(2)부분집합 두번째 이야기, 부분집합의 갯수.

지난 수업 보기:

집합의 포함관계, 벤다이어그램으로 알아보자. (1) 부분집합

부분집합의 더러운 내용들이라 두개로 나누었습니다.
첫번째 이야기가 부분집합의 정의라면, 두번째 이야기는 여기서 파생되는 더러운것들이에요.
더러운 것들은 시험문제로 잘나오니까 더럽지만 공부해두세요 ㅜㅜ

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부분집합의 갯수
집합 A의 부분집합의 갯수는 기호로 어떻게 나타낼까요?
n(A) 일까요?

아니에요 이 멍청한 사람아!
n(A)는 집합 A의 원소의 갯수잖아요.
부분집합의 갯수를 나타내는 기호는 따로 없어요 ㅋㅋㅋㅋ

부분집합의 갯수는 원소의 갯수에 따라 결정되요.
원소의 갯수가 1이라면 2개
원소의 갯수가 2개라면 2X2=4개
원소의 갯수가 3개라면 2X2X2=8개
[이런 식으로 같은 것을 여러번 곱하는걸 거듭제곱이라고 하는데 나중에 또 배울거에요]

[거듭제곱을 안다면 아래의 식으로 깔끔하게 나타낼 수 있어요. 근데 멍청한 중학 수학과정은 집합을 먼저 배우네요 ㅠㅠ]

[집합 A의 원소의 갯수를 n으로 할때, 집합 A의 부분집합의 갯수는 2^n]

집합 A={1,2,3}의 부분집합의 갯수는 몇개일까요?
8개요. 원소의 갯수가 3개니까 2x2x2 = 8 이죠.

∮,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

왜 그러냐고요?
나도 몰라요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
음 누가 증명해두었나 모르겠네. 나중에 나이먹으면 여러분이 해보세요.
----------------------------------------라고했지만 수정하겠습니다. ------------------------------------------
제친구 나르샤란 놈이 써준거에요 우히히히.
사실 저도 알고있었는데 깜빡한거에요. 제가 저런 놈 따위한테 밀릴리가 없죠.
쟤는 학원갈때 근성을 저버리고 카오스 나가는 새끼에요 이새기야1

아무튼 설명하겠습니다.
중학교 2학년인가, 아무튼 과정을 밟다 보면 경우의 수란 걸 배워요.
여기서 또 우리나라 교육과정의 병맛같은 점을 알 수 있죠.
A를 완벽히 이해하기 위해선 B가 필요한데 A를 B보다 먼저배우죠 우히히^^
그렇다고 설명도 제대로 없구 그냥 A니까 외워라 이런식으로 공부하죠.
B를 배운다고 아 그래서 A가 되는 거였구나 란 생각하기도 힘들어요.
[제가 부분집합 갯수 세는 방법을 잠시 잊었던 걸 보면 알수있죠?

이유를 설명하고 방법을 가르쳐줘야되는데, 그렇지 않아서 방법만 외워뒀으니

나중에 '경우의 수'를 배운다고 해도 이게 그거였는지 연관시키기가 쉽지 않죠.]

아무튼 다시 설명하겠습니다.
위의 집합 A={1,2,3} 을 다시 사용할 게요.

원소의 갯수가 3개죠? 그러니까 각각 너 있냐, 아니 없다. 이런식의 질문이 가능해요. 

구체적으로 하려면 그림판이 필요한데 귀찮네요 ㅠㅠ 아그래도 올려야되네 올리겟습니다.

좀크죠?
구체적으로 설명하면요.
각각의 원소 1, 2, 3에 대해 있는지 없는지 물어볼수있어요.
1이 있니? 네, 아니오 - 두개의 답이 있을 수 있죠?
2가 있니? 네, 아니오 - 마찬가지로 두개요
3이 있니? 네, 아니오 - 마찬가지로 두개의 답이 있을수있어요.

옛날에 바지랑 윗도리 몇가지씩 있는데 각각 입어볼수있는 방법은 몇가지인지 구하는거있죠?
예를들어 바지2벌 윗도리 3벌, 각각 다르게 입어볼 수 있는 방법의 수는?
2X3 = 6이었죠.

마찬가지에요, 각각의 답변 수를 곱하면 되는거에요.
여기선 모두 두가지니까 2를 3번곱하면되죠.
2X2X2 = 8

그래서 세 가지 원소가 모두 있는 경우는 {1,2,3}이구
모두 없는 경우는 공집합, 즉 ∮이 되죠.


특정 원소를 제외한 부분집합의 갯수 구하기

집합 X = {a,b,c} 라고 해볼게요.
그런데 집합 X에서 원소 a를 제외한 부분집합의 갯수는 어떻게 구할까요?

집합 X의 모든 부분집합을 구하고, 원소 a가 들어가는 부분집합을 전부 센 다음에 그것들을 빼버릴 수도 있을거에요.
하지만 그렇게 하면 시간이 너무 오래걸리죠.

이럴땐 집합 X에서 원소 a를 제외한 집합. 즉 {b,c}의 부분집합을 구해버리면 끝나는 문제에요.

집합 X의 부분집합 = ∮, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}
여기서 원소 a를 모두 없애보기로 해요.

∮, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}
= ∮, ∮, {b}, {c}, {b}, {c}, {b,c}, {b,c}
겹치는걸 없애버리면

∮,{b},{c},{b,c} = 집합 {b,c}의 부분집합. 이되는거랍니다.

특정 원소를 포함한 부분집합의 갯수 구하기
1 집합 B = {1,2,3,4} 라는 집합이 있다고 칩시다.
원소 1을 포함한 집합 B의 부분집합의 갯수는 어떻게 구할까요?

앞의 것을 이해했다면 이건 의외로 쉬워요.
1을 제외한 {2,3,4}의 부분집합을 구하고, 거기에 원소 1을 모두 포함시키면 되는거니까요.

집합 {2,3,4}의 부분집합을 모두 구해볼까요. 부분집합의 갯수는 몇개일까요? 원소가 3개니까 8개!

∮, {2}, {3}, {4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,3,4} 가 있겠네요.

여기에 원소 1을 모두 포함시켜 볼까요?

{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1,2,3,4} 8개네요!

즉. 원소 a를 포함한 집합 B={a,b,c,d}의 부분집합 갯수를 구하는 방법은

집합 B에서 원소 a를 빼버리고. 그 빼버린 집합

{b,c,d} 의 부분집합의 갯수 = 원소 a를 포함한 집합 B={a,b,c,d}의 부분집합의 갯수

입니다.

다음 수업 보기:

교집합과 합집합