고등학생의 생각이라 틀린 부분이 있을 수 있습니다.
오류가 있을시에는 정정하는 댓글을 달아주세요. 그럼 정정하도록 하겠습니다.
방정식의 의미, 방정식을 함수로 해석하기
방정식의 의미부터 따져봅시다.
방정식은 간단하게 생각하면 (x에관한식)=0 꼴로 정리할 수 있는 식이라 생각하죠.
위 식을 만족하는 x값을 찾는 것이 방정식의 해를 구하는 것일 테구요.
그런데 방정식을 파헤치기 위해서는 등식의 성질부터 알아두는게 좋습니다.
등식이란 무엇입니까?
(식)=(식)
이렇게 좌변의 값과 우변의 값이 서로 같을때, 등호를 사용하여 두 값이 같음을 나타내죠.
저렇게 나타낸 것을 등식이라고 부릅니다.
등식은 참과 거짓을 판단할 수 있죠. 즉, 구라와 진실이 있을수 있다는 겁니다.
예를들어 3=3, 이건 참이죠.
3=4 이건 구라입니다.
등식에는 두가지 종류가 있습니다.
방정식과 항등식이죠.
항등식이란 무슨 일이 발생하던지간에 등식이 항상 성립하는, 즉 항상 참이되는 등식을 말합니다. 구라일 수 없는 식을 말하죠.
2x+1=3x-x+1
위의 식은 x가 무슨 값이든지간에 항상 참이되죠.
그렇다면 방정식은 무엇일까요
방정식은, 등식이 미지수(주로x)의 값에 따라 참이 될수도있고, 거짓이 될수도 있는 식을 말합니다.
조건의 정의가 미지수의 값에 따라 참/거짓 여부가 나뉘는 것을 말하므로, 방정식 또한 조건에 속합니다.
아무튼간에 밑에 식을 보시죠.
x+1 = 3x-2
이 방정식을 푸는 것은 요즘은 초등학생들도 할 수 있는 것이라고 생각됩니다.
그치만 진정한 의미를 생각해본다면 어떨까요
방정식을 푼다. 방정식의 해를 구한다는 것은 방정식을 참으로 만드는 x값을 구한다. 라는 뜻과 같습니다.
즉, 조건을 만족할 수 있는 x값을 구해서 내놓는다란 뜻이죠.
다시 말해, 좌변의 값과 우변의 값이 같아지는 x값을 찾는다 이 소리입니다.
좌변 : x+1
우변 : 3x-2
좌변 우변은 x의 값에 따라 그 결과값이 달라집니다
x가 1일때는 좌변=2, 우변=1 이되어 좌변 우변의 값이 달라지죠.
x가 2일때는 좌변=3, 우변=4가 되어 역시 좌변 우변의 값이 다르므로 저 등식은 구라가되고, 2는 방정식의 해가 아니게 됩니다.
이런식으로 모든 값을 '대입'해보았을때 좌변식의 값과 우변식의 값이 같아지는 x값을 바로 해라고 하며, 위의 식에서는 2분의 3이 그 해가 됩니다.
이항해서 풀고, 이차방정식 이상의 다항방정식은 인수분해하여 AB=0 이면 A=0 or B=0 이다 라는 명제를 이용해서 해를 쉽게 쉽게 구합니다만
방정식의 본질을 생각해본다면
이세상에 존재하는 모든 x값을 대입해본다음, 두 변의 값이 같아지는 것이 바로 방정식의 해다.
라는, 가장 원초적이면서도 가장 중요한 방정식 풀이방법에 도달할 수 있습니다.
바로 이 성질 때문에 고교 과정내의 모든 방정식을 함수로 해석할 수 있는 것이구요.
[좌변에 y=을 붙이고 우변에 y=을 붙여서 두 함수의 그래프를 그린뒤 만나는 교점의 x좌표가 방정식의 해가 됩니다.
y= 을 붙여 함수로 만드는 행위는, 간단히 말해서 x값을 하나하나 대입해본다음 그 결과값을 도출한다음 그 값을 y라고 하겠다. 라는 말과 같죠.
즉, 모든 x에 대해서 좌변의 값과 우변의 값을 구한다음 그 x값에 대해 y값을 정하고, 그 순서쌍을 그래프로 나타내겠다. 라는 소리입니다.
모든 x에 대해서 그 결과값을 찾아서, 그 결과값들이 같아야 등식이 성립할텐데, 그것이 바로 그래프 상에서 y값들이 같을 때를 의미합니다.
그 y값이 같아지는 x값을 찾고 있는 것이니, 두 그래프의 교점(같은 x에 대해 같은 y값을 가지는 곳)의 x좌표가 방정식의 해가되겠죠.]
다항방정식을 푸는 원리
그럼 방정식을 풀때는 모든 x값을 대입해서 좌변과 우변의 값이 같은지 확인하고, 같다면 해로 두라는 말씀입니까?
그렇죠.
그런데 모든 x값을 대입할 수는 없기 때문에 그래프로 그려서 확인한다는 겁니까?
일차식, 이차식 등등의 식은 개형(모양)을 알기때문에 가능하단 소립니까?
그렇죠.
그렇다면 두 그래프의 교점의 x좌표는 어떻게 구합니까?
.... 할말이없군요 ㅋ
그래프의 교점의 좌표를 구하는 것은 두 그래프의 연립방정식을 풀어 구해야 합니다.
그래프란 것의 정의가 바로 그 식을 만족하는 순서쌍 (x,y)를 골라잡아서 좌표평면위에 나타낸 것이므로,
그래프위의 점 (x,y)는 그래프의 방정식을 만족할 수 밖에 없습니다.
따라서 두 그래프의 방정식을 모두 만족하는 (x,y)는 두 그래프 모두의 점, 즉 교점이라는 소리가 되죠.
여하튼 저하튼, 연립방정식을 풀어야만 교점의 좌표를 구할 수가 있는데
이렇게 함수로 나타내었을때는 y=(식1) y=(식2) 이 두 그래프의 연립방정식이므로
(식1)=(식2) 의 방정식을 풀면 그 값이 나옵니다.
엥? 처음의 식으로 돌아갔군요.
그래요! 사실은 모든 x값을 대입해서 그 값이 같은지 확인할수는 없습니다. 원칙적으로. 대입해야 할 x값의 갯수는 무한하기 때문이죠.
그래프를 그린다해도 정확한 교점의 x좌표는 그래프만으로는 알 수 없습니다. 신과 같이 그 방정식의 해를 이미 아는 사람이 그래프위에 표기해준다면 몰라두요.
그렇다면 우리는 방정식 풀이에 의문을 가져야 합니다.
그럼 도대체 어떻게 풀라는 말이냐?
하지만 우리는 이미 배워서 알고있죠.
앞에 수학의 세계에서란 말은 생략하셔두 됩니다.
방정식의 근본 풀이법은 모든 x값을 대입한다는 것이지만, 그럴 수 없기에[무한 개의 x값을 대입해 볼 수 없죠.] 약간의 편법이라 할 수 있는 방법을 사용하게 되는데, 그것이 바로 위의 명제를 이용한 인수분해 풀이법입니다.
[이것이 고교과정에서 사용할 방정식 풀이의 근간이되죠.]
우선 일차방정식의 해는 언제든지 구할 수 있다. 가 이 풀이의 전제가 됩니다
예를들어
x=6 , 이말은 말그대로 x가 6이라는 소리입니다만, 근본적으로는 x=6 이라는 등식은 x가 6일때 만족한다. 즉 x=6의 해는 6이다. 라는 소리가 되죠.
아무튼 저무튼 일차식만 나온다면 언제든지 만족하는 미지수의 값을 구할 수 있다가 전제가 됩니다.
그 전제로 시작해서
이차방정식 삼차방정식, 사차방정식 등등 인수분해만 된다면 모든지 해를 구할 수 있게 되는겁니다.
(그치만 고차방정식은 대수적으로는 해를 구할 수 없다는 사실이 밝혀져잇습니다. 다시말해 인수분해를 맘대로 할 수 없다는거겟죠)
계속 이야기가 새나가는데
이차 이상의 방정식도 인수분해를 이용하여 해를 구할 수 있다는겁니다.
이렇게 말이죠.
여기서 우리는
다항방정식이 인수분해만 된다면 언제든지 해를 구할 수 있다!
라는 사실을 알게됩니다.
하지만 그걸 역으로 생각한다면
다항방정식이 아니면 인간은 해를 구할 수 없다! 라는 말이 되겠죠.
물론 이 이야기는 지능이 430인 허경영같은 천재나 5000이상의 고도문명의 외계인들이나 똑같이 적용되는 이야기입니다.
지능이 높건 낮건 해를 구하려면 모든 x값을 대입해야 하는 것은 마찬가지인데, 연산속도가 빠르고 기억하는 양이 클 수는 있어도 무한한 x값을 모두 대입할 수는 없기에
지능이 높건 낮건 "다항방정식, 그것도 인수분해가 되지 않으면 우리는 해를 구할 수 없다!"
라는 결론에 이르게 됩니다.
어찌보면 슬픈현실이죠.
무연근 발생의 원리
무리방정식에서 무연근이 발생하는 원리부터 생각해보겠습니다.
이게 훨씬 더 간단한 접근이기에 그렇습니다.
먼저 간단한 논리 얘기부터 시작해 보겠습니다.
다음의 답을 잘 생각해보세요.
철수는 총각이다.
따라서 철수는 결혼을 하지 않았다.
그렇다면 결혼을 하지 않은 사람들은 누구일까?
해설을 위한 약간의 여백
매우 간단한 이야기입니다.
총각이란 단어의 뜻을 결혼을 하지 않은 남자
처녀란 단어의 뜻을 결혼을 하지 않은 여자 라고 정의한다면 (실제로도 이렇게 사용되고 있기에 우리가 따로 정의할 필요는 없습니다.)
결혼하지 않은 사람들 중에는
결혼하지 않은 남자(총각), 결혼하지 않은 여자(처녀) 들이 있겠죠.
물론 여기에 철수는 포함이고, 위의 총각+처녀 외에 다른 사람이 결혼하지않을 수는 없겠죠.
결혼하지 않았다면 무조건 총각 아니면 처녀니까요.
이 얘기는 고등학교 1학년때 배우는 명제를 떠올리게 합니다.
총각이면 결혼을 하지 않았다는 항상 성립하지만 (항상 참이 되지만)
결혼을 하지 않았다고 총각은 아니죠. (언어적으로는 총각일 수도있고 아닐수도 있지만, 수학의 세계에서는 모두 그렇지 않으면 참이 아니라고 판단합니다.)
결혼을 하지 않았으면 총각 아니면 처녀이다. 이것은 맞는 말이 됩니다. 그 이유는 바로 결혼을 하지 않았을 때 가능한 경우가 총각 아니면 처녀 외에 없기 때문입니다.
당연한 이야기를 왜 자꾸 계속하냐구요?
무리방정식이 똑같은 원리로 진행되고 있기 때문입니다.
무리방정식의 예를 하나만 들어봅시다
위의 방정식을 풀어라.
무리방정식을 공부하지 않은 학생은 숨이 턱턱막힐겁니다.
저렇게 생겨먹은 방정식은 듣도보도 못했고, 푸는 방법도 모르거든요.
앞길이 막막해지겠죠.
다항방정식(다항식으로 이루어진 방정식을 다항방정식이라고 합니다.)은 인수분해로 손쉽게 풀 수 있는데 그것이 안되거든요.
어떻게 접근할지 엄두조차 못낼겁니다.
무리방정식을 공부한 학생은 선생님의 말씀에 따라서 양변을 제곱하고 싶어질 겁니다.
혹은 그냥 루트가 꼴뵈기 싫어서 제곱하고 싶은, 무리방정식을 공부하지 않은 학생이 있을 수도 있군요.
그래서 일단, 막무가내로 제곱해서 풀어보겠습니다.
x=6 혹은 x=3이라는 답이 나왔네요!
와우! 어려워만 보일줄알았는데 제곱하니까 해가 보이는군요.
라고하고 답지에 6,3을 적으면 수학시험에서 틀려서 울면서 집에 오게 될겁니다.
엥? 틀렸다구요? 그건 어떻게 아나요?
원래 식에 대입해서 양변의 값이 같은지 확인해 보시죠.
양변의 값을 같게 하는 것이 방정식의 해의 정의이므로, 방정식의 해라면 대입했을때 양변의 값이 같아야합니다.
그런데 아니나다를까, 6을 대입하니 2=-2 로 양변의 값이 다르게 나와서 6은 해가 될수가 없군요.
엥????????????????????????
우리는 잘못한게 하나도 없는데 어째서 무연근이 나왔을까요?
이건 정말 멘붕스쿨이 아닐 수 없습니다.
가치관의 혼란을 느끼죠.
그럼 처음부터 생각해봅시다.
제가 위에서부터 주루루룩적은 것중에 틀린게 있을까요?
옳은것만 줄줄이사탕으로 해왔다면 결론을 틀리게 낼수가 없을테니까요.
그런데 틀린게 없어보여요!
방정식은 x의 값에 따라 식의 성립여부가 갈린다는 말도 맞고
방정식의 해는 양변의 값을 같게 하는 x값이라는 것도 맞고
원칙은 모든 x값을 대입했을때 양변의 값을 같게 해야한다는 말도 맞고
그러나 모든 x값을 대입할수는 없다는 사실도 맞고
다항방정식중 인수분해가 되는 것은 해를 구할 수 있다는 사실도 맞고
인수분해가 불가능하면 해를 구할 수 없다는 사실도 맞고
등식이 성립할때, 양변을 제곱해도 식은 항상 성립한다는 사실도 맞고
제곱된 식을 인수분해해서 풀면 그 식의 해가 나온다는 사실도 맞아요
엥?????????????????????
근데 정작 해가 아닌것이 나오다니요
그 이유는 뭐죠대체????????????????
이때 불현듯 스쳐지나가는 것이 있을겁니다.
철수와 총각얘기는 왜했지?
그렇습니다. 이때 써먹을려고 했습니다.
무리방정식은 다항방정식이 아니므로 인수분해가 불가능합니다.
인수분해가 불가능하면 해를 구할 수 없습니다. [모든 x값을 대입하고 싶다면 해보세요]
그러므로 우리는 인수분해가 가능하도록 다항방정식(정방정식)꼴로 바꿔야만 합니다.
등식이 성립할때, 양변을 제곱해도 그 등식은 성립하므로 루트를 없애기 위해 양변을 제곱했습니다.
루트가 사라져 정방정식꼴로 바꿨으니 우린 행복해집니다.
그치만.............
총각이 결혼안한사람이라고
결혼안한사람이 총각인건 아닙니다.
양변을 제곱해도 등식은 성립하는 것은 맞습니다만,
양변을 제곱한 것의 해라고해서 제곱전의 해라는 소리는 아닙니다.
그림으로 생각해보죠
위의 그림을 보면 이해가 가실 수 있을겁니다.
총각이면 결혼안한사람이라는 이야기는 무조건 참입니다.
그렇지만, 그렇다고 해서 결혼안한사람의 이름을 좌르륵 뽑았을때 그들 모두가 총각이라는 소리는 아닙니다.
그렇죠? 왜냐하면 그 중에는 처녀의 이름도 포함되어 있을 테니까요.
A=B 이면 A제곱=B제곱 이란 말은 무조건 참입니다.
그렇지만, 그렇다고해서 A제곱=B제곱을 성립시키는 것은 A=B일 때만이 아닙니다.
A=-B 일때도 제곱해서 A제곱=B제곱이 되므로,
A제곱=B제곱을 만족하는 것은 두가지입니다. A=B, A=-B 죠. (총각과 처녀 두가지가 있는것과 똑같은 이야기입니다.)
즉. 위의 식에서 생각해보면
그걸 모르고 제곱해서 정방정식꼴이 되었다고 인수분해한다음에 우헤헤하면 틀려버리게 되는거죠.
우리가 구하고자 하는 것은 A=B를 만족하는 x값이지만
A=-B를 만족하는 x값도 제곱한 식을 만족하게 만드는 x값으로 나오게 된다는 겁니다.
바로 저것을 무연근이라고 하며, 그 뜻은 연관이 없는데 나오는 이상한 근 이죠.
무연근을 피하는 방법은
최종적으로 근이 나왔을때 직접 A=B꼴의 원래 식에 대입해서 그 방정식의 해가 되는지 찾는 방법이 있습니다.
그것이 해라면 반드시 양변의 값이 같아야될테니까요
그것이 아니라면 무연근일 테구요.
다른 방법도 있는데, 그것은 A=B와 A=-B가 양변의 절댓값은 같되 부호는 정반대라는 사실을 이용하는 건데,
나중에 추후 연재하도록 하겠습니다.
연재남은것
1. 조건을 만족하는 조건을 이용한 명제. 명제쌍쌍바
3. 무리방정식은 허수를 생각하지 말도록해요 고등학교과정에서는
정말 할말이 많은 방정식 파트가 아닐 수 없습니다.
그 이유는 이것이 바로 원초적인 이야기이기 때문이죠.
사실 무언가를 짓는데 있어서 뼈대를 세우는게 어렵지
그 위에 페인트칠하는 것은 상대적으로 쉬운것과 같다고 할 수 있습니다.
제가 지금 미완으로 올린터라 "제가 햇갈려 했던 것들"에 대해서는 언급하지 못하고 남겨두는데
추후 꼭 올려두도록하겠습니다.
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