극점과 도함수의 연관관계, 함수의 증감과 도함수

아무도 이 방면으로는 생각하지 않았을까요?

'아무도'란 말은 자만심에 도취된 것 같군요.

 

고등학교, 특히 이과부분은 lim, 즉 극한이란 개념이 나오면서 왠만한것은 다 인정하고 넘어가는,

대학교에서 더 자세하게 배우지 않고서 고등학교 과정으로는 상상하기 힘든 부분들이 상당히 많습니다.

 

혼자 굉장히 다양하게 생각해서 가장 타당해보이는 걸 채택하고는 하는데,

제 딴에야 이게 확실히 맞는지 생각할 수가 없습니다.

 

그래서 가끔씩 이런 것들이 있으면 제 생각도 정리할겸,

다른 분들의 의견도 들을겸 글을 올려두도록 하겠습니다.

 

 

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도함수란, 원래 함수의 정의역의 원소 x에 원래함수의 미분계수를 대응시키는 새로운 함수이다.

혹은 임의의 x값에 대한 원함수 미분계수값이다

혹은 임의의 x에 대한 접선의 기울기이다.

 

뭐 다양한 방식으로 나타낼 수 있을 것 같습니다.

하지만 본질은 x에 대한 미분계수란 것이고, 미분계수는 사실상 극한값입니다.

 

 

티스토리가 개편을 하면서 수식입력이 가능하도록 바뀌었엇군요. 몰랐었는데 ㅠㅠ

중학수학 강의에 일부 적용을 해봐야겠습니다.

여태까지 강의를 쓰면서 수식입력이 불가능해서 너무 힘들었었는데, 괜히 그림판에 가서 그렸었군요.

 

아무튼, 도함수란 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수라고 할 수 있습니다.

미분계수는 평균변화율에 극한을 취한 값과도 같죠. 즉 결론적으로 함수의 변화율을 다루는 것이 미분계수란 것입니다.

 

그렇다면, 함수 f(x)가 미분가능하다면

함수의 증감이 도함수와 밀접한 관련이 있다는 것은 생각해보지 않아도 뻔히 나오겠죠.

 

미분계수는 극한값이므로,

 

좌극한과 우극한을 각각 편의상 좌미분계수와 우미분계수라고 하겠습니다.

좌미분계수와 우미분계수의 기하학적 의미는

특정한 x점과 y=f(x)위 중의 x점으로 점점 가까워지는 점과의 직선의 기울기가 되죠.

왼쪽으로 그은접선, 오른쪽으로 그은 접선이라고 편의상 이야기해보죠.

직선의 기울기는 변화율을 나타내므로, 변화율의 부호에 따라 그 구간에서 적어도 그 두 점만큼은 증가와 감소를 따질 수 있게됩니다.

변화율이 +이면 증가, 변화율이 -이면 감소, 변화율이 0이면 증가도 감소도 아니겠지요.

바로 이 점에서 도함수와 (원함수의증감)이 밀접한 관계가 있다는 사실을 익힐 수 있습니다.

도함수의 함숫값, 즉 미분계수가 양수이면 좌미분계수와 우미분계수 모두 양수로 왼쪽점과 오른쪽점 모두 비교했을때 증가할수밖에 없게되겠죠.

이를두고 원래함수가 증가하면 미분계수>0, 원래함수가 감소하면 미분계수<0 이라고 하는데 이는 엄밀히 말해서는 틀린말입니다.

그렇다고해서 미분계수=0 인 지점이라고 해서 함수의 증감을 딱딱 이야기할수도 없죠.

 

극한값이 물어보고자 하는 것은, 최종 도착지점, 최종 수렴값일 뿐이다 라는 사실을 입각해서 생각해보면

그 이유를 쉽게 알 수 있습니다.

 

미분계수 값이 0이라고 생각했을때,

좌미분계수와 우미분계수 모두 0으로 수렴함을 생각할 수 있습니다.

그렇지만, 0으로 수렴한다고 해서 부호가 없는 것 만은 아닙니다.

0보다 큰쪽에서 0으로 수렴할 수도 있고, 0보다 작은쪽에서 0으로 수렴할 수도 있지요.

 

그렇다면, 미분계수가 0이기 위해서는 다음의 네가지 경우가 가능하다는 소리가 됩니다.

 

좌미분계수 : +0, 우미분계수 : -0 ---- ⓐ

좌미분계수 : -0, 우미분계수 : +0 ---- ⓑ

좌미분계수 : +0, 우미분계수 : +0 ---- ⓒ

좌미분계수 : -0, 우미분계수 : -0 ---- ⓓ

 

ⓒ,ⓓ 같은 경우 저는 편의상 증가의0, 감소의0 이라고 부릅니다.

좌미분계수 우미분계수가 모두 0으로 수렴한다 치더라도, 둘 모두 양수값을 가지면서 0으로 수렴한다면, 그 점을 기준으로 해서 왼쪽점과 오른쪽점 모두 증가하게 될 것입니다.

둘 모두 음수값을 가지면서 0으로 수렴한다면 감소하는 함수가 될것이구요.

도함수란 접선의 기울기와도 같은데, 접선의 기울기가 0인데도 불구하고 증감이 있다니 이건 참 흥미롭죠.

실제로 삼차함수가 그런 경우기도 하구요.

실제로 삼차함수때문에 궁금해서 생각하게 된 것이기도 합니다.

 

대망의 ⓐ,ⓑ 같은 경우가 극점인 경우가 되겠습니다.

ⓐ같은 경우는 왼쪽에서는 증가, 오른쪽에서는 감소가 되어서 증가->감소로 넘어가는 피크점. 즉 극대점이 된다는 사실을 알 수 있습니다.

증가에서 감소로 넘어갈때, 미분가능한, 즉 부드러운 곡선형태를 띠는 함수는 극대점이 반드시 접선의 기울기가 0이 된다는 사실은 직관적으로 파악할 수 있습니다.

그 중에서도 좌미분계수와 우미분계수의 수렴방향을 생각해서 극대점과 극소점이 어떤 의미가 있는지를 생각해 볼 수 있겠죠.

 

다시 돌아가서 다른 말로 해서는

 

좌미분계수와 우미분계수가 서로 다른부호이면서

그 극한값이 서로 같기 위해서는

미분계수가 결국엔 0일수밖에 없다는 점도, 극점과 도함수의 관계를 생각할 수 있게 만들어주죠.

 

아, 그리고 궁금하게 여기는 것은

ⓒ와 ⓓ와 같은 증가의0, 감소의0을 이루는 점은

반드시 변곡점이 되어야 할 것으로 생각되는데, 그것을 어떻게 증명할까 입니다

 

실제로 기하학적으로 생각했을때 접선의 기울기가 0이면서 증가함수를 이루려면

위로볼록에서 아래로볼록으로 넘어가는 변곡점이어야만 하지 않을까 싶습니다.

이는 한가지 다루지 않은 부분을 생각하게도 하구요.

 

많은 문제풀이 과정중에서

극대점과 극소점을 파악할 때는 다음과 같은 과정을 거칩니다.

 

도함수의 함숫값 = 0 이되는 x 값을 찾는다.

x 좌우로 도함수의 부호를 판별한다.

그 점을 중심으로 부호가 바뀌면 극점, 바뀌지 않으면 일반적인 언덕모양의 함수

 

사실상 함수의 증감과 도함수의 관계는, 제가 앞에서 이야기한 미분계수의 좌극한과 우극한값으로 설명하는게 맞지 않을까 싶어요.

도함수의 극한과 미분계수의 좌극한 우극한은 같은 x값이라 하더라도 서로 엄연히 다른 이야기입니다. 그렇지만 직관적으로는 둘이 일반적으로 같은 값을 가질것으로 생각되는군요. 의견이 있으신 분은 알려주시기 바랍니다.

 

아무튼 그에 대한 저의 해석은 그렇습니다.

도함수의 함숫값이 0이 되는 x값을 찾는것은 역시 좌미분계수와 우미분계수의 부호가 다르려면 0이 되는 점을 찾을 수 밖에 없겠죠.

이 때 f'(x)=0 이 되는 x 지점 좌우의 점 x+h 에 대해서 f'(x+h) 를 생각해봅시다.

f'(x+h) 또한 미분계수값이므로 좌미분계수와 우미분계수를 가집니다.

h가 양수이면서 충분히 작다고 생각하면, f'(x)의 우미분계수와 f'(x+h)의 좌미분계수는 같다(라고 말하기엔 저의 수학적 지식이 너무 짧은것 같습니다. 극한에 있어서는 더더욱 그렇죠)고는 말하지 못해도 아주 밀접한 관계를 맺고 있다고 말할 수 있을 것 같군요.

 

즉, f'(x+h)의 좌미분계수, 미분계수의 좌극한값이 양수라면

f'(x)의 우미분계수, 미분계수의 우극한값이 적어도 양수쪽에서 0으로 수렴해야지, 음수쪽에서 0으로 수렴할 수는 없다 이말입니다. 다시 말해서 양쪽의 미분계수의 부호를 살피는 것은, 그 자체가 x점의 우미분계수와 좌미분계수가 어느쪽에서 0으로 수렴하는지를 파악하는 과정을 손쉽게 하는 것이라 할 수 있겠습니다.

 

그렇다면 의문들이 몇가지 더 생깁니다.

f'(x) = 0 인 x값에서, 역시 h가 충분히 작다고할때 f'(x+h)=0 을 만족할 수 있을까요?

그러니까, 0인 값 좌우를 살펴봤더니 역시 0이다! 라고 얘기할 수 있냐는겁니다.

극한에 대해서는 무지하므로 직관적으로 생각해보면

좌우점이 역시 미분계수가 0이려면, x축에 평행한, '기울기가 0인 직선형태일수밖에 없다' 라는 결론을 내리게 됩니다.

그러므로 미분 가능한 곡선꼴에서는 미분계수가 0인 점이 연속으로 나타나지는 않는다고 말할 수 있겠죠.

 

또, f'(x) = 0 인지점을 거치지 않으면, f'(x) 값의 부호가 바뀌는 일은 없을까요?

그러니까,도함수의 함숫값이 양수이다가 x값을 점차적으로 변화시킴에따라 미분계수값이 0이 되는 점을 거치지 않고 갑자기 홱!하고 음수로 돌변할 수 있냐는 겁니다.

 

앞에서 말한 두 가지 (좌미분계수와 우미분계수의 부호가 다르려면 f'(x)=0 이어야한다. f'(x+h)의 부호는 f'(x)의 좌미분계수 우미분계수의 부호를 결정하는데 영향을 미친다.) 가 참이라면

절대로 돌변할 수 없을 것입니다.

 

이는 도함수가 연속이냐? 와 같은 질문과도 일맥상통해서 생각해보게되었습니다.

미분이 가능하려면 부드러운 곡선 혹은 직선이어야 하는데, 부드러운 곡선의 경우 부드럽단 말 자체가 접선의 기울기가 연속적이라는 말이겠지요.

그래서 모든 실수에서 미분 가능하다면 도함수가 연속일 것이라고 생각했었는데,

인터넷 검색결과 항상 그렇지만은 않더군요. 도함수가 정의되지 않는 점이 하나 생기고, 그 좌우극한이 진동을 하는데

정의되지 않는 점빼고는 항상 중간값의 정리가 성립한다고 하니, 그 말은 정의되지 않는 점을 제외하면 모두 연속이라는 말이 되겠지요.

도함수가 불연속인 경우가 이런 경우밖에 없다면, 도함수는 국소적으로 연속이다. 라고 말할 수 있을것이고,

중간값의 정리가 항상 성립하므로 f'(x) 값이 양수와 음수가 되기 위해서는 사이의 x값중 f'(x)=0을 만족하는 점이 있어야 할 것입니다.

그런점을 유의해야겠지요.

 

 

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함수의 세계는 너무나 방대하고

극한의 세계는 저혼자 짐작하기 어렵기 때문에

항상 결론을 제멋대로 내리는 것에 대해선 독단적이지 않을까 하는 생각을 합니다.

 

혹시 수2를 공부하면서 의문점을 가졌던 저같은 학생들이 있다면 같이 보고 이야기를 나눠보고싶고

저보다 공부를 많이하신분들이 저를 귀엽게나마 봐주시고 틀린점이 있다면 지적해주시길 바라는 마음으로

이렇게 주저리주저리 미분에 관해서 이야기해봅니다.

 

다 읽어주실분이 얼마나 될지는 모르겠지만 댓글남겨주시길 바라겠습니다.