를 생략하고 그냥 4로 나타내죠)의 절댓값은 얼마일까요?
-4와 똑같이 4란걸 쉽게 알 수 있죠

이처럼 절댓값은 +와 -를 생각하지 않고, 그 0부터 얼마만큼 떨어져 있는가를 나타내는 값입니다.
이런 실제 현실상의 거리는 음수값이 될 수 없기때문에 0을 제외한 수들의 절댓값은 전부 양수가 되는거구요. 

그렇다면 0의 절댓값은요?
0은 그 자신에서부터 몇칸도 떨어져 있지 않죠. [사실 당연한 소리죠.]
그래서 0의 절댓값은 그대로 0 입니다.

4-(2) 문자로 절댓값 표현하기
우리가 싫어하는 문자로 나오면 좀 죽을 맛이죠. [저도 여기서 좀 햇갈리더군요 ㅠㅠ]
만약 a 의 절댓값을 구하라면 어떻게 할까요?

a는 어떤 특정한 숫자가 아니라 모든 수가 될 수 있는 문자이기 때문에 각각의 경우로 나누어서 일일이 나타내주어야 합니다.

a가 양수라면 즉, a>0 이라면 a의 절댓값은 어떻게 될까요?
+4의 절댓값은 4, +636363 의 절댓갑은 636363이니까
양수인 a의 절댓값은 그대로 a 라는것은 쉽게 알 수 있죠

[이처럼 문자가 나온다고해서 겁먹으실 필요가 없어요.
문자가 나올 경우는 (1) 이렇게 배운 걸 한눈에 알아보도록 정리하기 위해서 이거나
(2) 문제내기 위해서 일때 뿐이죠]

(2)번의 경우, 양수인 수 x의 절댓값을 구하라거나 뭐 이딴식의 문제가 나올 수 있겠죠

a가 0이라면 a의 절댓값은 당연히 0이겠죠?
근데 이 때도 a=a 라고 하면 맞는 말이 되죠.
0=0 이니까요

즉, a가 0이면 a의 절댓값은 0 혹은 a 그대로 나타낼 수 있다.
0이라고 쓰면되지 왜 a라고 굳이 쓰냐고요?
문제에서 a를 0이라고 하지않고 a는 0 이상의 수 이딴식으로 나타내면
양수까지 포함되기 때문에 a의 절댓값을 0이라고 하지 못하고 a로 표현해야 할 때가 있죠.

㉠ a가 음수라면 a<0 이라면 어떻게 될까요?
아 굉장히 어렵습니다.

-4의 절댓값은 그 수에서 -를 뗀 4죠.
-636363의 절댓값은 -를 빼고 636363이구요.

그럼 a의 절댓값은 어떻게 나타낼까요?
a라고 해서 절대 양수가 아니란걸 반드시 아셔야합니다.

-가 붙어있는것이 음수니까
-a는 음수, a는 양수 이런식으로 생각하시면 절대 안되요

맨처음 ㉠ 부분에서 a가 음수라고 했죠?
그렇다면 a = -b 이런 형태의 수 입니다. 
그러니까 -4 또한 문자로 바꿔서 c라는 문자로 바꾸어 나타낼 수 있다구요. 
c에는 -가 붙어있지 않지만, 그 값이 -4니까 음수구요.

아무튼 되돌아와서, 그럼 음수인 a는 절댓값을 어떻게 구하나요?
a에 -를 빼야 절댓값이 나오는데, 안타깝게도 a에는 -가 붙어있지 않군요.

[a=-b니까 b라고 쓰면 되지 않겠냐구요? 그렇지만 절대 그러시면 안되요.
왜냐면 a=-b 라고 한건 우리끼리의 약속이지, 문제를 낸 사람이나 다른 사람들에게는 그게 먹히지 않거든요. 
문제에서 a라고 줬으면 a만 갖고 써야되지, 우리가 임의로 만들어낸 개념은 통하지 않아요.]

이때는 a에 -를 붙여주면 해결됩니다.
무슨 뚱딴지같은 소리냐구요?
지금은 그러실수있어요. 음수의 곱셈을 배우지 않으셨으니까요 ㅠㅠ

아직 배우지 않았으니 매우 더럽네요.
이때는 -에 -를 또 붙이면 +가 된다고만 기억해두세요.
그럼 a에 -를 붙인 -a는 --b 가 될테니 -에 -를 붙였으니까 +b로 바뀔수있겠네요
+b는 b니까 a의 절댓값이 될수 있구요.

즉 음수인 a의 절댓값은 -a 이다 입니다.

5. 절댓값을 가지고 숫자 크기 비교하기

양수의 경우 절댓값이 커질수록 큰 수이므로 절댓값이 클수록 큽니다
음수는 절댓값이 커질수록 오히려 작아지죠. 그러므로 절댓값이 클수록 작아집니다.