연립방정식의 풀이에 담긴 의미를 한번 파악해봅시다.
2011년부터 궁금하게 여겨 왔었는데, 이번 겨울방학을 기점으로 드디어 알아낼 수 있었어요.
그래서 제 의견을 한 번 공유해보려고 해요.
이 과정에서는 조건과 명제를 이용하여 연립방정식의 의미를 한번 탐구하고 해석해 볼 것입니다.
그렇지만 미지수의 종류가 1개일때는 아주 손쉽고 명확하게 들어오는 것과 달리,
미지수의 종류가 2개 이상일 때는, 굉장히 애매해지는 경우가 많아 저도 걱정입니다.
그렇지만 이런 방식으로 접근하는 것이 여러모로 도움이 될것같아 이렇게 글을 작성하니,
한번 읽어봐주시고 허점 있는 부분은 기탄없이 말씀해주시기 바랍니다.
혹시
연립방정식을 드디어 풀어보자! - 소거의 원리와 가감법의 원리
위 글을 보고 오실 분 계시면 클릭해서 보시길 바랍니다.
지금 이 글을 작성하는 이유와 가감법의 원리와 소거의 원리가 간단하게 설명되어 있어요.
우리는 그동안 연립방정식을 어떻게 배워왔는가?
저와 같은 세대라고 생각해보면, 2007년 개정 교육과정을 거친 세대지요.
중학교 2학년 때 연립방정식을 한번 공부한뒤,
고등학교 1학년 때 연립방정식을 공부하지요.
그렇지만 연립방정식을 풀 수 있는 그 풀이 자체의 근거를 배워본적이 있습니까?
'풀이 방법은 가감법, 대입법, 등치법 요렇게 세가지로 구성된다.'
이 세가지 방법을 '어떻게 하는지'에 대해서만 중학교 2학년 때 잠깐 배우고,
고등학교 1학년때는
'그 때 다 배워왔지? 푸는 방법은 다 알거야. 이거 못풀면 바보천치다.
1차식 2차식 나오면 1차식 그냥 2차식 대입해. 그렇게 해야된다??'
그때 다배웠다구요?
배우기는요 ㅋㅋ 그냥 어떻게 푸는지 한번 구경만 했을 뿐이지요.
그래서 가장 문제점이 뭐냐하면
'연립방정식에서 무연근이 발생했을 때, 씻을 수 없는 혼란을 느끼게 됩니다.'
실제로 2차 이상으로 이루어진 연립방정식들을 다룰 때 무연근이 발생하기도 하는데, [그래서 1차식을 2차식에 대입해야되지요.]
연립방정식에 대해 제대로 공부를 안해본다면 이게 당최 왜 이렇게 나타나게 되는지 알 수가 없지요.
그리고 또 하나,
교점의 좌표를 구하기 위해서 기껏 연립방정식을 풀었더니,
또 다른 도형의 방정식이 나오게 될 때 그 의미를 해석할 수 없게됩니다.
가장 대표적인 예가 두 구가 만나서 생기는 접점들로 이루어진 도형의 방정식을 구할 수 없음에 관한 문제이지요.
분명히 두 방정식을 빼면 뭔가 나올텐데, 아니 나오라는 도형(교선, 즉 원)은 안나오고
새로운 평면의 방정식이 나오니 이게 뭔가 싶기도 할겁니다.
연립방정식을 어떻게 푸는지 그 의미를 제대로 파악하는 시간이 없었기 때문입니다.
그 과정을 지금부터 함께 하도록 해요.
가장 처음.
연립방정식을 풀었을 때 두 식에 모두 대입해서 확인을 해볼 필요가 없는 이유는?
우리는 중학교 2학년때 위와 같이 배운적이 있습니다.
연립방정식을 푼 후에는 'x의 값과 y의 값을 각각의 방정식에 대입하여 두 방정식이 모두 참이 되는지 확인해야 한다.'
그런데 실상은
여태까지 연립방정식을 풀어보면서 각각의 방정식에 대입해서 두 방정식이 모두 참이 되는지 확인해본적이 있으신가요?
여턔까지는
왠만해서는
한 문자를 소거시켜서 다른 문자 값을 구한다음에
그 문자값을 다시 원래의 식 중 하나에 대입해보면 나머지 문자에 대한 답도 나왔죠.
그것은 왜 그럴까요?
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=135968450
요 글을 보시면 제가 2011년도부터 그것을 궁금하게 여겨왔었단 걸 알 수 있으실겁니다.
고1때부터 의문이 들었지만 아무도 속 시원히 대답해주진 않았어요.
그 이유를 다 함께 살펴봅시다.
명제를 통하여 연립방정식 풀이를 규명하다.
연립방정식 풀이의 의미를 찾는 데 있어서 가장 중요한 것은 고등학교 1학년 때에 배운 명제 이야기입니다.
즉, 필요조건, 충분조건, 명제의 참 거짓 판별 이야기를 통해 설명할 수 있음입니다.
이 이야기는 고등학교 2학년 수학 II 시간에 '무리방정식과 분수방정식'을 배울 때도 마찬가지로 사용할 수 있습니다.
[이과생에 한정된 이야기이지요.]
연립방정식은 고1 과정인데,
사실은 고2때 수II를 통해서 무연근에 대해 익히고 거기에서 명제를 활용하는 연습을 해보는 게 좋지만
어쩔 수 없으니 연립방정식만 우선 다뤄보도록 하겠습니다.
그렇지만 밑에서 연립방정식에서의 무연근을 다룰때는
무리방정식이 포함될 때도 있을 텐데, 그 때 문과생들은 그냥 한번 읽고 넘어가셔도 될것 같습니다.
무리방정식이나 분수방정식을 다루면서 무연근이 추가되는 과정을 직접 살펴보면 좋겠지만
그럴 여건은 못되는 것 같으니
아주 간단한 형태로 시작해서
방정식의 해와 명제와 어떤 연관이 있는지부터 알아봅시다.
방정식을 함수로 해석하기 / 분수방정식*무리방정식에서 무연근이 발생하는 원리
방정식이란 것은 이미 전에 포스팅 했었지만,(윗 글을 참조하세요)
요약하자면 '문자(미지수)의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식'입니다.
즉 방정식 그 자체가 바로 이미 '조건'이란 뜻이죠.
명제를 배울 때 '조건'도 같이 배우지요? 조건이란 말 자체가 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식이니
우리가 배우는 (절대 부등식)이 아닌 부등식, 방정식 등등은 모두 조건에 포함된다고 말할 수 있습니다.
그러니까는,
여기서 방정식도 얼마든지 p 혹은 q에 해당할 수 있다는 소리지요.
그러니까
분수방정식과 무연근, 정석의 오류
계속 전에 쓴 글 링크 걸어서 죄송합니다.
분수방정식을 다루면서 이미 했던 말이기 때문에 혹시 이과생분들이라면 한번 보고 오시는 것도 나쁘지 않을 것 같습니다.
에 대해서 답을 하라면, x=1 or x=2라고 쉽게 답할 수 있을겁니다.
즉,
이 때, 양변에 x-3을 곱한다고 생각해봅시다.
이 때는 x=3 이란 해가 새롭게 추가가 됩니다.
이 것은 맨 처음 주어진 식의 해가 아니기 때문에, [x=3을 처음 식의 좌변에 대입하면 좌변의 값이 2가되어 0과 동일하지 않지요.]
변형된 식에 추가된 해, 즉 연관이 없다 하여 '무연근'이라 하지요.
제가 링크 걸어두었던 글들을 모두 보고 온 분이라면 쉽게 아시겠지만,
인수분해해서 푸는 것이 방정식을 푸는 기본 원리이니만큼,
혹시 0이 될 수도 있는 값을 곱하면 그에 해당하는 '무연근'이 추가가 되는 것이 당연하지요.
이 말을 논리로 풀어보면 이렇게 됩니다.
위 식을 '조건 p'라고 이름 붙여 봅시다.
조건 p를 만족하는 x 값은 1또는 2가 되겠지요.
위 식은 '조건 q'라고 이름을 붙여 봅시다.
우리는 조건 p에서 조건 q를 만들기 위해서 아주 단순하게 양변에 (x-3)이란 식을 곱한다고 생각했지만
더 자세히 들어가자면 이런 뜻이죠.
'조건 p의 식에서, 양변에 같은 수를 곱하여도 여전히 등식은 성립하기 때문에
즉,
이것을 다르게 말하면
라고 나타낼 수 있어요.
이를 다시 말하면
p이면 q이다 란 말은 참이다.
란 뜻이 되지요.
즉, p를 만족시키면, q도 만족시키는 것이 당연하다 란 뜻입니다.
x=1 이거나 x=2이면 p를 만족시킬텐데
x=1일때도 q를 만족시킬것이고
x=2일때도 q를 만족시킬테니까요.
그렇다면 무연근은 왜 발생할까요?
앞에서 말했듯 '0이 될 수 있는 값'을 곱하면 무연근이 발생하게 되지만,
그 원리를 이렇게 설명해보자 이겁니다.
무연근의 정의를 살펴보자면,
원래 식을 변형한 식의 해 중, 가장 처음의 '원래 식'을 만족시키지 못하는 해는
원래 식과의 연관이 없다하여 '무연근'이라고 한다.
라고 할 수 있지요.
즉, q를 만족하는데 p를 만족하지 못하는 경우가 생기는데
그것이 바로 x=3 이란 뜻입니다.
이는 고1때 되게 많이 했던 이야기지요.
두 조건의 진리집합이 포함관계에 있으면
하나는 충분조건이 되고 하나는 필요조건이 된다구요.
무슨소리냐구요?
p이면 q이다는 참이지만,
q이면 p이다는 거짓이 된다는 소리입니다. 왜냐면 반례로 x=3이 존재하기 때문이죠.
그럼 q이면 p이다는 왜 거짓이 될까요?
p이면 q가 참이되는 이유는
그렇다면
q이면 p이다가 참인 것 역시 쉽게 보여줄 수 있는 것 아니냐?
라고 물을 수 있겠지만
앞서도 언급했듯이
'0인 경우에는 똑같이 나눈다 하더라도 양변을 '0'으로 나눌수는 없기 때문에'
q이면 p이다라고 나타낼 수 없지요.
이렇게 되기 때문에 무연근이 발생할 수 있게 된다는 소리입니다.
아니 연립방정식을 공부하재놓고 왜 무연근얘기만 주구장창 하냐구요?
이를 통해서 명제가 방정식과 연관이 있음을 이해할 수 있기 때문입니다.
여태까지 해온것을 살펴보면
p가 q의 충분조건이 된다면,
q는 p의 필요조건이 될 것이므로,
무연근이 발생할 수 있게 되겠지요.
그렇지만
두 조건을 만족하는 x의 해가 1과 2로 서로 동일하기 때문에
'필요충분조건'이 됩니다.
즉, 우리가 여태까지 배워왔던 많은 수학적인 활동들은
다 하나의 식을 다른 '필요충분조건'으로 바꾸는 것이었고,
(x-3)과 같은 식을 곱하는 행위는 '필요충분조건'으로 바꾸는 것이 아니었기 때문에 무연근이 발생하게 된 것이죠.
이제 연립방정식의 의미를 본격적으로 탐구해보자.
연립방정식을 푼다 함은, 두 식이 주어졌을 때 두 식을 모두 만족시키는 미지수의 값을 찾는 것을 '연립방정식의 해를 찾는다.' 라고 합니다.
이 때, 미지수가 한개라면 어차피 한개의 식만 주어져도 그 값이 정해지므로
연립방정식이라 함은 보통 미지수의 종류가 2개 이상이 됩니다.
[미지수의 갯수에 따라 필요한 식의 갯수가 결정된다는 사실은 이미 밝혀져 있습니다.
미지수가 2개면 식이 2개, 미지수가 3개면 식이 3개 필요하고, 미지수가 4갠데 식이 3개 필요하면 그 3개의 식을 만족시키는 미지수 4개의 순서쌍은 기본적으로 무한개가 됩니다.]
가장 간단한 미지수 2개짜리를 살펴보자면, 역시 중2때 배운것이겠지요?
을 풀어보되, 그 의미를 조건과 명제를 사용해서 생각해봅시다.
위 연립방정식을 풀기 위해선 p식과 q식을 모두 만족시키는 미지수 (x,y)의 순서쌍을 찾아야 합니다.
이 때 쓰이는 방법에는 가감법, 대입법, 등치법이 있는데
사실상 등치법은 대입법의 한 종류이고,
여기서는 가감법을 사용하는게 여러모로 편리할 듯 싶습니다.
그럼 두 식을 변변 빼보지요.
로 나와서 x의 해는 일단 찾았네요. 2가 됩니다.
여기서 의미를 한번 짚고 넘어가봅시다.
앞서도 살짝 언급했지만 이 찾은 x값을 p식에 대입하든, q식에 대입하든 나타나는 y값은 동일합니다.
왜 그럴까요?
제가 맨 처음 링크걸었던 '가감법의 원리'를 읽고 오신분이라면 감이 올테지만
서로 변변 빼는 행위를 통해서 '위 식과 아래 식의 x와 y가 같은 수임을 전제하고' 있기 때문입니다.
즉, 가감법을 이용하여 푸는 과정을 살펴보면 이렇습니다.
p이고 q인 (x,y)순서쌍을 찾는 것을 연립방정식을 푼다라고 하는데,
연립방정식을 풀기 위해선 우선 p와 q를 일단 '이렇다!'라고 깔고 시작하는게 필요합니다.
방정식을 풀 때도
라고 두고 이럴때 x값은 얼마일까? 라고 생각하니까요.
그렇기 위해서
이를 만족하는 x와 y값은 무엇일까? 라고 질문을 던져보아야죠.
이 때, 가감법을 이용하는 데 있어서는 변변 빼도 같다는 것을 이용하게 되죠.
맨 위에 링크걸어둔 글을 읽고오셨다고 생각하고, 이것은 더이상 적지 않겠습니다.
즉,
즉, 양변을 변변 뺀
p와 q, r의 진리집합을 각각 A와 B와 C라고 한다면, [진리집합은 조건을 만족시키는 미지수 값을 원소로 가지는 집합을 말하죠.]
이렇게 p이고 q이면 r임을 끌어낼 수 있지요.
그것은 '변변 빼도 등식은 성립한다.[이것을 나중에 종합적으로 생각해보면 변변 빼도 식의 값은 변하지 않는다라고 결론내릴 수 있게 됩니다.]'라고 이야기할 수 있겠습니다.
등식의 양변을 같은 숫자로 뺀다 하여도, 그 식은 여전히 성립할 테니까요.
즉 p일 때에 한해서 q라는 식의 양변을 뺀다면, q는 당연히 만족해야 할거고, 원래의 p 조건도 여전히 성립할테니
p이고 q이면 r이라는 소리를 할 수 있지요.
이를 진리집합으로 나타내면
라고 할 수 있겠어요.
임이 보장되지는 않지요.
을 보여야만, 이렇게 나온 x=2라는 해가 연립방정식의 해(중 미지수 x값에 대한 정보)라고 확신할 수 있겠네요.이렇게 나온 r 값은, p와 q를 모두 만족하는 값이라는 것은 알 수 있게되었어요.
여기서 주목할만한 것은 p와 q를 만족시키는 미지수는 (x,y) 이렇게 두 종류로 주어지는데,
r을 만족시키는 미지수는 오직 x에 대해서만이지요.
가감법의 원리와 우리가 r을 구하고 나서 취하는 행동을 생각해보면 그 의미를 찾아낼 수 있지요.
r, 즉 x=2란 것을 찾아내고 나서 우리는 무엇을 하지요?
주어진 x값 외에 y값을 찾기 위해서
p식이나 q식 어느 하나에 x=2를 대입하게 됩니다.
이것에는 다음과 같은 의미가 있습니다.
x=2를 p식에 대입하느냐, q식에 대입하느냐 에 따라서 위 아래 둘중 하나를 만족하게 되지요.
즉, p 식 중에서 x=2인 것,
q식 중에서 x=2 인 것이니
p와 r, q와 r을 동시에 만족하는 경우가 된다. 로 귀결되게 됩니다.
그럼 이 때 나온 y값이 다른 한 식을 동시에 만족하게 되는 이유는 무엇일까요?
'바로 가감법은 역도 항상 성립하게 되기 때문입니다.'
이것을 역이라고 이름붙이기는 뭐하지만, 반대로 하는 과정이기 때문에 편의상 역이라고 이름붙여보았습니다.
즉,
그래서 가감법에서는 다음과 같은 명제가 반드시 성립합니다.
r은 x에 대한 정보만을 가지고 있기 때문에
r(x=3)에서 말하고 있는 x값이 p와 q를 동시에 만족시키는 x값이란 건 깨달을 수 있지요.
그 r값을 p나 q에 대입해보면
나머지 y값은 항상 다른 식을 만족하게 됨을 알 수 있지요.
그이유는 변변 뺐던 식을, 다시 변변 더해도 등식이 성립하기 때문입니다.
즉, 
그럼 
즉, 맨처음 두 식 p와 q에 대해서,
두 식을 동시에 만족시키는 것이 r이고,
이 r식은 미지수 하나에 대해서만 정보를 제공하고 있기 때문에 그 자체로는 완벽하지는 않습니다.
그렇지만
이 r을 다시 p나 q에 대입했을 때 그 공통된 x값은 반드시
p와 q의 근이 됩니다.
그렇지만 혹시라도 'y'값은 p식과 q식이 서로 다른 값이 나올 수도 있습니다.
그러니까 정리하면,
p와 q식을 변변 뺀 r값이 제시하는 x값은
p식과 q식을 동시에 만족할때(x, y 모두)의 x값입니다.
그럼 뭐하러 변변 뺀걸 다시 변변 더해서 y값도 당연히 같은지를 보여줬냐구요?
어차피 '가감법'의 전제는 x값과 y값이 서로 같을 때니까 뺀 값은 당연히 x,y값을 만족시키게 하는 그 값일텐데 말이죠.
그렇지만
이 나온 r에서의 미지수 값을 다시 둘 중 하나의 원식에 대입했을 때 '무연근'이 생기는 경우가 간혹 있기 때문입니다.
그러니까, (두 식을 동시에 만족시키는 값이 바로 r에서 제시하는 그 값)이 되는데,
그 값을 잘못 사용하게 되면 그거말고도 딴것까지 딸려나오게 되는 경우가 생길 수 있어요.
김과 밥을 동시에 먹고싶다고 해서 심부름을 시켰더니 김밥은 제대로 사왔는데, 거기에서 김말이까지 사오게 되는 경우가 생길 수 있지요.
그 경우는 p식이나 q식이 사실상 여러개의 식으로 겹쳐져 있는 경우에 한해서 그런데, 이런 문제는 '대입법'에서 나타나게 되지요.
가감법의 경우는 그런 경우가 절대 있을 수 없음을 '변변 뺀걸 다시 변변 더하면 식이 도출'된다는 것을 보임으로써 해결했지요?
대입법의 경우, 특히 2차식이 섞여있는 경우 무연근이 발생하기도 하는데
그것을 바로 2편에서 알아보도록 하겠습니다.
그것까지 같이 보시면 제가 하고 싶은 말을 알아듣고
저를 비판하던지 아님 받아들이던지 둘 중 하나를 하실 수 있을것 같습니다.
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