함수란 무엇일까요? 함수와 변수, 문자의 관계?

수학의 정석에 따르면

함수 f에 의해서

x -> y 이런식으로 대응되는 것이 '기정사실화'되어 있습니다.

x를 독립변수로 잡고

y를 종속변수로 잡는 것이 암묵적으로 인정되고 있다는 뜻이죠

실제로도,

역함수를 구했을 때 단순히 x와 y의 값이 뒤바뀌는 것이 아니라

그 새로이 바뀐 값들을 독립변수와 종속변수로 각각잡아서 x와 y로 새로이 지정하게 됩니다.

이는 일반적인 고등학교 수학에서 지극히 자연스러운 현상이며

항상 x축과 y축을 그린 좌표평면위에서 나타낸다

y는 x의 함수가 된다.

f(1)은 x=1일때의 y값이 된다

(3, 5)는 x=3, y=5 를 뜻하는 말이다

라는 사실들이 있기에 우리는 문제를 대수롭지 않게 풀 수 있습니다.

그렇지만 이런 사실을 가지고서

'증명'을 하려 할때는 우리가 평생 품고 왔던 생각에 크게 놀라게 됩니다.

저또한 미분을 공부하면서 증명하려 할때에, 함수의 세계에 갑자기 혼란을 느껴서

다시 고등수학의 정석을 펼쳐보았더니

x와 y의 관계로만 나타내었지 그 외에는 일언의 언급도 되어 있지 않아서

많은 어려움을 겪었습니다.

그렇기 때문에 제 생각을 담은 글을 이렇게 적으니

혹시 틀린점이 있으시면 자유롭게 댓글로 남겨주시길 부탁드리겠습니다.

함수의 세계에서 가장 중요한 것은 문자입니다.

그 문자중에서도 변수가 가장 중요하겠죠

이 변수는 그런데 '일반적으로' x와 y를 사용해 나타내지만

꼭 x와 y로 나타낼 필요는 없습니다.

그렇기 때문에 항상 y=f(x) 가 성립될 필요는 없다는 거죠.

반대로 말하면

라고 함으로써, 변수 x와 변수 y의 관계를 지정할 수 있다는 것입니다.

y=f(x)가 아니라 다른 것이라고 해볼까요?

이렇게 명시되어 있다면

x가 1일때 y값은 뭘까요?

x가 2일때 y값은 뭘까요?

x가 3일때 y값은 뭘까요?

y=f(x) 의 관계가 아니라면, x값과 y값은 사실상 어떤 관계에도 속하지 않습니다.

여기가 한번 틀을 깨는 지점이 아닐까 싶어요 제가봤을때는

그렇다면 f(z)와 f(x)는 어떤 차이가 있을까요?

z가 3일때, x는 몇일까요?

역시 x와 z는 아무 관계도 없겠죠

그렇기 때문에

라고 한다면

y값과 u 값은 각각 z값과 x값에 의해 대응되는 함수가 되겠죠.

타당한가요?

그럼 대체 함수 f란 어떤 의미를 갖고 있냐는 겁니다.

f(3) = 5 이렇게 주어졌다고 해봅시다

이 때 3은, x가 3이란 소리인가요? 아니라면 z가 3이란 소리인가요?

모두 그렇다고 볼수도, 아니라고 볼 수도 있습니다.

함수 f는 안에 들어오는 변수가

x건, y건, z건간에 그 값이 얼마냐에 따라서 자신의 규칙에 맞게 새로운 값을 대응시켜 주는 기능에 불과합니다.

그 기능에 의해 대응되는 값들의 상관관계를

y=f(x)와 같은 형식으로 지정해주게 되는 것이죠.

그렇기 때문에 변수가 무엇인지 파악하는 것이 중요하지만

이렇게 생각하다가는 문제도 못풀게 됩니다

'그래서 변수가 어떤 문자인데?'란 질문을 문제에 하게될테니까요

일반적으로는 y=f(x)가 암묵적으로 동의되어 있다는 사실은 알고 계셔야 할 것 같습니다.

컴퓨터 프로그래밍을 해보신 분이 있을까요?

프로그래밍을 할때에도 변수를 사용하는데, 변수의 값을 항상 지정해줍니다

수I 에서 배우는 알고리즘을 떠올리면 쉽겠군요

x = 3 으로 한다.

뭐 이런식의 프로그래밍 언어를 사용하게 되죠

바로 이렇게 변수는 내맘대로 변하게 하는 수란 의미도 되지만

무언가 대표적인 이름으로서, 어떤 값의 저장소란 의미도 가질수 있겠네요

그렇지 않나요?

x란 이름만 빌려주고, 그 값 자체는 거기에 저장된 값을 사용하는 거라고 볼 수도 있을거같은데요

그럼 이 x는

상수 a와 같은, 그런 어떤 값이라는 의미는 없을까요?

어떤 값 x와 변수의 이름인 x를 동일한 의미로 볼 수 있냐는겁니다

제가 말해놓고도 무슨 소린지 잘 모르겠네요

도함수 f'(x)를 봅시다.

f'(x)의 정의는 임의의 x점에서의 미분계수를 뜻하죠.

그럼 x가 뜻하는 바는

어떤 값을 뜻할까요, 변수의 이름의 의미를 뜻할까요?

횡설수설하는 것이 저도 잘 모르겠네요

이건 개념의 오류인가요?

참 심난합니다 ㅠㅠㅋ

이 논의는 다시 생각해보고 추후 재개해보도록 하겠습니다.

의견이 있으면 언제든지 댓글달아주세요.