무리방정식에서 무연근 피하기

지난 시간에 방정식의 기본적인 의미와 방정식을 함수로 해석하기, 무리방정식에서 무연근이 발생하는 이유에 대해서 공부했습니다.

그 글을 보시지 않은 분이라면 그 글을 보시고 오는 게 더 좋겠습니다.

방정식을 함수로 해석하기 / 분수방정식*무리방정식에서 무연근이 발생하는 원리

무리방정식에서 무연근 피하기

무리방정식에서 무연근이 발생하는 이유는 저번 시간에 언급했습니다.

A=B 이면 A제곱 = B제곱이지만

A제곱 = B제곱 이라고해서 모두 A=B 는 아니었죠

A=-B 일때도 A제곱 = B제곱을 성립하므로 여기서 무연근이 발생한다는 겁니다.

눈을 머리 위로 치켜뜨고 생각해보십시요

제곱해서 9가 되는 수는 3과 -3이 있습니다.

그러므로 제곱한 두 식의 값이 서로 9로 같더라도

제곱 전의 두 식의 값이 모두 3이다. 모두 -3이다라고 이야기할 수 없는거죠

그렇게 서로 양변의 부호를 다르게 하는 x값이 무연근이 되는 것입니다.

제곱해서 서로 같아지는 것은 두 가지가 있다.

그런데 그 두 가지는 절댓값은 같고 부호는 완벽히 다른 서로 반대의 숫자이다.

이 사실을 안다면 무연근을 미리 배제하고 계산할 수 있습니다.

마치 분수방정식을 풀 때에 분모≠0 이라는 조건을 미리 써놓는다면

분모의 최소공배수를 곱해도 위험하지 않은 안심할 수 있는 그러한 조건이듯이,

무리방정식 역시 그런 미리 딱 배제시키는 방법이 있다는 겁니다.

분수방정식 이야기에 대해선 다음 글에서 상세히 설명하고 있으니 보실 분은 보시기바랍니다.

방정식에서 왜 0이 될만한 수를 곱해서는 안되는지도 설명하고 있지요

분수방정식과 무연근, 정석의 오류 바로가기

아무튼,

무리방정식에서 무연근이 발생하는 이유는

원래 식 A B가 서로 절댓값은 같은데 부호가 다를때 (가 바로 A=-B 일때입니다)

이 때는 서로 제곱해서 9로 같더라도

A 는 -3

B는 3 이런식으로 원래 식이 성립하지 않을 수가 있죠.

그러니까 키워드는, 어차피 부호가 반대로 되게 하는 근이 무연근이라면

원래 식이 부호가 동일하다는 조건을 걸어놓고 시작하면

'안심'할 수 있는 것 아닐까? 란 생각에서 시작됩니다.

다음 예시를 보시죠.

저번 시간에 본 그 무리방정식입니다.

아무 생각없이 양변을 제곱해서 풀면

제곱해서 만든 다항방정식의 근은 x=6 또는 x=3 이었습니다.

그런데 3은 대입해보면 1=1로 같지만

6을 대입해보면 2=-2로 달랐죠.

그런데 앞서 말했듯이 무연근은 이와같이 2, -2 이렇게 서로 식의 값이 부호가 서로 다르게 만드는 x 값입니다.

x 자체의 부호가 다르다는 소리가 아니라, 식의 부호를 그렇게 반대가 되게 한다는 겁니다.

그렇지요? 네 그렇습니다.

그렇다면 제곱하기 전에 서로 양변의 부호가 같다! 라고 얘기를 해놓는다면

x=6이란 값을 자연스럽게 배제할 수 있을것입니다.

어떻게 그렇게 하냐구요?

루트는 항상 0보다 같거나 크다라는 사실을 이용하면 됩니다.

a가 굳이 0보다 같거나 커야되는 이유는 a가 0보다 작아지면 그 값은 허수가 되기 때문입니다.

그리고 고등학교 수준에서는 루트 안에 허수가 들어오는 것을 용납하지도 않습니다.

왜냐면 루트안에 i와 같은 허수가 들어오게 될 경우, 무리방정식을 풀면 이상한 결과가 나오게 되는데

그걸 인정하려면 여러가지 정의를 해야되기 때문이죠.

아무튼, 루트가 항상 0보다 크거나 같다 라는 사실을 이용하면

양변의 부호가 같으려면 어때야 하는지를 짐작할 수 있습니다.

을 보자면, 등호가 있으므로 4-x 또한 0보다 같거나 커야만 등식이 성립할 수 있을겁니다.

그렇지요?

무연근은 두 식의 부호가 다르게 하는 x값이므로

애초에 부호가 같으려면 어때야하는지 조건을 써주고 시작하자는 거지요.

다음과 같습니다.

이런 방식으로

미리 생각해서 풀 수 있게 됩니다.

더 자세한 정보를 원하시면 앞서 이야기한

분수방정식과 무연근, 정석의 오류 바로가기

이 글도 보시고 오시기 바랍니다.